KTO Matematika

Kontes Terbuka Olimpiade Matematika - Januari 2017 - Bagian A

Recommended Posts

1. Tentukan bilangan asli dengan empat digit terkecil yang memiliki banyak faktor yang sama dengan banyak faktor dari 2017.

 

2. Diberikan segitiga $ABC$ yang siku-siku di $C$ dengan $CA = 3$ dan $CB = 4$. Titik $D$ terletak pada $AB$ sehingga $CD$ tegak lurus terhadap $AB$. Titik $E$ terletak pada $CA$ sehingga $DE$ tegak lurus terhadap $CA$. Jika panjang $DE$ dinyatakan dalam bentuk $\frac{m^2}{n^2}$, dengan $m$ dan $n$ adalah bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $m+n$.

 

3. Misalkan $x$ dan $y$ bilangan real yang memenuhi $x^2 − 2xy + 2y^2 − 4y + 4 = 0$. Tentukan nilai dari $x^4 + y^4$.

 

4. Sebuah bilangan asli disebut mantap jika penulisannya dalam basis $7$ berakhir dengan angka $5$.Sebuah bilangan disebut jiwa jika penulisannya dalam basis $13$ berakhir dengan angka $4$. Sebuah bilangan dikatakan mantap jiwa jika bilangan tersebut mantap sekaligus jiwa. Tentukan bilangan mantap jiwa terbesar yang terdiri dari tiga angka.

 

5. Misalkan $ABCD$ adalah segiempat dengan $AB = BC = CD = DA$ dan $\angle{ABC} < 90^{\circ}$. Diketahui bahwa terdapat titik $E$ dan $F$ pada segmen $BC$ dan $CD$, berturut-turut, sehingga $AB = AE = AF = FE$ ($E$ terletak di antara $B$ dan $C$, dan $F$ terletak di antara $C$ dan $D$). Misalkan besar $\angle{BEF}$ adalah $p$ dalam satun derajat. Tentukan nilai $p$.

 

6. Andi dan Budi sedang bermain. Diberikan $2017$ kartu dengan $901$ diantaranya berwarna merah dan sisanya berwarna biru. Sebuah ronde permainan didefinisikan sebagai berikut: dua kartu diambil secara bersamaan; jika kartu yang terambil pertama berwarna merah dan kedua berwarna biru, Andi menang dan ronde selesai; jika kartu yang terambil pertama berwarna biru dan kedua berwarna merah, Budi menang dan ronde selesai; jika kedua kartu yang terambil berwarna sama, permainan berlanjut (kartu yang sudah terambil tidak dikembalikan lagi). Misalkan $x$ adalah peluang Andi memenangkan sebuah ronde permainan. Tentukan nilai dari $2016x$.

 

7. Berapakah sisa dari $20^{2017} + 01^{2017} + 17^{2017} + 72^{2017}$ ketika dibagi dengan $2017$?

 

8. Andi dan Budi sedang bermain. Terdapat sebuah kantong yang berisi $2016$ kelereng merah dan $2017$ kelereng biru. Andi mengambil sejumlah kelereng secara acak dari kantong tersebut. Andi menang jika banyaknya kelereng merah lebih banyak

dari banyaknya kelereng biru; sebaliknya, Budi menang. Untuk

memaksimalkan peluang Andi menang, tentukan jumlah kelereng yang harus diambilnya.

 

9. Diberikan $\triangle{ABC}$ dengan panjang $AB = 25, BC = 34,$ dan $CA = 39$. Misalkan $P$ adalah sebuah titik di dalam segitiga dan titik-titik $X, Y ,$ dan $Z$ adalah proyeksi

titik $P$ ke sisi $BC, CA,$ dan $AB$ berturut-turut. Diketahui bahwa ketia segiempat $AZPY$ , $BXPZ,$ dan $CYPX$ semuanya memiliki lingkaran dalam. Jika $PX + PY + PZ = \frac{m}{n}$ untuk suatu bilangan asli $m$ dan $n$ yang relatif prima. Hitunglah $m + n$. Catatan : lingkaran dalam dari sebuah segiempat adalah sebuah lingkaran di dalam segiempat yang menyinggung keempat sisi dari segiempat tersebut.

