-_-

OSP SMA 2003 Bagian Pertama

Recommended Posts

  1. Jika $ a $ dan $ b $ bilangan bulat ganjil dengan $ a > b$, berapa banyakkah bilangan bulat genap di antara $ a $ dan $b$?
  2. Agung mendapatkan bahwa nilai rata-rata dari tiga ulangan matematika yang diikutinya adalah 81. Nilai ulangan pertama adalah 85. Nilai ulangan ketiga lebih rendah 4 dari nilai ulangan kedua. Berapakah nilai ulangan kedua Agung?
  3. Apakah himpunan jawab dari persamaan $ |x + 2|+ |3x|= 14 $?
  4.  B-7OqA5UoAAZy7k.jpgKeempat bilangan $ 3, 5,7 $ dan $ 8 $ akan diisikan ke dalam kotak-kotak di atas. Berapakah hasil terbesar yang dapat diperoleh?
  5. Misalkan $ x, y, z $ tiga bilangan asli berbeda. Faktor persekutuan terbesar ketiganya adalah 12, sedangkan kelipatannya persekutuan terkecil ketiganya adalah 840. Berapakah nilai terbesar bagi $ x + y + z $
  6. Berapakah bilangan bulat positif $ k $ terkecil sehingga $ \underbrace{20032003\dots 2003}_{k} $ habis dibagi 9?
  7. Persamaan kuadrat $ 2x^2-2(2a+ 1)x+ a(a-1) =0 $ mempunyai dua akar real $ x_1 $ dan $ x_2 $. Berapakah nilai $ a $ yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut sehingga $ x_1< a < x_2 $?
  8. Dalam sebuah segitiga $ ABC $ siku-siku samakaki, dibuat persegi $ PQRS $ sebagai berikut : Titik $ P $ pada sisi $ AB $, titik $ Q $ pada sisi $ AC $, sedangkan titik-titik $ R $ dan $ S $ pada sisi miring $ BC $. Jika luas segitiga $ ABC $ adalah $ x $, berapakah luas persegi $ PQRS $?
  9. Upik melemparkan $ n $ dadu. Ia menghitung peluang terjadinya jumlah mata dadu sama dengan 6. Untuk $ n $ berapakah peluang tersebut paling besar?
  10. Suatu garis vertikal membagi segitiga dengan titik sudut $ (0,0) $, $ (1,1) $ dan $ (9,1) $ menjadi dua daerah dengan luas yang sama. Apakah persamaan garis tersebut?
  11. Misalkan $ m $ dan $ n $ dua bilangan asli yang memenuhi $ m^2-2003=n^2 $. Berapakah $ mn $?
  12. Berapakah nilai $ x $ yang memenuhi $ ^4\log(^2\log x)+^2\log(^4\log x)=2 $?
  13. Titik $ P $ terletak di dalam persegi $ ABCD $ demikian rupa, sehingga $ AP: BP : CP = 1 : 2: 3 $. Berapakah besar sudut $ APB $?
  14. Dengan mengkombinasikan ketiga warna dasar merah, kuning, dan biru dapat dibentuk warna-warna yanglain. Misalkan terdapat 5 kaleng cat warna merah, 5 kaleng warna kuning, dan 5 kaleng warna biru. Budi boleh memilih kaleng manapun untuk mencampurkan warna, dan semua cat dalam sebuah kaleng harus dipakai semua. Ada berapa pilihan warna yang dihasilkan?
  15. Pak Oto membeli dua mobil untuk dijual kembali. Ia memperoleh keuntungan 30% dari mobil pertama, tetapi menderita kerugian 20% pada mobil kedua. Harga jual kedua mobil sama. Berapa persenkah keuntungan (atau kerugian) pak Oto secara keseluruhan? (Catatan: Semua persentase terhadap harga pembelian. Untuk jawaban, gunakan tanda '-' untuk menyatakan kerugian dan tanda '+' untuk menyatakan keuntungan.)
  16. Empat pasang suami isteri menonton pagelaran orkestra. Tempat duduk mereka harus dipisah antara kelompok suami dan kelompok isteri. Untuk masing-masing kelompok disediakan 4 buah tempat duduk bersebelahan dalam satu barisan. Ada berapa banyak cara memberikan tempat duduk kepada mereka?
  17. B-7OtU3UoAAKGB-.jpg Sebuah bola dengan jari-jari $ r $ ditendang dari $ B $ ke $ A $. Bola tersebut menggelinding sebanyak tepat 10 putaran sebelum membentur bidang miring dan berhenti. Berapakah jarak dari $ B $ ke $ A $?
  18. Berapakah sisa pembagian $ 1\cdot 1!+2\cdot 2!+\dots+100\cdot 100! $ oleh 101?
  19. Suatu lingkaran mempunyai diameter $ AB $ yang panjangnya merupakan bilangan bulat 2-angka. Tali busur $ CD $ tegak lurus pada $ AB $ dan memotong $ AB $ di titik $ H $. Panjang $ CD $ sama dengan bilanganyang diperoleh dengan menukar letak kedua angka dari panjang $ AB $. Jika jarak dari $ H $ ke pusat lingkaran merupakan bilangan rasional, berapakah panjang $ AB $?
  20. Berapakah banyaknya cara memilih tiga bilangan berbeda sehingga tidak ada dua bilangan yang berurutan, jika bilangan-bilangan tersebut dipilih dari himpunan $ \{1,2,3,\dots,9,10\} $?

