KTO Matematika

Simulasi OSK KTO Matematika Februari 2017

Recommended Posts

  1. Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan real sedemikian sehingga kurva $x-2y^2-ay-b=0$ menyinggung sumbu-$y$. Tentukan nilai dari $a^2-8b$.
  2. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $CA = 5, CB = 7$, dan $AB = 8$. Misal $PQ$ adalah garis yang sejajar dengan $AB$ dan menyinggung lingkaran dalam segitiga $ABC$, di mana $P$ terletak pada $AC$ dan $Q$ terletak pada $BC$. Bila panjang $PQ$ dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{m}{n}$ dengan $m$ dan $n$ merupakan bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $m+n$.
  3. Tentukan banyaknya cara membagi 11 orang ke dalam kelompok-kelompok yang hanya beranggotakan 4 atau 3 orang.
  4. Diketahui bahwa $$20!+17!=24332576x560473yz00.$$ Carilah nilai dari $100x+10y+z$.
  5. Misalkan $a$, $b$, dan $c$ adalah bilangan real positif yang memenuhi $abc=\frac{1}{8}$. Tentukan nilai minimum dari $16a^2+16b^2+16c^2+32a^2b^2+32b^2c^2+32c^2a^2$.
  6. Titik $E$ adalah titik tengah sisi $AB$ dari persegi $ABCD$. Lingkaran yang melalui $B$ dengan pusat $A$ memotong segmen $EC$ di titik $F$. Apabila $\frac{EF}{FC}$ dapat ditulis dalam bentuk $\frac{a}{b}$, dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $a+b$.
  7. Diketahui bahwa suatu barisan aritmetika memiliki suku pertama 1, beda $k$, dan mengandung angka 2016. Jika $0<k<1000$ dan $k$ adalah bilangan bulat, hitunglah jumlah dari semua nilai $k$ yang mungkin.
  8. Sebuah dadu bersisi 6 (sisi-sisinya mengandung angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6) dan sebuah dadu bersisi 4 (sisi-sisinya mengandung angka 1, 2, 3, dan 4) dilempar. Jika peluang angka pada dadu bersisi 4 lebih besar dari angka pada dadu bersisi 6 adalah $n$, tentukan nilai dari $100n$.
  9. Tentukan jumlah semua nilai $\theta$ (dalam derajat) yang memenuhi persamaan $\sqrt{3}\lfloor\sin{\theta}\rfloor=2\cos{\theta}$ dengan $-360^{\circ}\leq\theta\leq 360^{\circ}$.
  10. Terdapat sekelompok orang. Diketahui bahwa setiap laki-laki di kelompok itu memiliki teman perempuan tiga kali lipat banyaknya teman laki-laki, dan setiap perempuan di kelompok itu memiliki teman perempuan dua kali lipat banyaknya teman laki-laki. Tentukan banyaknya orang di kelompok tersebut. (Asumsikan bahwa setiap dua orang yang berbeda di kelompok tersebut adalah teman).
  11. Misalkan $ABC$ adalah segitiga sama sisi dan titik $P$ terletak di dalamnya. Misalkan $D$, $E$, dan $F$ adalah proyeksi titik $P$ terhadap sisi $BC$, $CA$, dan $AB$, berturut-turut. Misalkan $BD=4$, $CE=5$, dan $AF=6$. Tentukan kuadrat dari luas $\triangle ABC$.
  12. Diberikan sebuah bilangan asli $m$ yang memenuhi $m^{53}$ bersisa 31 apabila dibagi dengan 143. Tentukan sisa pembagian $m$ oleh 143.
  13. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $P$ adalah titik singgung lingkaran dalam segitiga dengan sisi $AB$. Misalkan $AP=23$, $BP=27$, dan jari-jari lingkaran dalam segitiga $ABC$ adalah 21. Tentukan keliling segitiga $ABC$. 
  14. Diberikan sebuah barisan bilangan bulat $x_1,x_2,...$ sehingga untuk setiap $n\ge 1$ berlaku $x_{n+3}=2x_{n+2}-4x_{n+1}+8x_n$ dan $x_1=296,x_2=219,x_3=144$. Carilah bilangan bulat positif $n$ terkecil sedemikian sehingga untuk semua bilangan bulat $m\ge n$, berlaku $x_m\ge 0$.
  15. Misalkan $N$ adalah banyaknya 6-tupel bilangan bulat terurut $(a,b,c,d,e,f)$ sedemikian sehingga \[|a|+|b|+|c|+|d|+|e|+|f|\leq 19.\] Tentukan sisa pembagian $N$ oleh 17.
  16. Suatu barisan $a_n$ didefinisikan sebagai $a_n=n$ untuk $n=0,1,2,3,4$ dan untuk setiap $i \geq 5$, $a_i$ adalah sisa pembagian $a_{i-1}+a_{i-5}$ dengan 5. Hitunglah nilai dari $1000\times a_2+100\times a_{20}+10\times a_{201}+a_{2017}$.
  17. \Diberikan $\triangle ABC$ lancip dengan $M$ sebagai titik tengah  $BC$ dan $\sin A=\frac{1}{3}$. Misalkan $BE$ dan $CF$ adalah garis tinggi $\triangle ABC$ yang berpotongan di titik $H$ (titik $E$ dan $F$ pada $CA$ dan $AB$, berturut-turut). Jika $(\cos\angle EMF)^2+(\cos\angle MFE)^2+(\cos\angle FEM)^2=\frac pq$ untuk suatu bilangan asli $p$ dan $q$ yang relatif prima, hitunglah nilai dari $p+q$.
  18. Tentukan banyaknya bilangan asli $n$ dengan $2\leq n\leq 1000$ sehingga $n!$ habis dibagi oleh $2^{n-2}$.
  19. Misalkan $p$ dan $q$ adalah bilangan asli sedemikian sehingga \[\prod_{k=1}^{14}\cos{(6k)}^\circ=\frac{\sqrt{p}}{q}.\] Jika $p$ adalah bilangan yang tidak habis dibagi bilangan kuadrat apa pun selain 1, tentukan sisa pembagian $p+q$ oleh 1000.Catatan: Notasi $\displaystyle \prod_{k=1}^{m}f(k)$ menyatakan perkalian $f(1),f(2),$ sampai dengan $f(k)$.
  20. Terdapat $n$ titik di dalam persegi berukuran $3\times 3$ (titik-titik tersebut boleh terletak pada sisi ataupun sudut persegi tersebut). Tentukan nilai terkecil yang mungkin untuk $n$ sehingga pasti dapat ditemukan $2$ titik dengan jarak kurang dari $2$.
Edited by KTO Matematika

