Jump to content
-_-

OSK SMA 2017

Recommended Posts

  1. Diketahui $x-y=10$ dan $xy=10$. Nilai $x^4 +y^4$ adalah...
  2. Empat siswa Adi, Budi, Cokro, dan Dion bertanding balap sepeda. Kita juga diberikan sebagian informasi sebagai berikut:
    • Setiap siswa sampai di garis finish pada waktu yang berlainan
    • Adi bukan juara pertama
    • Cokro kalah dari Budi
      Dengan hanya mengetahui informasi ini saja, banyaknya susunan juara pertama, kedua, ketiga, dan keempat adalah...
  3. Banyaknya bilangan asli $k$ yang memenuhi $k|(n^7-n)$ untuk semua bilangan asli $n$ adalah...
  4. Pada sebuah lingkaran dengan pusat O, talibusur AB berjarak 5 dari titik O dan talibusur AC berjarak $5\sqrt{2}$ dari titik O. Jika panjang jari-jari lingkaran 10, maka kuadrat dari panjang BC adalah...
  5. Jika $\frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(d-a)}=-\frac{4}{7}$, maka nilai dari $\frac{(a-c)(b-d)}{(a-b)(c-d)}$ adalah...
  6. Pada suatu kotak ada sekumpulan bola berwarna merah dan hitam yang secara keseluruhannya kurang dari 1000 bola. Misalkan diambil dua bola. Peluang terambilnya dua bola merah adalah $p$ dan peluang terambilnya dua bola hitam adalah $q$ dengan $p-q=\frac{23}{37}$. Selisih terbesar yang mungkin dari banyaknya bola merah dan hitam adalah...
  7. Misalkan $s(n)$ menyatakan faktor prima terbesar dari $n$ dan $t(n)$ menyatakan faktor prima terkecil dari $n$. Banyaknya bilangan asli $n$ anggota ${1,2,...,100}$ sehingga $t(n)+1=s(n)$ adalah...
  8. Semua titik sudut suatu persegi dengan panjang sisi s terletak pada batas dari juring lingkaran berjari-jari $r$ yang sudut pusatnya $60$ derajat. Jika persegi diletakkan secara simetris di dalam juring, maka nilai $\frac{r^2}{s^2}$ adalah...
  9. Misalkan $a,b,c$ bilangan real positif yang memenuhi $a+b+c=1$. Nilai minimum dari $\frac{a+b}{abc}$ adalah...
  10. Sebuah hotel mempunyai kamar bernomor 000 sampai dengan 999. Hotel tersebut menerapkan aturan aneh sebagai berikut: jika suatu kamar berisi tamu dan sembarang dua digit nomor kamar tersebut dipertukarkan, maka diperoleh nomor kamar yang sama atau nomor kamar yang tidak berisi tamu. Maksimal banyaknya kamar yang terisi tamu adalah...
  11. Fungsi $f$ memetakan himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan bulat tak negatif. Fungsi tersebut memenuhi $f(1)=0$ dan untuk setiap bilangan asli berbeda $m,n$ dengan $m|n$, berlaku $f(m)<f(n)$. Jika diketahui $f(8!)=11$, maka nilai dari $f(2016)$ adalah...
  12. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AC=\frac{1}{2}(AB+BC)$. Misalkan $K$ dan $M$ berturut-turut titik tengah $AB$ dan $BC$. Titik $L$ terletak pada sisi $AC$ sehingga $BL$ adalah garis bagi sudut $ABC$. Jika $\angle{ABC}=72$ derajat, maka besarnya sudut $KLM$ sama dengan...
  13. Misalkan $P(x)$ suatu polinom berderajat 4 yang memiliki nilai maksimum 2018 di $x=0$ dan $x=2$. Jika $P(1)=2017$, maka nilai $P(3)$ adalah...
  14. Terdapat enam anak A,B,C,D,E dan F akan saling bertukar kado. Tidak ada yang menerima kadonya sendiri, dan kado dari A diberikan kepada B. Banyaknya cara membagikan kado dengan cara demikian adalah...
  15. Bilangan asli terbesar $n$ sehingga $n!$ dapat dinyatakan sebagai hasil kali perkalian dari $n-4$ bilangan asli berurutan adalah...
  16. Pada segitiga ABC titik K dan L berturut-turut adalah titik tengah AB dan AC. Jika CK dan BL saling tegak lurus, maka nilai minimum dari cot B + cot C adalah...
  17. Misalkan $a,b,c$ dan $d$ bilangan-bilangan bulat positif. Jajar genjang yang dibatasi oleh garis $y=ax+c,y=ax+d,y=bx+c,y=bx+d$  memiliki luas $18$. Jajar genjang yang dibatasi oleh garis $y=ax+c,y=ax-d,y=bx+c,y=bx-d$ memiliki luas $72$. Nilai terkecil yang mungkin untuk $a+b+c+d$ adalah...
  18. Seratus bilangan bulat disusun mengelilingi lingkaran sedemikian sehingga (menurut arah jarum jam) setiap bilangan lebih besar daripada hasil penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Maksimal banyaknya bilangan bulat positif yang terdapat pada lingkaran itu adalah...
  19. Untuk sebarang bilangan asli $n$, misalkan $S(n)$ adalah jumlah digit-digit dari $n$ dalam penulisan desimal. Jika $S(n)=5$, maka nilai maksimum dari $S(n^5)$ adalah...
  20. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB=12,BC=5$ dan $AC=13$. Misalkan $P$ suatu titik pada garis bagi $\angle A$ yang terletak di dalam $ABC$ dan misalkan $M$ suatu titik pada sisi $AB$ (dengan $A\neq M\neq B$). Garis $AP$ dan $MP$ memotong $BC$ dan $AC$ berturut-turut di $D$ dan $N$, Jika $\angle MPB=\angle PCN$ dan $\angle NPC = \angle MBP$, maka nilai $\frac{AP}{PD}$ adalah...
  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

