Jump to content
Sign in to follow this  
-_-

OSP SMA 2004 Bagian Pertama

Recommended Posts

  1. Misalkan $ x $ dan $ y $ adalah bilangan real tak nol. Jika $ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=10 $ dan $ x + y = 40 $, berapakah $ xy $?
  2. Sebotol sirup bisa digunakan untuk membuat 60 gelas minuman jika dilarutkan dalam air dengan perbandingan 1 bagian sirup untuk 4 bagian air. Berapa gelas minuman yang diperoleh dari sebotol sirup jika perbandingan larutan adalah 1 bagian sirup untuk 5 bagian air?
  3. Penduduk Jawa Tengah adalah 25% dari penduduk pulau Jawa dan 15% dari penduduk Indonesia. Berapa persen penduduk Indonesia yang tinggal di luar pulau Jawa?
  4. Ketika menghitung volume sebuah tabung, Dina melakukan kesalahan.Ia memasukkan diameter alas ke dalam rumus volume tabung, padahal seharusnya jari-jari alas yang dimasukkan. Berapakah rasio hasil perhitungan Dina terhadap hasil yang seharusnya?
  5. Tiga lingkaran melalui titik pusat koordinat $ (0, 0) $. Pusat lingkaran pertama terletak di kuadran I, pusat lingkaran kedua berada di kuadran II danpusat lingkaran ketiga berada pada kuadran III. Jika $ P $ adalah sebuah titik yang berada di dalam ketiga lingkaran tersebut, di kuadran manakah titik ini berada ?
  6. Diberikan berturut-turut (dari kiri ke kanan) gambar-gambar pertama, kedua dan ketiga dari suatu barisan gambar. Berapakah banyaknya bulatan hitam pada gambar ke-$ n $?B-7OkRvVIAAoYBg.jpg
  7. Diberikan segitiga $ ABC $ dengan perbandingan panjang sisi $ AC : CB = 3 : 4 $. Garis bagi sudut luar $ C $ memotong perpanjangan $ BA $ di $ P $ (titik $ A $ terletak di antara titik-titik $ P $ dan $ B $). Tentukan perbandingan panjang $ PA : AB $.
  8. Berapakah banyaknya barisan bilangan bulat tak negatif $ (x, y, z) $ yang memenuhi persamaan $ x + y + z= 99 $?
  9. Tentukan himpunan semua bilangan asli $ n $ sehingga $ n(n-1)(2n-1 )$ habis dibagi 6.
  10. Tentukan semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ x^2<|2x-8| $.
  11. Dari antara 6 buah kartu bernomor 1 sampai 6 diambil dua kartu secara acak. Berapakah peluang terambilnya dua kartu yang jumlah nomornya adalah 6?
  12. Pada sebuah trapesium dengan tinggi 4, kedua diagonalnya saling tegak lurus. Jika salah satu dari diagonal tersebut panjangnya 5, berapakah luas trapesium tersebut?
  13. Tentukan nilai dari \[\left(1-\dfrac{2}{3}\right)\left(1-\dfrac{2}{5}\right)\left(1-\dfrac{2}{7}\right)\dots\left(1-\dfrac{2}{2005}\right).\]
  14. Santi dan Tini berlari sepanjang sebuah lintasan yang berbentuk lingkaran. Keduanya mulai berlari pada saat yang sama dari titik $ P $, tetapi mengambil arah berlawanan. Santi berlari $ 1\dfrac{1}{2} $ kali lebih cepat daripada Tini. Jika $ PQ $ adalah garis tengah lingkaran lintasan dan keduanya berpapasan untuk pertama kalinya di titik $ R $, berapa derajatkah besar $ \angle RPQ $?
  15. Pada sisi-sisi $ SU $, $ TS $ dan $ UT $ dari $ \triangle STU $ dipilih titik-titik $ P $,$ Q $ dan $ R $ berturut-turut sehingga $ SP = \dfrac{1}{4}SU, TQ = \dfrac{1}{2}TS$ dan $ UR= \dfrac{1}{3}UT $. Jika luas segitiga STU adalah 1, berapakah luas $ \triangle PQR $?
  16. Dua bilangan real $ x, y $ memenuhi $ (x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1 $. Berapakah nilai $ x + y $?
  17. Berapakah banyak minimal titik yang harus diambil dari sebuah persegi dengan panjang sisi 2, agar dapat dijamin senantiasa terambil dua titik yang jarak antara keduanya tidak lebih dari $ \dfrac{1}{2}\sqrt{2} $?
  18. Misalkan $ f $ sebuah fungsi yang memenuhi $ f(x) f(y)-f(xy) = x + y $, untuk setiap bilangan bulat $ x $ dan $ y $. Berapakah nilai $ f(2004) $?
  19. Notasi $ fpb(a, b) $ menyatakan faktor persekutuan terbesar dari bilangan bulat $ a $ dan $ b $. Tiga bilangan asli $ a_1< a_2< a_3 $ memenuhi $ fpb(a_1, a_2, a_3) = 1 $, tetapi $ fpb(a_i, a_j) > 1 $ jika $ i\neq j $, $ i,j=1,2,3 $. Tentukan $ (a_1,a_2,a_3) $ agar $ a_1+a_2+a_3 $ minimal.
  20. Didefinisikan $ a\bullet b =a + b + ab $, untuk semua bilangan bulat $ a, b $. Kita katakan bahwa bilangan bulat $ a $ adalah faktor dari bilangan bulat $ c $ bilamana terdapat bilangan bulat $ b $ yang memenuhi $ a\bullet b= c $. Tentukan semua faktor positif dari 67.

