Jump to content
Sign in to follow this  
KTO Matematika

Kontes Terbuka Olimpiade Matematika - Januari 2017 - Bagian B Nomor 1

Recommended Posts

Diberikan bilangan real positif $a,b,$ dan $c$. Perhatikan sistem persamaan

 

\[x+y = a\]

\[y+z = b\]

\[x+z = c\]

 

(a) Tunjukkan bahwa penyelesaian $x,y,$ dan $z$ dari sistem persamaan tersebut adalah

 

\[x = \frac{a-b+c}{2}\]

\[y = \frac{a+b-c}{2}\]

\[z = \frac{-a+b+c}{2}\]

 

(Petunjuk : jumlahkan ketiga persamaan, lalu nyatakan $x,y,$ dan $z$ dalam $a,b,$ dan $c$.

 

(b) Jika $a,b,$ dan $c$ merupakan panjang sisi-sisi dari suatu segitiga, tunjukkan bahwa penyelesaian $x,y,$ dan $z$ pada bagian (a) adalah bilangan real positif.

 

(c) Apakah pertanyaan pada bagian (b) tetap benar jika $a,b,$ dan $c$ bukanlah panjang sisi segitiga? Jika benar, buktikan; jika salah, berikan suatu contoh penyangkal.

 

(d) Diberikan bilangan real positif $x, y,$ dan $z$. Dengan menyatakan $x, y,$ dan $z$ ke dalam $a, b,$ dan $c$ (seperti pada bagian (a)), tunjukkan bahwa

 

\[\frac{x}{y+z} + \frac{y}{z+x} + \frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2}\]

(Catatan: Ketaksamaan ini dikenal dengan Ketaksamaan Nesbitt. Teknik substitusi seperti pada bagian (a) dikenal dengan Substitusi Ravi)

 

(e) Diketahui bahwa $a,b,$ dan $c$ merupakan panjang sisi-sisi dari suatu segitiga. Tunjukkan bahwa

 

\[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} < 2\]

 

(Petunjuk : Gunakan teknik Substitusi Ravi. Coba nyatakan $a,b,$ dan $c$ dalam $x,y$ dan $z$)

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×