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 hour ago, BeingNotknown Ya said:

11 Penasaran -,-"

Phytagoras, nanti ada 6 persamaan, terus [1] - [2] + [3] - [4] + [5] - [6]; nanti dapat CD^2 + AE^2 + BF^2 = 16 + 25 + 36

Terus karena sama sisi, akibatnya... :rock:

Share this post


Link to post
Share on other sites

1. 0

2. 13

3. 11550 Jawaban yg benar 5775

4. 960

5. 18

6. 5

7. 673

8. 25

9. 60

10. 13

11. 1875

12. 70

13. 345

14. saya ragu , saya jawab 1 karena xn >0

15.saya dapatnya 0

16. 2141

17. saya dapatnya 274

18. 54

19. 399

20. saya dapatnya 6

Edited by sablis

Share this post


Link to post
Share on other sites
8 hours ago, Izzun said:

Yang nomer 5 gimana sih?

Katanya sih AM-GM satu-satu, yang $a^2 + b^2 + c^2$ sama $a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2$

 

4 hours ago, Oky Markianto said:

Coba hubungkan P ke A, B, C

 

Pythagoras

PA^2 = PA^2

Dari dua segitiga berbeda

Nanti kucoba deh 

 

12 minutes ago, ChrisTiano Van Waldo Rumapea said:

yg nomor 9 gmna caranya kk

 

Perhatikan bahwa $\lfloor \sin \theta \rfloor$ adalah bilangan bulat. Maka kemungkinan nilai $\lfloor \sin \theta \rfloor$ hanya ada tiga, yaitu $1$,$0$, atau $-1$. Bagi kasus, dapet $210^\circ$ sama $-150^\circ$

 

210 - 150 = 60

CMIIW

Share this post


Link to post
Share on other sites
9 hours ago, sablis said:

1. 0

2. 13

3. 11550

4. 960

5. 18

6. 5

7. 673

8. 25

9. 60

10. 13

11. 1875

12. 70

13. 345

14. saya ragu , saya jawab 1 karena xn >0

15.saya dapatnya 0

16. 2141

17. saya dapatnya 274

18. 54

19. 399

20. saya dapatnya 6

Nmr 3 dan 12 bgmn caranya ya?