Misal sebuah lingkaran dengan pusat O. jarak tali busur AB ke O = 5 sementara jarak AC ke O = 5Ö2.

Dari gambar dapat disimpulkan kalau AC = 2 kali jarak O ke tali busur AB dan AB =2 kali jarak O ke tali busur AC. SEHINGGA. BC^2= AC^2+AB^2=(2.5)^2 + (2.5Ö2)^2 =100+200 =300

Jadi panjang kuadrat BC=300

solusi osk mtk 2017 no 4.docx

  • Like 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

CMIIW
1

Spoiler

$xy=10$   (1)
$x-y=10$   (2)
Kuadratkan pers. (2)

$x^2+y^2-2xy=100$
$x^2+y^2=100+2xy=120$ (3)

Kuadratkan pers.(3)
$x^4+y^4+2x^2y^2=14400$
$x^4+y^4=14400-2x^2y^2=14400-200$

Maka, $x^4+y^4=14200$

 

4

Spoiler

Misal $D$ titik perpotongan garis $O$ dengan garis $AB$ yang saling tegak lurus, panjang $AD$ sama dengan $BD$, panjang $OA$ sama dengan jari - jari (10), dengan Phytagoras 
$AD=5\sqrt{3}$
Didapat $AB=10\sqrt{3}$, dengan cara yang sama diperoleh $AC=10\sqrt{2}$

Pada $\triangle AOD$, dengan trigonometri didapatkan $\angle OAD=30^\circ$
Pada $\triangle AOE$, didapatkan $\angle OAE=45^\circ$
Maka, $\angle BAC=75^\circ$

Dengan aturan Cosinus, diperoleh,
$BC^2=(10\sqrt 3)^2+(10\sqrt 2)^2-2(10\sqrt 3)(10\sqrt 2)\cos75^\circ$
$BC^2=300+200-2(100\sqrt6)(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4})$
$BC^2=500-300+50\sqrt12$
Maka, $BC^2=200+100\sqrt3$

 

