Jump to content
-_-

OSP SMA 2005 Bagian Pertama

Recommended Posts

  1. Jika $a$ sebuah bilangan rasional dan $b$ adalah sebuah bilangan tak rasional, maka $a + b$ adalah bilangan $\ldots$
  2. Jumlah sepuluh bilangan prima yang pertama adalah $\ldots$
  3. Banyaknya himpunan $X$ yang memenuhi $\{1, 2\} \subseteq X \subseteq \{1, 2, 3, 4, 5\}$ adalah $\ldots$
  4. Jika $N = 123456789101112\ldots 9899100$, maka tiga angka pertama dari $\sqrt{N}$ adalah $\ldots$
  5. Misalkan $ABCD$ adalah sebuah trapesium dengan $BC \parallel AD$. Titik-titik $P$ dan $R$ berturut-turut adalah titik tengah sisi $AB$ dan $CD$. Titik $Q$ terletak pada sisi $BC$ sehingga $BQ : QC = 3 : 1$, sedangkan titik $S$ terletak pada sisi $AD$ sehingga $AS : SD = 1 : 3$. Maka rasio luas segiempat $PQRS$ terhadap luas trapesium $ABCD$ adalah $\ldots$
  6. Bilangan tiga-angka terkecil yang merupakan bilangan kuadrat sempurna dan bilangan kubik (pangkat tiga) sempurna sekaligus adalah $\ldots$
  7. Jika $a$, $b$ dua bilangan asli $a \le b$ sehingga $\dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}$ adalah bilangan rasional, maka pasangan terurut $(a, b) = \ldots$
  8. Diberikan segitiga $ABC$ dan titik $D$ terletak pada sisi $BC$. Jika $AB = AC$, $AD = BD$, dan besar sudut $DAC = 39^\circ$, maka besar sudut $BAD$ adalah $\ldots$
  9. Ketika mendaki sebuah bukit, seorang berjalan dengan kecepatan $1 \frac{1}{2}$ km/jam. Ketika menuruni bukit tersebut, ia berjalan tiga kali lebih cepat. Jika waktu yang dibutuhkan untuk melakukan perjalanan bolak-balik dari kaki bukit ke puncak bukit dan kembali ke kaki bukit adalah 6 jam, maka jarak antara kaki bukit dan puncak bukit (dalam km) adalah $\ldots$
  10. .Sebuah segienam beraturan dan sebuah segitiga sama sisi mempunyai keliling yang sama. Jika luas segitiga adalah $\sqrt{3}$, maka luas segienam adalah $\ldots$
  11. Dua buah dadu dilemparkan secara bersamaan. Peluang jumlah kedua angka yang muncul adalah bilangan prima adalah $\ldots$
  12. Keliling sebuah segitiga samasisi adalah $p$. Misalkan $Q$ adalah sebuah titik di dalam segitiga tersebut. Jika jumlah jarak dari $Q$ ke ketiga sisi segitiga adalah $s$, maka, dinyatakan dalam $s$, $p = \ldots$
  13. Barisan bilangan asli $(a, b, c)$ dengan $a \ge b \ge c$, yang memenuhi sekaligus kedua persamaan $ab + bc = 44$ dan $ac + bc = 23$ adalah $\ldots$
  14. Empat buah titik berbeda terletak pada sebuah garis. Jarak antara sebarang dua titik dapat diurutkan menjadi barisan 1, 4, 5, $k$, 9, 10. Maka $k = \ldots$
  15. Sebuah kelompok terdiri dari 2005 anggota. Setiap anggota memegang tepat satu rahasia. Setiap anggota dapat mengirim surat kepada anggota lain manapun untuk menyampaikan seluruh rahasia yang dipegangnya. Banyaknya surat yang perlu dikirim agar semua anggota kelompok mengetahui seluruh rahasia adalah $\ldots$
  16. Banyaknya pasangan bilangan bulat $(x, y)$ yang memenuhi persamaan $2xy − 5x + y = 55$ adalah $\ldots$
  17. Himpunan $A$ dan $B$ saling lepas dan $A \cup B = \{1, 2, 3, \ldots, 9\}$. Hasil perkalian semua unsur $A$ sama dengan jumlah semua unsur $B$. Unsur terkecil $B$ adalah $\ldots$
  18. Bentuk sederhana dari$$\frac{(2^3-1)(3^3-1)(4^3-1) \ldots (100^3-1)}{(2^3+1)(3^3+1)(4^3+1) \ldots (100^3+1)}$$ adalah $\ldots$
  19. Misalkan $ABCD$ adalah limas segitiga beraturan, yaitu bangun ruang bersisi empat yang berbentuk segitiga samasisi. Misalkan $S$ adalah titik tengah rusuk $AB$ dan $T$ titik tengah rusuk $CD$. Jika panjang rusuk $ABCD$ adalah 1 satuan panjang, maka panjang $ST$ adalah $\ldots$
  20. Untuk sebarang bilangan real $a$, notasi $\left\lfloor a \right\rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan $a$. Jika $x$ bilangan real yang memenuhi $\left\lfloor x+\sqrt{3} \right\rfloor = \left\lfloor x \right\rfloor + \left\lfloor \sqrt{3} \right\rfloor$, maka $x - \left\lfloor x \right\rfloor$ tidak akan lebih besar dari $\ldots$

Share this post


Link to post
Share on other sites

18.

Spoiler

\begin{align*}\frac{\displaystyle\prod_{k=2}^{100}(k^3-1)}{\displaystyle\prod_{k=2}^{100}(k^3+1)}&=\frac{\displaystyle\prod_{k=2}^{100}\left[(k-1)(k^2+k+1)\right]}{\displaystyle\prod_{k=2}^{100}\left[(k+1)(k^2-k+1)\right]}\\&=\frac{(1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdots99)(7\cdot13\cdot21\cdots(99^2+100)(100^2+101))}{(3\cdot4\cdot5\cdots99\cdot100\cdot101)(3\cdot7\cdot13\cdot21\cdots(100^2-99))}\\&=\frac{1\cdot2\cdot(100^2+101)}{100\cdot101\cdot3}\\&=\frac{2\cdot10101}{3\cdot100\cdot101}\\&=\boxed{\frac{3367}{5050}}\end{align*}

 

19.

Spoiler

Perhatikan $\triangle ABT$ sama kaki dengan $AT=BT$ dan $AB\perp ST$. Perhatikan $\triangle ATD$ yang siku-siku di $\angle T$. $AT=\sqrt{AD^2-TD^2}=\sqrt{1^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}=BT$. $ST=\sqrt{AT^2-AS^2}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\boxed{\frac{1}{2}\sqrt{2}}$.

 

Edited by Fachni

Share this post


Link to post
Share on other sites

No 1

Spoiler

Irrasional. Sebagai contoh,

$2$ adalah bilangan rasional dan $8-\sqrt{2}$ adalah irrasional. Jika dijumlahkan didapatkan $10-\sqrt{2}$ $(irrasional)$

$\therefore rasional + irrasional = irrasional$.

No 2

Spoiler

Sepuluh bilangan prima pertama: $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$. Maka jumlahnya $2+3+5+7+11+13+17+19+23+29=129$

No 11

Spoiler

Kemungkinan yang terjadi,

$(1,1),(1,2),(2,3),(2,5),(3,4),(5,6)$ ada $6$ kemungkinan. Sehingga peluangnya adalah $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

 

Edited by Wildan Bagus W

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now


×