Jump to content
Sign in to follow this  
-_-

Tutorial ITB MA1201 2016-17 Bab 7 No 21

Recommended Posts

a) Gunakan substitusi untuk mengubah $\int_0^1 \! \frac{\ln{(x+1)}}{x^2+1} \, \mathrm{d}x.$ menjadi 

$\int_0^\frac{\pi}{4} \! \ln{(\tan{t}+1)} \, \mathrm{d}t.$

b) Hitung $\int_0^\frac{\pi}{4} \! \ln{(\tan{t}+1)} \, \mathrm{d}t.$

Share this post


Link to post
Share on other sites

Bukannya lebih enak ngerjain dalam bentuk $\int_0^1 \frac{\ln(x+1)}{x^2+1} \, dx$. 

 

Misalkan $F(y)=\int_0^1 \frac{\ln(yx+1)}{x^2+1}\, dx$. Perhatikan bahwa kita diminta untuk menghitung $F(1)$, dan diketahui $F(0)=0$.  Turunkan terhadap $y$ (disini turunannya boleh masuk karena integrannya continuously bounded). Diperoleh

 

\[F'(y)= \int_0^1 \frac{x}{(xy+1)(x^2+1)} \, dx\]

 

Dengan parsial fraction diperoleh

 

\[ \frac{x}{(xt+1)(x^2+1)} = \frac{x+t}{(t^2+1)(x^2+1)} - \frac{t}{(tx+1)(t^2+1)}\]

Sehingga 

\[F'(y)= \left. \frac{\ln(x^2+1)}{2(y^2+1)} \right\lvert_{x=0}^1 + \left. \frac{y \arctan(x)}{y^2+1} \right\lvert_{x=0}^1 - \left. \frac{\ln(yx+1)}{y^2+1} \right\lvert_{x=0}^1 =  \frac{\ln 2}{2(y^2+1)} + \frac{\pi}{4} \cdot \frac{y}{y^2+1} - \frac{\ln(y+1)}{y^2+1} \]

 

Apabila di integralkan dari $y=0$ sampai $y=1$ maka diperoleh

\[F(1)-F(0)= \frac{\pi \ln 2}{8} + \frac{\pi \ln 2}{8} - F(1)\]

 

sehingga $F(1)=\frac{\pi \ln 2}{8}$.

 

Edited by Adri

Share this post


Link to post
Share on other sites
2 hours ago, Adri said:

Bukannya lebih enak ngerjain dalam bentuk 10ln(x+1)x2+1dx∫01ln⁡(x+1)x2+1dx

 

Misalkan F(y)=10ln(yx+1)x2+1dxF(y)=∫01ln⁡(yx+1)x2+1dx . Perhatikan bahwa kita diminta untuk menghitung F(1)F(1) , dan diketahui F(0)=0F(0)=0 .  Turunkan terhadap yy (disini turunannya boleh masuk karena integrannya continuously bounded). Diperoleh

 

 

F(y)=10x(xt+1)(x2+1)dxF′(y)=∫01x(xt+1)(x2+1)dx

 

 

Dengan parsial fraction diperoleh

 

 

x(xt+1)(x2+1)=x+t(t2+1)(x2+1)t(tx+1)(t2+1)x(xt+1)(x2+1)=x+t(t2+1)(x2+1)−t(tx+1)(t2+1)

 

Sehingga 

 

F(y)=ln(x2+1)2(y2+1)1x=0+yarctan(x)y2+11x=0ln(yx+1)y2+11x=0=ln22(y2+1)+π4yy2+1ln(y+1)y2+1F′(y)=ln⁡(x2+1)2(y2+1)|x=01+yarctan⁡(x)y2+1|x=01−ln⁡(yx+1)y2+1|x=01=ln⁡22(y2+1)+π4⋅yy2+1−ln⁡(y+1)y2+1

 

 

Apabila di integralkan dari y=0y=0 sampai y=1y=1 maka diperoleh

 

F(1)F(0)=πln28+πln28F(1)F(1)−F(0)=πln⁡28+πln⁡28−F(1)

 

 

sehingga F(1)=πln28F(1)=πln⁡28 .

 

kok jadi susah sih kak, katanya lebih enak,

Share this post


Link to post
Share on other sites
2 hours ago, OnePunchMan said:

kok jadi susah sih kak, katanya lebih enak,

emg susah? emg yg pake tan itu lbh enak? saya malah langsung kepikiran caranya klo bentuk nya msh pake $ln$

Share this post


Link to post
Share on other sites
50 minutes ago, Adri said:

emg susah? emg yg pake tan itu lbh enak? saya malah langsung kepikiran caranya klo bentuk nya msh pake lnln

yang pake tan emang ga lebih enak. tapi soalnya sendiri ngasih hint gratisan gitu, 

 

yang cara kakak aku ga ngerti dapetin $F'(y)$ nya 

 

#dan 

itu emang soal kuliahan dikasi hint gitu ya kalo ngerjain?

Share this post


Link to post
Share on other sites
13 hours ago, OnePunchMan said:

yang pake tan emang ga lebih enak. tapi soalnya sendiri ngasih hint gratisan gitu, 

 

yang cara kakak aku ga ngerti dapetin F(y)F′(y) nya 

 

#dan 

itu emang soal kuliahan dikasi hint gitu ya kalo ngerjain?

 

itu ada typo dikit... turunan F(y) terhadap y aja.. turunan ln(yx+1) terhadap y itu kan $\frac{x}{yx+1}$.

