KTO Matematika

Simulasi OSK KTO Matematika Februari 2017

33 posts in this topic

  1. Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan real sedemikian sehingga kurva $x-2y^2-ay-b=0$ menyinggung sumbu-$y$. Tentukan nilai dari $a^2-8b$.
  2. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $CA = 5, CB = 7$, dan $AB = 8$. Misal $PQ$ adalah garis yang sejajar dengan $AB$ dan menyinggung lingkaran dalam segitiga $ABC$, di mana $P$ terletak pada $AC$ dan $Q$ terletak pada $BC$. Bila panjang $PQ$ dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{m}{n}$ dengan $m$ dan $n$ merupakan bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $m+n$.
  3. Tentukan banyaknya cara membagi 11 orang ke dalam kelompok-kelompok yang hanya beranggotakan 4 atau 3 orang.
  4. Diketahui bahwa $$20!+17!=24332576x560473yz00.$$ Carilah nilai dari $100x+10y+z$.
  5. Misalkan $a$, $b$, dan $c$ adalah bilangan real positif yang memenuhi $abc=\frac{1}{8}$. Tentukan nilai minimum dari $16a^2+16b^2+16c^2+32a^2b^2+32b^2c^2+32c^2a^2$.
  6. Titik $E$ adalah titik tengah sisi $AB$ dari persegi $ABCD$. Lingkaran yang melalui $B$ dengan pusat $A$ memotong segmen $EC$ di titik $F$. Apabila $\frac{EF}{FC}$ dapat ditulis dalam bentuk $\frac{a}{b}$, dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $a+b$.
  7. Diketahui bahwa suatu barisan aritmetika memiliki suku pertama 1, beda $k$, dan mengandung angka 2016. Jika $0<k<1000$ dan $k$ adalah bilangan bulat, hitunglah jumlah dari semua nilai $k$ yang mungkin.
  8. Sebuah dadu bersisi 6 (sisi-sisinya mengandung angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6) dan sebuah dadu bersisi 4 (sisi-sisinya mengandung angka 1, 2, 3, dan 4) dilempar. Jika peluang angka pada dadu bersisi 4 lebih besar dari angka pada dadu bersisi 6 adalah $n$, tentukan nilai dari $100n$.
  9. Tentukan jumlah semua nilai $\theta$ (dalam derajat) yang memenuhi persamaan $\sqrt{3}\lfloor\sin{\theta}\rfloor=2\cos{\theta}$ dengan $-360^{\circ}\leq\theta\leq 360^{\circ}$.
  10. Terdapat sekelompok orang. Diketahui bahwa setiap laki-laki di kelompok itu memiliki teman perempuan tiga kali lipat banyaknya teman laki-laki, dan setiap perempuan di kelompok itu memiliki teman perempuan dua kali lipat banyaknya teman laki-laki. Tentukan banyaknya orang di kelompok tersebut. (Asumsikan bahwa setiap dua orang yang berbeda di kelompok tersebut adalah teman).
  11. Misalkan $ABC$ adalah segitiga sama sisi dan titik $P$ terletak di dalamnya. Misalkan $D$, $E$, dan $F$ adalah proyeksi titik $P$ terhadap sisi $BC$, $CA$, dan $AB$, berturut-turut. Misalkan $BD=4$, $CE=5$, dan $AF=6$. Tentukan kuadrat dari luas $\triangle ABC$.
  12. Diberikan sebuah bilangan asli $m$ yang memenuhi $m^{53}$ bersisa 31 apabila dibagi dengan 143. Tentukan sisa pembagian $m$ oleh 143.
  13. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $P$ adalah titik singgung lingkaran dalam segitiga dengan sisi $AB$. Misalkan $AP=23$, $BP=27$, dan jari-jari lingkaran dalam segitiga $ABC$ adalah 21. Tentukan keliling segitiga $ABC$. 
  14. Diberikan sebuah barisan bilangan bulat $x_1,x_2,...$ sehingga untuk setiap $n\ge 1$ berlaku $x_{n+3}=2x_{n+2}-4x_{n+1}+8x_n$ dan $x_1=296,x_2=219,x_3=144$. Carilah bilangan bulat positif $n$ terkecil sedemikian sehingga untuk semua bilangan bulat $m\ge n$, berlaku $x_m\ge 0$.
  15. Misalkan $N$ adalah banyaknya 6-tupel bilangan bulat terurut $(a,b,c,d,e,f)$ sedemikian sehingga \[|a|+|b|+|c|+|d|+|e|+|f|\leq 19.\] Tentukan sisa pembagian $N$ oleh 17.
  16. Suatu barisan $a_n$ didefinisikan sebagai $a_n=n$ untuk $n=0,1,2,3,4$ dan untuk setiap $i \geq 5$, $a_i$ adalah sisa pembagian $a_{i-1}+a_{i-5}$ dengan 5. Hitunglah nilai dari $1000\times a_2+100\times a_{20}+10\times a_{201}+a_{2017}$.
  17. \Diberikan $\triangle ABC$ lancip dengan $M$ sebagai titik tengah  $BC$ dan $\sin A=\frac{1}{3}$. Misalkan $BE$ dan $CF$ adalah garis tinggi $\triangle ABC$ yang berpotongan di titik $H$ (titik $E$ dan $F$ pada $CA$ dan $AB$, berturut-turut). Jika $(\cos\angle EMF)^2+(\cos\angle MFE)^2+(\cos\angle FEM)^2=\frac pq$ untuk suatu bilangan asli $p$ dan $q$ yang relatif prima, hitunglah nilai dari $p+q$.
  18. Tentukan banyaknya bilangan asli $n$ dengan $2\leq n\leq 1000$ sehingga $n!$ habis dibagi oleh $2^{n-2}$.
  19. Misalkan $p$ dan $q$ adalah bilangan asli sedemikian sehingga \[\prod_{k=1}^{14}\cos{(6k)}^\circ=\frac{\sqrt{p}}{q}.\] Jika $p$ adalah bilangan yang tidak habis dibagi bilangan kuadrat apa pun selain 1, tentukan sisa pembagian $p+q$ oleh 1000.Catatan: Notasi $\displaystyle \prod_{k=1}^{m}f(k)$ menyatakan perkalian $f(1),f(2),$ sampai dengan $f(k)$.
  20. Terdapat $n$ titik di dalam persegi berukuran $3\times 3$ (titik-titik tersebut boleh terletak pada sisi ataupun sudut persegi tersebut). Tentukan nilai terkecil yang mungkin untuk $n$ sehingga pasti dapat ditemukan $2$ titik dengan jarak kurang dari $2$.
Edited by KTO Matematika
0