Share this post


Link to post
Share on other sites

1.

Spoiler

$a$ dan $b$ ganjil, $a>b$. Banyaknya bilangan genap antara $a$ dan $b$ adalah $\boxed{\frac{a-b}{2}}$.

 

2.

Spoiler

$\overline{x}_{n=3}=81$, $x_1=85$, $x_3=x_2-4$. Maka \begin{align*}\frac{x_1+x_2+x_3}{3}&=81\\\frac{85+x_2+(x_2-4)}{3}&=81\\2x_2&=162\\x_2&=\boxed{81}.\end{align*}

 

3. 

Spoiler

 

$|x+2|+|3x|=14$. Pada harga mutlak, berlaku $|x|=\begin{cases}x, \, \text{jika}\, x\geq 0\\-x, \, \text{jika}\, x<0\end{cases}$.

Kasus I: Jika $x\geq 0$, maka persamaannya menjadi $x+2+3x=14\implies x=3$.

Kasus II: Jika $-2\leq x<0$, maka persamaannya menjadi $x+2-3x=14\implies x=-6$ (tidak memenuhi).

Kasus III: Jika $x<-2$, maka persamaannya menjadi $-x-2-3x=14\implies x=-4$.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\{-4, 3\}$.

 

 

4.

Spoiler

Nilainya akan maksimum jika bilangan yang dikurangi adalah yang terbesar. Kemudian, pada bilangan yang mengurangi, dicari hasil kali pembilang yang terkecil dan penyebut dipilih yang terbesar. Operasinya adalah $8-\frac{3}{7}\cdot 5=\boxed{\frac{41}{7}}$.

 

5. 

Spoiler

 

$x, y, z\in\mathbb{N}$ dan $x\neq y\neq z$.

$\gcd(x, y, z)=12=2^2\cdot 3$

$\text{lcm}(x, y, z)=840=2^3\cdot3\cdot5\cdot7$.

Dengan metode trial and error yang menghasilkan nilai $x+y+z$ maksimum adalah untuk

$x=2^2\cdot 3=12$

$y=2^3\cdot 3=24$

$z=2^3\cdot3\cdot5\cdot7=840$

$\max(x+y+z)=12+24+840=\boxed{876}$.

 


6.

Spoiler

 

Suatu bilangan habis dibagi $9$ jika jumlah digit-digitnya habis dibagi $9$. Jumlah digit-digit dari $\underbrace{20032003\dots 2003}_{k}$ adalah $(2+0+0+3)k=5k$. Agar habis dibagi $9$, maka $5k\equiv 0\pmod{9}$. Bilangan bulat positif $k$ terkecil adalah $\boxed{9}$.

 

 

 

 

12. 

Spoiler

\begin{align*}^4\log(^2\log x)+^2\log(^4\log x)&=2\\^{2}\log\sqrt{^2\log x}+^2\log(^2\log \sqrt{x})&=^2\log 4\\^2\log(\sqrt{^2\log x}\cdot^2\log\sqrt{x})&=^2\log 4\\\sqrt{^2\log x}\cdot^2\log\sqrt{x}&=4\\(^2\log x)^{\frac{3}{2}}&=8\\^2\log x&=4\\x&=\boxed{16}.\end{align*}

 

17. 

Spoiler

Jarak dari $B$ ke $A$ adalah $s_{AB}=10\cdot 2\pi r+r\sqrt{3}=\boxed{(20\pi+\sqrt{3})r}$.

 

Edited by Fachni

Share this post


Link to post
Share on other sites

No 18

Spoiler

$(k+1)! = k!(k +1) \\ (k+1)! = k \cdot k! + k! \\ \therefore k \cdot k! = (k+1)! - k! $

Maka diperoleh

$ 1! \cdot 1 = 2! - 1!$

$ 2! \cdot 2 = 3! - 2!$

$ 3! \cdot 3 = 4! - 3!$

$...........................$

$100! \cdot 100 = 101! - 100!$

_______________________________+

$1! \cdot 1 + 2! \cdot 2 + ... + 100! \cdot 100 = 101! - 1$

Gunakan modulo

$101! \equiv 0 (\textit{mod} 101) \\ 1 \equiv 1 (\textit{mod} 101) $

Sehingga diperoleh

$101! - 1 \equiv 0 - 1 (\textit{mod} 101) \\ 101! - 1\equiv -1 (\textit{mod} 101) \\ 101! - 1 \equiv 100 (\textit{mod} 101)$

No 6

Spoiler

Sifat-sifat bilangan yang habis dibagi 9 adalah jumlah semua digit-digitnya habis dibagi 9.

Maka jumlah digit pada 2003 adalah 5. Maka $9|5y$. Sehingga nilai $y$ adalh 9. jadi, banyak bilangan 2003 adalah 9. Sehingga $k = 4 \cdot 9 = 36$

 

No 11

Spoiler

$m^2 - 2003 = n^2 \\ m^2 - n^2 = 2003 \\ (m+n)(m-n) = 2003 \cdot 1$

Karena $2003$ bilangan prima, pastilah $m +n=2003$ dan $m-n = 1$.

$m+n=2003 \\m-n=1$

___________________+

 $2m = 2004 \\ \therefore m = 1002 \\ \therefore n = 1001$

Maka $mn = 1002 \cdot 1001 =1.003.002$

 

Edited by Wildan Bagus W

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now