5

Spoiler

$\frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(d-a)}=-\frac{4}{7}$
$\frac {ac+bd-ad-bc}{ac+bd-cd-ab}=\frac {(ac+bd)-(ad+bc)}{(ac+bd)-(cd+ab)}=-\frac {4}{7}$

Misalkan $ac+bd=p$, $ad+bc=q$ dan $cd+ab=r$, didapat:
$\frac {p-q}{p-r}=-\frac {4}{7}$
Didapatkan $p-q=-4$ $(1)$ dan $p-r=7$ $(2)$
Yang ditanyain $\frac{(a-c)(b-d)}{(a-b)(c-d)}$, jabarkan:
$\frac {ab+cd-ad-bc}{ac+bd-ad-bc}=\frac {(ab+cd)-(ad+bc)}{(ac+bd)-(ad+bc)}=\frac {r-q}{p-q}$

Nilai $r-q$ didapat dengan mengurangi pers. $(1)$ dan $(2)$
$p-q-(p-r)=-4-7$
$-q+r=-11=r-q$

Maka, nilai $\frac {ab+cd-ad-bc}{ac+bd-ad-bc}=\frac {(ab+cd)-(ad+bc)}{(ac+bd)-(ad+bc)}=\frac {r-q}{p-q}=\frac {11}{4}$

 

7

Spoiler

Perhatikan bahwa $t(n)+1=s(n)$, dengan $t(n)$ dan $s(n)$ keduanya merupakan bilangan prima
Satu - satunya pasangan bilangan prima yang memiliki selisih 1 hanyalah 2 dan 3, maka didapatkan $t(n)=2$ dan $s(n)=3$
Maka banyaknya bilangan $n$ yang memenuhi sama dengan banyaknya bilangan bulat positif yang lebih kecil atau sama dengan 100 yang dapat dinyatakan dalam bentuk faktorisasi prima 2 dan 3
Bilangan $n$ yang memenuhi ialah 6, 12, 18, 24, 36, 48, 54, 72 dan 96
Maka, ada 9 bilangan.

 

Edited by Gabriel Jonathan
salah ketik ~~
  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites
Spoiler

Kak Gabriel Jonathan, aku mau tanya yang nomor 4 itu, kan dipenjelasan anda besar sudut OAD=30 dan dibaris keduanya anda bilang kalau besar sudut OAD=45, apakah ini suatu kesalahan? atau yang 45 derajat itu bukan sudut OAD melainkan sudut OAE?

dan juga kak yang nomer 5 juga, apakah maksud anda itu -q+r = -11 atau memang    -r+q=-11? padahal kan  => p-p-q+r =-q+r ??

 

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
8 minutes ago, Guntur Nugroho said:

Kak Gabriel Jonathan, aku mau tanya yang nomor 4 itu, kan dipenjelasan anda besar sudut OAD=30 dan dibaris keduanya anda bilang kalau besar sudut OAD=45, apakah ini suatu kesalahan? atau yang 45 derajat itu bukan sudut OAD melainkan sudut OAE?

dan juga kak yang nomer 5 juga, apakah maksud anda itu -q+r = -11 atau memang    -r+q=-11? padahal kan  => p-p-q+r =-q+r ??

Oh iya ya maap2, itu salah harusnya $\angle OAE=45^\circ$

Buat yang nomor 5 itu juga ada kesalahan harusnya $-q+r=-11=r-q$
Jadi $\frac {r-q}{p-q}=\frac {-11}{-4}=\frac {11}{4}$

thx buat ralatnya

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites
Quote
7 hours ago, Gabriel Jonathan said:

Oh iya ya maap2, itu salah harusnya OAE=45∠OAE=45∘

Buat yang nomor 5 itu juga ada kesalahan harusnya q+r=11=rq−q+r=−11=r−q
Jadi rqpq=114=114r−qp−q=−11−4=114

thx buat ralatnya

 

Iya sama sama kak, and makasih juga buat solusinya :)

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

1.

Spoiler

 

$x-y=10 \implies x^2+y^2-2xy=100 \implies x^2+y^2=120.$

$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=14400-200=\boxed{14200}.$

 

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now


×