 

10. Misalkan $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ adalah fungis tak-konstan (hal ini berarti terdapat dua bilangan real $a$ dan $b$ sehingga $f(a) \neq f(b)$) yang memenuhi persamaan $f(x)f(x+y) = f(2x+y) - xf(x+y) + x$ untuk setiap $x,y \in \mathbb{R}$. Tentukan $f(-99)$.

 

11. Satria sedang bermain sebuah game dengan 3 (tiga) level. Kemungkinan ia memenangkan level pertama, kedua dan ketiga adalah $\frac{2}{3}, \frac{1}{2},$ dan $\frac{1}{3}$, berturut-turut. Satria mulai dari level pertama. Setiap kali Satria memenangkan sebuah level, ia maju ke level selanjutnya; sedangkan setiap kali Satria kalah pada sebuah level, ia truun ke level sebelumnya. Jika Satria memenangkan level ketiga, ia memenangkan permainan dan permainan selesai. Sebaliknya, jika Satria kalah pada level pertama, ia dianggap kalah dalam permainan dan permainan juga selesai. Misalkan kemungkinan Satria memenangkan permainan pertama adalah $\frac{a}{b}$, di mana $a$ dan $b$ adalah bilangan asli yang relatif prima. Tentukan nilai dari $a + b.$

 

12. Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat sehingga

\[(x^3 - 1)(y^3 - 1) = 3(x^2y^2 + 2)\]

Tentukan nilai dari $x^2 + y^2$.

 

13. Misalkan $\triangle{ABC}$ memiliki $I$ sebagai titik pusat lingkaran dalamnya. Lingkaran berdiameter $AI$ memotong lingkaran luar $\triangle{ABC}$ sekali lagi di titik $X$ (hal ini berarti $X \neq A$). Misalkan $Y$ adalah titik tengah busur $BC$ yang tidak memuat $A$ pada lingkaran luar $\triangle{ABC}$. Misalkan $XY$ memotong $BC$ di titik $Z$. Jika $BZ = 7$ dan $AC = 35$, tentukan keliling $\triangle{ABC}$.

 

14. Andi memiliki $3$ tiket. Setiap hari, sebuah tiket diambil. Terdapat $\frac{2}{5}$ kemungkinan bahwa tiket yang terambil tersebut dikembalikan, dan terdapat $\frac{3}{5}$ kemungkinan bahwa Andi akan mendapat kembalian $2$ tiket (jadi, banyak tiket yang dmiliki Andi bertambah $1$ tiket). Kejadian ini dilakukan terus menerus. Jika peluang suatu saat tiket Andi habis adalah $x$, tentukan $999x$.

Share this post


Link to post
Share on other sites

No 3.

\(\begin{align*} x^2 -2xy + 2y^2 - 4y + 4 &= 0\\ x^2 -2xy + y^2 + y^2 - 4y +4 &= 0\\ (x-y)^2 + (y-2)^2 &= 0 \end{align*}\)

Dipenuhi bila \(x = y\) dan \(y = 2\) sehingga \(x = 2\) dan  \(x^4 + y^4 = 32\)

 

 

Edited by Muhamad Abdul Rosid
  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 hour ago, William Hilmy said:

No.4 jwbnnya gmn ya gan?

dalam basis 7 berakhir dengan angka 5 = sisa 5 jika dibagi 7
dalam basis 13 berakhir dengan angka 4 = sisa 4 jika dibagi 13
semoga membantu :D

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 11/2/2017 at 8:11 AM, Oky Markianto said:

Ada yg bisa jelaskan soal soal yg peluang ? 

no 14?
Jadi ada 2/5 peluang tiket dikembalikan, dan ada 3/5 peluang tiket dikembalikan. dari kejadian tiket dikembalikan, ada 3/5 peluang tiketnya diberi 2 dan 2/5 peluang tiketnya diberi 1
gitu sih semaksud saya

Share this post


Link to post
Share on other sites

Bisa minta tolong diberi penjelasan solusi dari soal-soal peluang (No. 6, No. 11, No. 14). Makasih sebelumnya

Bisa minta tolong diberi penjelasan solusi dari soal-soal peluang (No. 6, No. 11, No. 14). Makasih sebelumnya

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now