Share this post


Link to post
Share on other sites

1.

Spoiler

$x,y\in\mathbb{R};\, x,y\neq 0$, $x+y=40$, \begin{align*}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}&=10\\\frac{x+y}{xy}&=10\\\frac{40}{xy}&=10\\xy&=\boxed{4}.\end{align*}

 

3. 

Spoiler

Misalkan penduduk Jawa Tengah adalah $T$, penduduk Jawa adalah $J$, dan penduduk Indonesia adalah $I$. Maka persamaannya $T=25\%J=\frac{1}{4}J=15\%I=\frac{3}{20}I$. \begin{align*}\frac{1}{4}J&=\frac{3}{20}I\\J&=\frac{3}{5}I.\end{align*} Misalkan $J'$ adalah penduduk Indonesia yang tinggal di luar Jawa. Maka $$J'=I-J=I-\frac{3}{5}I=\frac{2}{5}\cdot 100\%I=\boxed{40\%I}.$$

 

4. 

Spoiler

Hasil seharusnya adalah $V=\pi r^2t$. Hasil perhitungan Dina adalah $V'=\pi d^2t$. Maka $$\frac{V'}{V}=\frac{\pi d^2t}{\pi r^2t}=\frac{(2r)^2}{r^2}=\boxed{4:1}.$$

 

6. 

Spoiler

Banyaknya bulatan hitam pada tiap suku membentuk barisan: $5, 7, 9, 11, \dots$, dengan suku pertama $a=5$ dan beda $b=2$. Maka rumus suku ke-$n$-nya $U_n=a+(n-1)b=5+(n-1)\cdot 2=\boxed{2n+3}$.

 

9. 

Spoiler

Perhatikan bahwa $n(n-1)(2n-1)$ mempunyai faktor perkalian dua bilangan berurutan, maka $2\mid n(n-1)(2n-1)$. Lalu $n(n-1)(2n-1)=n(n-1)[2(n+1)-3]=(n-1)n(n+1)-3n(n-1)$. Maka $3\mid n(n-1)(2n-1)$. Karena $n(n-1)(2n-1)$ habis dibagi $2$ dan $3$, maka $6\mid n(n-1)(2n-1)\forall n\in\mathbb{N}$. Jadi, $n\in\{1,2,3,4,\dots\}$.

 

10. 

Spoiler

$|2x-8|=\begin{cases}2x-8,\, &\text{jika }x\geq 4\\-2x+8,\, &\text{jika }x<4\end{cases}$. Kasus 1, jika $x\geq 4$, maka \begin{align*}x^2&<2x-8\\x^2-2x+8&<0,\end{align*} tidak ada $x$ real yang memenuhi. Kasus 2, jika $x<4$, maka \begin{align*}x^2&<-2x+8\\x^2+2x-8&<0\\(x+4)(x-2)&<0.\end{align*} Maka $-4<x<2$ atau bisa ditulis $x\in (-4, 2), x\in\mathbb{R}$.

 

11. 

Spoiler

Kejadian dua kartu dengan jumlah nomornya 6 adalah $A=\{(1,5)\,(2,4)\,(3,3)\,(4,2)\,(5,1)\}$. Maka $n(A)=5$. Misalkan $S$ adalah semestanya, maka $n(S)=6\times 6=36$. $P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\boxed{\frac{5}{36}}$.

 

Edited by Fachni

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×