Share this post


Link to post
Share on other sites

 

23 hours ago, Adri said:

Bukannya lebih enak ngerjain dalam bentuk 10ln(x+1)x2+1dx∫01ln⁡(x+1)x2+1dx

 

Misalkan F(y)=10ln(yx+1)x2+1dxF(y)=∫01ln⁡(yx+1)x2+1dx . Perhatikan bahwa kita diminta untuk menghitung F(1)F(1) , dan diketahui F(0)=0F(0)=0 .  Turunkan terhadap yy (disini turunannya boleh masuk karena integrannya continuously bounded). Diperoleh

 

 

F(y)=10x(xy+1)(x2+1)dxF′(y)=∫01x(xy+1)(x2+1)dx

 

 

Dengan parsial fraction diperoleh

 

 

x(xt+1)(x2+1)=x+t(t2+1)(x2+1)t(tx+1)(t2+1)x(xt+1)(x2+1)=x+t(t2+1)(x2+1)−t(tx+1)(t2+1)

 

Sehingga 

 

F(y)=ln(x2+1)2(y2+1)1x=0+yarctan(x)y2+11x=0ln(yx+1)y2+11x=0=ln22(y2+1)+π4yy2+1ln(y+1)y2+1F′(y)=ln⁡(x2+1)2(y2+1)|x=01+yarctan⁡(x)y2+1|x=01−ln⁡(yx+1)y2+1|x=01=ln⁡22(y2+1)+π4⋅yy2+1−ln⁡(y+1)y2+1

 

 

Apabila di integralkan dari y=0y=0 sampai y=1y=1 maka diperoleh

 

F(1)F(0)=πln28+πln28F(1)F(1)−F(0)=πln⁡28+πln⁡28−F(1)

 

 

sehingga F(1)=πln28F(1)=πln⁡28 .

 

kok random sih tiba" ganti $\ln (x+1)$ jadi $\ln (xy+1)$. Intuisinya apa? (kaya waktu diganti bentuk gitu pengennya apa?)

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

ide bodoh btw hore:

$ln(x+1)$ bongkar jadi $x-\frac{x^2}{2}+...$, terus "integrate by term" (boleh ga sih). perhatikan kalau masing" term itu rational function, bagi atas bawah cari polanya terus nanti bakal ada summation aneh kaya $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-...$ gitu" bisa diselesain dengan liat $1-x^2+x^4-...$ di integrate terus evaluate saat $x=1$ gitu. 

 

(kayanya)

Share this post


Link to post
Share on other sites
4 minutes ago, erlang said:

 

kok random sih tiba" ganti ln(x+1)ln⁡(x+1) jadi ln(xy+1)ln⁡(xy+1) . Intuisinya apa? (kaya waktu diganti bentuk gitu pengennya apa?)

 

Pengen ngilangin $\ln$ - nya.. 

Kenapa pake $\ln(yx+1)$, tadi pengennya $\ln(x+y)$, tapi klo kyk gini nanti ga bisa dapet $F(0)=0$.  

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 1/26/2017 at 9:56 AM, OnePunchMan said:

kok ez. jadi malas kuliah di jurusan matematik 

Ini bukan soal jurusan matematika, btw. Tapi soal matematika dasar buat hampir semua mahasiswa (tidak hanya mtk)  tingkat 1 di ITB. Wajar kalau tidak terlihat susah. 

Share this post


Link to post
Share on other sites
13 hours ago, Adri said:

 

Pengen ngilangin lnln - nya.. 

Kenapa pake ln(yx+1)ln⁡(yx+1) , tadi pengennya ln(x+y)ln⁡(x+y) , tapi klo kyk gini nanti ga bisa dapet F(0)=0F(0)=0 .  

ohh hmm jadi bisa kaya "isolate" ln sendiri ya...  bagus. Ada namanya ga ya teknik ini?

 

kalau ada beberapa $\ln$ gitu bisa selipin $y,z,...$ gitu di masing-masing $\ln$ terus differentiate satu" ga ya? 

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 1/28/2017 at 2:15 AM, erlang said:

ohh hmm jadi bisa kaya "isolate" ln sendiri ya...  bagus. Ada namanya ga ya teknik ini?

 

kalau ada beberapa lnln gitu bisa selipin y,z,...y,z,... gitu di masing-masing lnln  terus differentiate satu" ga ya? 

 

Saya liat teknik ini di buku Advance Calculus nya Kaplan, "Differentiation Under Integral Sign". Mungkin hubungannya dengan Laplace Transformation, krn nyari inverse Laplace biasanya kayak gini. 

 

Cara km yg integralin expansion power series itu boleh dilakukan untuk kasus ini, karena integral nya bounded di interval tutup $[0,1]$.  

 

Oh ada namanya : Fubini Technique .. mgkn berhubungan dengan teorema Fubini ttg double sumasi $\sum_{k} \sum_{j}$ karena disini kita pakai double integral $\int_y \int_x$

Edited by Adri

Share this post


Link to post
Share on other sites
20 hours ago, Adri said:

 

Saya liat teknik ini di buku Advance Calculus nya Kaplan, "Differentiation Under Integral Sign". Mungkin hubungannya dengan Laplace Transformation, krn nyari inverse Laplace biasanya kayak gini. 

 

Cara km yg integralin expansion power series itu boleh dilakukan untuk kasus ini, karena integral nya bounded di interval tutup [0,1][0,1] .  

 

Oh ada namanya : Fubini Technique .. mgkn berhubungan dengan teorema Fubini ttg double sumasi kj∑k∑j karena disini kita pakai double integral yx∫y∫x

seru kak, kak ajat kuliah dimana?

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×