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 hour ago, BeingNotknown Ya said:

11 Penasaran -,-"

Phytagoras, nanti ada 6 persamaan, terus [1] - [2] + [3] - [4] + [5] - [6]; nanti dapat CD^2 + AE^2 + BF^2 = 16 + 25 + 36

Terus karena sama sisi, akibatnya... :rock:

0

Share this post


Link to post
Share on other sites
7 hours ago, Terza Reyhan said:

Phytagoras, nanti ada 6 persamaan, terus [1] - [2] + [3] - [4] + [5] - [6]; nanti dapat CD^2 + AE^2 + BF^2 = 16 + 25 + 36

Terus karena sama sisi, akibatnya... :rock:

Masih ga mudeng :thinking:

0

Share this post


Link to post
Share on other sites

1. 0

2. 13

3. 11550 Jawaban yg benar 5775

4. 960

5. 18

6. 5

7. 673

8. 25

9. 60

10. 13

11. 1875

12. 70

13. 345

14. saya ragu , saya jawab 1 karena xn >0

15.saya dapatnya 0

16. 2141

17. saya dapatnya 274

18. 54

19. 399

20. saya dapatnya 6

Edited by sablis
0

Share this post


Link to post
Share on other sites
5 hours ago, BeingNotknown Ya said:

Masih ga mudeng :thinking:

Coba hubungkan P ke A, B, C

 

Pythagoras

PA^2 = PA^2

Dari dua segitiga berbeda

0

Share this post


Link to post
Share on other sites
8 hours ago, Izzun said:

Yang nomer 5 gimana sih?

Katanya sih AM-GM satu-satu, yang $a^2 + b^2 + c^2$ sama $a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2$

 

4 hours ago, Oky Markianto said:

Coba hubungkan P ke A, B, C

 

Pythagoras

PA^2 = PA^2

Dari dua segitiga berbeda

Nanti kucoba deh 

 

12 minutes ago, ChrisTiano Van Waldo Rumapea said:

yg nomor 9 gmna caranya kk

 

Perhatikan bahwa $\lfloor \sin \theta \rfloor$ adalah bilangan bulat. Maka kemungkinan nilai $\lfloor \sin \theta \rfloor$ hanya ada tiga, yaitu $1$,$0$, atau $-1$. Bagi kasus, dapet $210^\circ$ sama $-150^\circ$

 

210 - 150 = 60

CMIIW

0

Share this post


Link to post
Share on other sites
9 hours ago, sablis said:

1. 0

2. 13

3. 11550

4. 960

5. 18

6. 5

7. 673

8. 25

9. 60

10. 13

11. 1875

12. 70

13. 345

14. saya ragu , saya jawab 1 karena xn >0

15.saya dapatnya 0

16. 2141

17. saya dapatnya 274

18. 54

19. 399

20. saya dapatnya 6

Nmr 3 dan 12 bgmn caranya ya?