Share this post


Link to post
Share on other sites
5 hours ago, BeingNotknown Ya said:

Perhatikan bahwa sinθ⌊sin⁡θ⌋ adalah bilangan bulat. Maka kemungkinan nilai sinθ⌊sin⁡θ⌋ hanya ada tiga, yaitu 11 ,00 , atau 1−1 . Bagi kasus, dapet 210210∘ sama 150−150∘

 

210 - 150 = 60

CMIIW

Tapi bukannya kalau dengan identitas cos(x) = cos(-x) jadi nol solusinya yah kak? correct me if i'm wrong

Edited by 65536

Share this post


Link to post
Share on other sites
8 hours ago, 65536 said:

Tapi bukannya kalau dengan identitas cos(x) = cos(-x) jadi nol solusinya yah kak? correct me if i'm wrong

Em.. gimana ya bilangnya..

 

Ane dapet $\theta$-nya cuma $210^\circ$ 

 

Tapi karena $-360^\circ \leq \theta \leq 360^\circ$ makanya $-150^\circ$ juga ikutan. Kenapa? Karena $\sin 210^\circ = \sin (-150^\circ)$ begitu pula cosinus-nya

 

Coba paparkan caramu dulu, takutnya nanti salah paham :wink:

Share this post


Link to post
Share on other sites
11 hours ago, 65536 said:

Tapi bukannya kalau dengan identitas cos(x) = cos(-x) jadi nol solusinya yah kak? correct me if i'm wrong

Kembalikan ke persamaan awal, ada sin x yg berpengaruh, makanya cos x =cos -x tidak berlaku,

Jadi

210 memenuhi

-210 tdk memenuhi

Share this post


Link to post
Share on other sites
23 hours ago, BeingNotknown Ya said:

Katanya sih AM-GM satu-satu, yang a2+b2+c2a2+b2+c2 sama a2b2+b2c2+c2a2a2b2+b2c2+c2a2

 

Nanti kucoba deh 

 

Perhatikan bahwa sinθ⌊sin⁡θ⌋ adalah bilangan bulat. Maka kemungkinan nilai sinθ⌊sin⁡θ⌋ hanya ada tiga, yaitu 11 ,00 , atau 1−1 . Bagi kasus, dapet 210210∘ sama 150−150∘

 

210 - 150 = 60

CMIIW

Maaf, tapi kenapa yang no.5 kok nggak kita AM-GM semuanya langsung?

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 28/2/2017 at 11:24 AM, sablis said:

1. 0

2. 13

3. 11550

4. 960

5. 18

6. 5

7. 673

8. 25

9. 60

10. 13

11. 1875

12. 70

13. 345

14. saya ragu , saya jawab 1 karena xn >0

15.saya dapatnya 0

16. 2141

17. saya dapatnya 274

18. 54

19. 399

20. saya dapatnya 6

No 3 kok ane dptnya 34650 gan?Apa mesti dibagi 3 gan?

Edited by William Hilmy

Share this post


Link to post
Share on other sites

Oh iy y no 5 jwbnny 18 ada jebakan d soal it klw langsung di am gm nanti kontra jadi harus di pisah dlu lalu am gm

Edited by ...

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 28/02/2017 at 8:58 PM, Anzar Fahry said:

Nmr 3 dan 12 bgmn caranya ya?

no 3 

caranya ada 2

cara pertama

11! / 4!.4!.3! 2!= 5775

cara kedua

11 C 4 . 7C4 . 3C3 /2! = 5775

karena ada 2 kelas yg terdiri dari 4 orang makanya dibagi dg 2

no 12 saya kuli

hahahaha

Edited by sablis

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now