Jump to content
Sign in to follow this  
Livesky

Soal UAS Pengantar Geometri

Recommended Posts

(1) Let $f : \mathbb R^3\to \mathbb R$ becomes a smooth function. Prove that $f^{-1}(m_0)$ is 2-dimensional manifolds if $m_0$ is the regular value of $f$.

 

(2) Define $F : \mathbb R^2 \to \mathbb R$ as below, then answer the following questions.
$$F(x,y) = x^2 - y^2$$
(a) Scratch the surface of $Gr(F)$.

(b) Define $f : Gr(F) \to \mathbb R$ as $f(x,y,z) = z$. Decide whether $f$ is a Morse function. If $f$ is a Morse function, find all the critical points and the Morse index at that points.

 

(3) and (4) to be continued ~

Share this post


Link to post
Share on other sites

1. Ini sebenarnya cuma kasus kecil dari Preimage Theorem. Secara general jika $f: M \rightarrow N$ adalah smooth function dimana $M$ dan $N$ adalah Manifold dengan dimensi $m$ dan $n$ dimana $m>n$ maka $f^{-1}(m_0)$ untuk $m_0$ titik regular membentuk manifold dengan dimensi $m-n$.  Buktinya bisa pakai Local Submersion Theorem dengan membentuk local coordinate $f(x,y,z)=(s,t)$ di sebuah open set, sedemikian sehingga $m_0=0$, maka untuk setiap neighborhood $V$ dari joint nya diperoleh $f^{-1}(m_0) \cap V$ adalah yang mempunyai koordinat $(0,0,u)$, bisa dicek jg bahwa fungsi yang memetakan ke $u$ ini diffemorphism, jadi terbukti. 

 

 

2.  Sebelum jawab pertanyaan nya, mau klarifikasi itu definisi $Gr(F)$, Graph Manifold?  i.e $\{(x,f(x)) \, | \, x\in \mathbb{R}^2 \}$ 

 

 

Edited by Adri

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 1/29/2017 at 2:27 PM, Adri said:

1. Ini sebenarnya cuma kasus kecil dari Preimage Theorem. Secara general jika f:MNf:M→N adalah smooth function dimana MM dan NN adalah Manifold dengan dimensi mm dan nn dimana m>nm>n  maka f1(m0)f−1(m0) untuk m0m0 titik regular membentuk manifold dengan dimensi mnm−n .  Buktinya bisa pakai Local Submersion Theorem dengan membentuk local coordinate f(x,y,z)=(s,t)f(x,y,z)=(s,t) di sebuah open set, sedemikian sehingga m0=0m0=0 , maka untuk setiap neighborhood VV dari joint nya diperoleh f1(m0)Vf−1(m0)∩V adalah yang mempunyai koordinat (0,0,u)(0,0,u) , bisa dicek jg bahwa fungsi yang memetakan ke uu ini diffemorphism, jadi terbukti. 

 

 

2.  Sebelum jawab pertanyaan nya, mau klarifikasi itu definisi Gr(F)Gr(F) , Graph Manifold?  i.e {(x,f(x))|xR2}{(x,f(x))|x∈R2}  

 

 

Iya, definisinya yang itu. Nanti saya edit lagi

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×