Jump to content
Sign in to follow this  
-_-

OSP SMA 2005 Bagian Kedua No 4

Recommended Posts

Panjang ketiga sisi $a, b, c$ dengan $a \le b \le c$, sebuah segitiga siku-siku adalah bilangan bulat. Tentukan semua barisan $(a, b, c)$ agar nilai keliling dan nilai luas segitiga tersebut sama.

Share this post


Link to post
Share on other sites
Spoiler

$a\leq b\leq c$ dan $a, b, c\in\mathbb{Z}^+$. Karena $a, b, c$ sisi-sisi segitiga siku-siku, maka berlaku $a^2+b^2=c^2$. Nilai keliling dan luasnya sama, maka \begin{align*}a+b+c&=\frac{ab}{2}\\a+b+\sqrt{a^2+b^2}&=\frac{ab}{2}\\\sqrt{a^2+b^2}&=\frac{ab}{2}-(a+b)\\a^2+b^2&=\frac{a^2b^2}{4}-2\cdot\frac{ab}{2}(a+b)+(a+b)^2\\0&=\frac{a^2b^2}{4}-ab(a+b)+2ab\\a^2b^2-4ab(a+b)+8ab&=0\\ab(ab-4a-4b+8)&=0.\end{align*} Persamaan $ab=0$ tidak terpenuhi karena $a, b>0$. Maka \begin{align*}ab-4a-4b+8&=0\\ab-4a-4b+16&=8\\(a-4)(b-4)&=8.\end{align*} Setelah dicek, barisan yang memenuhi adalah $(a, b, c)=\{(5, 12, 13), (6, 8, 10)\}$.

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

Karena \( (a,b,c)\) bulat dan tripel Phytagoras, maka bisa dibuat menjadi

\( k(m^2-n^2),2kmn,k(m^2+n^2)\) untuk suatu bilangan bulat saling prima \(m\) dan \(n\), dan bilangan bulat \(k\).

 

 

 keliling adalah \( 2km(m+n)\) dan luas adalah  \(k^2mn(m^2-n^2\). Karena harus sama maka

\(2=kn(m-n)\).  Karena 2 prima, maka haruslah \(k=2,n=1,m=2\) atau \((m-n)=2,k=1,n=1,m=3\) atau \(n=2,k=1,m-n=1,m=3\)  . 

masing-masing kasus didapat:

\((3,4,5)\) dan \((6,8,10)\) dan \((5,12,13)\). Cek keliling dan luas masing-masing didapat berturut-turut 12, 24, dan 30.

Share this post


Link to post
Share on other sites
20 hours ago, OnePunchMan said:

Karena (a,b,c)(a,b,c) bulat dan tripel Phytagoras, maka bisa dibuat menjadi

k(m2n2),2kmn,k(m2+n2)k(m2−n2),2kmn,k(m2+n2) untuk suatu bilangan bulat saling prima mm dan nn , dan bilangan bulat kk .

 

 

 keliling adalah 2km(m+n)2km(m+n) dan luas adalah  k2mn(m2n2k2mn(m2−n2 . Karena harus sama maka

2=kn(mn)2=kn(m−n) .  Karena 2 prima, maka haruslah k=2,n=1,m=2k=2,n=1,m=2 atau (mn)=2,k=1,n=1,m=3(m−n)=2,k=1,n=1,m=3 atau n=2,k=1,mn=1,m=3n=2,k=1,m−n=1,m=3   . 

masing-masing kasus didapat:

(3,4,5)(3,4,5) dan (6,8,10)(6,8,10) dan (5,12,13)(5,12,13) . Cek keliling dan luas masing-masing didapat berturut-turut 12, 24, dan 30.

Untuk kasus I, $k=2, m=2, n=1$, tripel Phytagorasnya $(6, 8, 10)$.

Untuk kasus II, $k=1, m=3, n=1$, tripel Phytagorasnya $(8, 6, 10)$.

Untuk kasus III, $k=1, m=3, n=2$, tripel Phytagorasnya $(5, 12, 13)$.

Tidak ada $(3, 4, 5)$.

Share this post


Link to post
Share on other sites

 

On 12/31/2017 at 7:50 PM, Fachni said:

Untuk kasus I, k=2,m=2,n=1k=2,m=2,n=1 , tripel Phytagorasnya (6,8,10)(6,8,10) .

Untuk kasus II, k=1,m=3,n=1k=1,m=3,n=1 , tripel Phytagorasnya (8,6,10)(8,6,10) .

Untuk kasus III, k=1,m=3,n=2k=1,m=3,n=2 , tripel Phytagorasnya (5,12,13)(5,12,13) .

Tidak ada (3,4,5)(3,4,5) .

my bad.
juga: 3x4/2 = 6, bukan 12

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×