Jump to content
Reyhan Respati

OSK SMP 2015 - Bagian Isian Singkat

Recommended Posts

1. Misalkan \(x\) adalah suatu bilangan bulat dan \(x^2+5x+6\) adalah suatu bilangan prima, maka nilai \(x\) adalah....

2. Parabola \(y=ax^2+bx+c\) melalui titik \((-2,6)\) dan mempunyai sumbu simetri \(x=-1\) . Jika \(a\)\(b\), dan \(c\) merupakan bilangan genap positif berurutan, maka nilai \(a+b+c\) adalah....

3. Perhatikan gambar berikut.

3.JPG.d87fec028f54aea991842eb8bb9e7fb0.JPG

Titik \(P\)\(Q\), dan \(R\) masing - masing adalah titik singgung lingkaran pada sisi - sisi \(\Delta ACD\). Diketahui \(\angle SDR=60^{\circ}\), panjang \(SR\) = panjang \(SQ\) = \(1\ cm\), dan panjang \(RD=\frac{\sqrt{3}}{3}\). Jika \(\Delta ABC\) sama kaki, maka luas \(\Delta ABC\) adalah ... \(cm^2\).

4. Dua botol yang berukuran sama berisi penuh dengan larutan gula. Rasio kandungan gula dan air pada botol pertama adalah 2:11 dan pada botol kedua adalah 3:5. Jika isi keua botol tersebut dicampurkan, maka rasio gula dan air hasil campurannya adalah....

5. Misalkan \(f(x)=209-x^2\). Jika terdapat dua bilangan bulat positif \(a\) dan \(b\) dengan \(a<b\) sehingga \(f(ab)=f(a+2b)-f(a-2b)\), maka nilai \(\frac{b}{a}=\)....

6. Jika jumlah 4 suku pertama sebuah barisan aritmetika adalah 70 dan jumlah 12 suku berikutnya adalah 690, maka suku ke-2015 barisan tersebut adalah....

7. Diketahui sebuah prisma yang dibentuk oleh bidang - bidang sisi berupa: dua trapesium yang kongruen \(ABFE\) dan \(DCGH\). Jika \(AB\) sejajar \(EF\), panjang \(AE\) = panjang \(BF\), panjang \(AB\) = 2 kali panjang \(EF\), panjang \(AP\) = panjang \(PB\) = panjang \(DQ\) = panjang \(QC\)\(AD\ \bot\ AB\), dan \(EH\ \bot\ EF\), maka perbandingan volume prisma \(APE.DQH\) dan prisma \(PBFE.QCGH\) adalah....

7.JPG.92334437184f7eaa1a87ebf807742d3a.JPG

8. Mulai tahun ini materi OSN SMP bidang Fisika dan Biologi digabung menjadi satu, yaitu IPA, sehingga wakil dari setiap sekolah tahun ini maksimum 3 orang. Diketahui bahwa di Sekolah Teladan terdapat 6 calon siswa yang siap dikirim untuk mengikuti lomba OSN SMP dengan kemampuan sebagai berikut.

Siswa A: Siap mewakili bidang lomba Matematika, IPA, atau IPS

Siswa B dan C: Siap mewakili bidang lomba Matematika atau IPA

Siswa D: Siap mewakili bidang lomba Matematika atau IPS

Siswa E: Siap mewakili bidang lomba IPA atau IPS

Siswa F: Siap mewakili bidang lomba IPS

Siswa A dan B merupakan saudara kandung, sehingga sekolah mengambil kebijakan yakni tidak mengijinkan dua orang yang bersaudara untuk mewakili sekolah (artinya jika A terpilih maka B tidak terpilih, begitu pula sebaliknya). Jika Sekolah Teladan memutuskan untuk mengirimkan 3 siswa untuk mengikuti semua bidang lomba, maka cara yang mungkin untuk memilih wakil sekolah tersebut ke OSN SMP tahun ini ada sebanyak....

Edited by Reyhan Respati

Share this post


Link to post
Share on other sites

1.

Spoiler

$x\in\mathbb{Z},\ x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$ adalah prima. Bilangan prima punya faktor $1$ dan bilangan itu sendiri. Jika $x+2=1$, maka $x=-1$ dan $x+3=2$ yang merupakan bilangan prima. Jika $x+3=1$, maka $x=-2$ dan $x+2=0$ yang bukan bilangan prima. Jadi, yang memenuhi $\boxed{x=-1}.$

 

2.

Spoiler

Parabola $y=ax^2+bx+c$ melalui $(-2, 6)$, maka $6=4a-2b+c$. Sumbu simetrinya $x=-1$, maka $-\frac{b}{2a}=-1\implies b=2a$. Substitusi ke persamaan awal, didapat $6=4a-2(2a)+c\implies c=6$. Bilangan $a, b, c$ genap berurutan, maka $b=4$ dan $a=2$. Nilai $a+b+c=2+4+6=\boxed{12}$.

 

Edited by Fachni

Share this post


Link to post
Share on other sites

No 5

Spoiler

$f(x)=209-x^2$

$\therefore f(ab)=209-(ab)^2$

$f(a+2b)=209-(a+2b)^2$

$f(a+2b)=209-(a^2+4ab+4b^2)$

$\therefore f(a+2b)=209-a^2-4ab-4b^2$

$f(a-2b)=209-(a-2b)^2$

$f(a-2b)=209-(a^2-4ab+4b^2)$

$\therefore -f(a-2b)=a^2-4ab+b^2-209$

$f(ab)=f(a+2b)-f(a-2b)$

$209-(ab)^2=209-a^2-4ab-b^2+a^2-4ab+b^2-209$

$209-(ab)^2=-8ab$

$209=(ab)^2-8ab$

$19 \times 11= ab(ab-8)$

Sehingga $ab=19$. Karena $a$ dan $b$ bilangan bulat positif dan $a<b$, maka $a=1$ dan $b=19$. Sehingga $\frac{b}{a}=19$

No 6

Spoiler

$S_4 =70$

$S_{16}=690+70=760$

Maka kita dapatkan

$70=S_4$

$70=\frac{4}{2}[2a+(4-1)b]$

$70=2[2a+3b]$

$\therefore 35 = 2a+3b...(1$

$760=S_{16}$

$760=\frac{16}{2}[2a+(16-1)b]$

$760=8[2a+15b]$

$\therefore 95 = 2a+15b...(2$

Eliminasi persamaan $(1$ dan $(2$.

$95=2a+15b$

$35  = 2a+3b$

$_____________-$

$60=12b$

$\therefore b=5$

Subtitusikan

$35=2a+3b$

$35=2a+5 \cdot 3$

$35=2a+15$

$20=2a$

$\therefore a = 10$

Jadi, suku ke-$2015$ adalah

$U_{2015} = 10+(2015-1)5$

$U_{2015} = 10 + 2014 \cdot 5$

$U_{2015} = 5(2+2014)$

$U_{2015} = 5(2016)$

$\therefore U_{2015} =10.080$

 

Edited by Wildan Bagus W

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now


×