0

Share this post


Link to post
Share on other sites
5 hours ago, BeingNotknown Ya said:

Perhatikan bahwa sinθ⌊sin⁡θ⌋ adalah bilangan bulat. Maka kemungkinan nilai sinθ⌊sin⁡θ⌋ hanya ada tiga, yaitu 11 ,00 , atau 1−1 . Bagi kasus, dapet 210210∘ sama 150−150∘

 

210 - 150 = 60

CMIIW

Tapi bukannya kalau dengan identitas cos(x) = cos(-x) jadi nol solusinya yah kak? correct me if i'm wrong

Edited by 65536
0

Share this post


Link to post
Share on other sites
8 hours ago, 65536 said:

Tapi bukannya kalau dengan identitas cos(x) = cos(-x) jadi nol solusinya yah kak? correct me if i'm wrong

Em.. gimana ya bilangnya..

 

Ane dapet $\theta$-nya cuma $210^\circ$ 

 

Tapi karena $-360^\circ \leq \theta \leq 360^\circ$ makanya $-150^\circ$ juga ikutan. Kenapa? Karena $\sin 210^\circ = \sin (-150^\circ)$ begitu pula cosinus-nya

 

Coba paparkan caramu dulu, takutnya nanti salah paham :wink:

0

Share this post


Link to post
Share on other sites
11 hours ago, 65536 said:

Tapi bukannya kalau dengan identitas cos(x) = cos(-x) jadi nol solusinya yah kak? correct me if i'm wrong

Kembalikan ke persamaan awal, ada sin x yg berpengaruh, makanya cos x =cos -x tidak berlaku,

Jadi

210 memenuhi

-210 tdk memenuhi

0

Share this post


Link to post
Share on other sites
23 hours ago, BeingNotknown Ya said:

Katanya sih AM-GM satu-satu, yang a2+b2+c2a2+b2+c2 sama a2b2+b2c2+c2a2a2b2+b2c2+c2a2

 

Nanti kucoba deh 

 

Perhatikan bahwa sinθ⌊sin⁡θ⌋ adalah bilangan bulat. Maka kemungkinan nilai sinθ⌊sin⁡θ⌋ hanya ada tiga, yaitu 11 ,00 , atau 1−1 . Bagi kasus, dapet 210210∘ sama 150−150∘

 

210 - 150 = 60

CMIIW

Maaf, tapi kenapa yang no.5 kok nggak kita AM-GM semuanya langsung?

0

Share this post


Link to post
Share on other sites
Maaf, tapi kenapa yang no.5 kok nggak kita AM-GM semuanya langsung?

 

Kalo AM-GM semua langsung nanti gak dapet bulat~

0

Share this post


Link to post
Share on other sites

Posted (edited)

On 28/2/2017 at 11:24 AM, sablis said:

1. 0

2. 13

3. 11550

4. 960

5. 18

6. 5

7. 673

8. 25

9. 60

10. 13

11. 1875

12. 70

13. 345

14. saya ragu , saya jawab 1 karena xn >0

15.saya dapatnya 0

16. 2141

17. saya dapatnya 274

18. 54

19. 399

20. saya dapatnya 6

No 3 kok ane dptnya 34650 gan?Apa mesti dibagi 3 gan?

Edited by William Hilmy
0

Share this post


Link to post
Share on other sites

Nomer 11 tu pake dalil de cava

 

4/(x-4) . 5/(x-5) . 6/(x-6)=1

(x-4)(x-5)(x-6)=120

x^3-15x²+74x-240=0

 

Nanti ketemu xnya 10

 

Terus pakai heron

 

L²=s(s-10)(s-10)(s-10)

 

snya 10.3/2=15

 

Jadi nanti ketemunya 1875

1

Share this post


Link to post
Share on other sites

Posted (edited)

Oh iy y no 5 jwbnny 18 ada jebakan d soal it klw langsung di am gm nanti kontra jadi harus di pisah dlu lalu am gm

Edited by ...
0

Share this post


Link to post
Share on other sites

Posted (edited)

Kalo aku misalkan aja a=b=c.... trus ketemu tuh nilainya 1/2 semua. Trus masukin ke rumus. Nanti hasilnya 18

Edited by Muhammad Wishka Al Hafiidh
0

Share this post


Link to post
Share on other sites

Posted (edited)

On 28/02/2017 at 8:58 PM, Anzar Fahry said:

Nmr 3 dan 12 bgmn caranya ya?

no 3 

caranya ada 2

cara pertama

11! / 4!.4!.3! 2!= 5775

cara kedua

11 C 4 . 7C4 . 3C3 /2! = 5775

karena ada 2 kelas yg terdiri dari 4 orang makanya dibagi dg 2

no 12 saya kuli

hahahaha

Edited by sablis
0

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 1/3/2017 at 6:51 PM, William Hilmy said:

No 3 kok ane dptnya 34650 gan?Apa mesti dibagi 3 gan?

Sm bisa ksh pembahasan buat no.2 sm 6 gk?Ane krg jago geometri gan :v

0

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!


Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.


Sign In Now