o.o Mingguan 3 - 5-11 Februari 2016

[-_- 39]

1. Diketahui bilangan bulat positif $n$ merupakan hasil jumlah 2015 bilangan bulat berurutan. Tentukan nilai terkecil yang mungkin untuk $n$

2. Pada papan catur berukuran $8 \times 8$, beberapa buah gajah akan diletakkan. Dua buah gajah dikatakan saling menyerang jika garis yang menghubungkan kedua gajah sejajar dengan diagonal papan catur. Paling banyak, berapa gajahkah yang dapat diletakkan pada papan catur tersebut sehingga tidak ada dua gajah yang saling menyerang?

3. Diberikan $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{2001}, \dots$ adalah sebuah barisan aritmatika dengan $a_1^2+a_{1001}^2 \le 10$.

    

   Tentukan nilai maksimum dari $a_{1001}+a_{1002}+\dots+a_{2001}$

4. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $I$ pusat lingkaran dalam dan $AD$ garis tinggi. Misalkan $I_1$ dan $I_2$ berturut-turut adalah pusat lingkaran dalam segitiga $ACD$ dan $ABD$. Tunjukkan bahwa jika $\angle BAC$ siku-siku, maka $AI$ dan $I_1I_2$ tegak lurus dan sama panjang. 

5. Misalkan $S = \{ 2, 3, 4, \dotsc \}$ menyatakan himpunan bilangan-bilangan bulat yang lebih besar atau sama dengan 2. Apakah terdapat $f: S \to S$ sehingga $$f(a)f(b)=f(a^2b^2)$$ untuk setiap $a, b \in S$ dengan $a \neq b$?

Spoiler

1. KTO Matematika Juni 2015 Bagian A No 4
2. Barisan aritmatika (Indrik)
3. KTO Matematika September 2015 Bagian B No 1
4. Tes Pelatihan Tahap 1 Calon Peserta IMO 2015
5. APMO 2015 No 1