Jump to content

Recommended Posts

 

  1. Diberikan $15$ titik berbeda pada segitiga $ABC$ sebagai berikut : tiga titik adalah titik $A$, $B$ dan $C$ ; $3$ titik lain pada sisi $AB$ ; $4$ titik lain pada sisi $BC$ ; dan $5$ titik lain pada sisi $CA$. Tentukan banyak segitiga dengan luas positif di mana $15$ titik tadi sebagai titik sudutnya.
     
  2. Jika $702$, $787$, dan $855$ masing-masing dibagi oleh suatu bilangan bulat positif $m$, sisa bagi positifnya adalah $r$. Jika $412$, $722$, dan $815$ masing-masing dibagi oleh suatu bilangan bulat positif $n$, sisa bagi positifnya adalah $s$, dengan $s \neq r$. Tentukan $m+n+r+s$.
     
  3. Untuk suatu bilangan bulat positif $n$, misalkan $d_{n}$ adalah digit satuan dari $1+2 +\dots+ n$. Tentukan sisanya jika $\sum_{n=1}^{2017} d_n$ dibagi oleh $1000$.
     
  4. Sebuah limas segitiga mempunyai panjang sisi alas $20$, $20$, dan $24$. Ketiga sisi tegaknya mempunyai panjang $25$. Volume dari limas tersebut adalah $m\sqrt{n}$, dengan $m$ dan $n$ bilangan bulat positif, dan $n$ tidak habis dibagi oleh kuadrat dari suatu prima apapun. Tentukan $m+n$.
     
  5. Sebuah bilangan rasional jika ditulis dalam basis $8$ berbentuk $\overline{ab},\overline{cd}$ dengan digit-digitnya tidak ada yang bernilai $0$, dan berbentuk $\overline{bb},\overline{ba}$ jika ditulis dalam basis $12$. Tentukan bilangan desimal $\overline{abc}$.
     
  6. Diberikan sebuah segitiga sama kaki yang besar dua sudut yang sama besar masing-masing adalah $x$. Dipilih sebarang dua titik pada lingkaran luarnya. Peluang garis yang ditarik dari dua titik tersebut memotong segitiga adalah $\frac{14}{25}$. Tentukan selisih dari nilai terbesar $x$ dan nilai terkecil $x$ yang mungkin.
     
  7. Untuk suatu bilangan bulat non-negatif $a$ dan $b$ dengan $a+b \leq 6$, misalkan $T(a,b) = \left(\begin{array}{c} 6 \\
    a \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} 6 \\
    b \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} 6 \\
    a+b \end{array}\right)$. Misalkan $S$ adalah jumlah dari semua nilai $T(a,b)$ yang mungkin, di mana $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat non-negatif dengan $a+b \leq 6$. Tentukan sisanya jika $S$ dibagi oleh $1000$.
     
  8. Sebarang dua bilangan real dipilih secara bersamaan dari interval $(0, 75)$. Misalkan $O$ dan $P$ dua titik pada bidang dengan $OP = 200$. Misalkan $Q$ dan $R$ adalah dua titik sehingga $\angle POQ$ dan $\angle POR$ berturut-turut sebesar $a$ dan $b$, dan $\angle OQP$ dan $\angle ORP$ keduanya siku-siku. Peluang bahwa $QR \leq 100$ adalah $\frac{m}{n}$, di mana $m$ dan $n$ keduanya bilangan bulat positif yang relatif prima. Tentukan $m+n$.
     
  9. Misalkan $a_{10} = 10$ dan untuk setiap bilangan bulat positif $n > 10$ berlaku $a_{n} = 100a_{n-1} + n$. Tentukan bilangan bulat positif terkecil $n > 10$ sehingga $a_n$ merupakan kelipatan $99$.
     
  10. Diberikan $z_1 = 18+3i$, $z_2 = 18+39i$, dan $z_3 = 78+99i$, dengan $i = \sqrt{-1}$. Misalkan $z$ adalah satu-satunya bilangan kompleks di mana $\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} . \frac{z - z_2}{z - z_3}$ adalah bilangan real dengan bagian imajiner dari $z$ bernilai sebesar mungkin. Tentukan bagian real dari $z$.
     
  11. Diberikan $9$ angka $1, 2, 3, ... ,9$ yang akan ditempatkan dalam suatu petak $3\times3$. Misalkan $a_1, a_2$, dan $a_3$ berturut-turut adalah median dari angka-angka pada baris pertama, kedua, dan ketiga, dan $m$ adalah median dari $\{a_1, a_2, a_3\}$. Misalkan $Q$ adalah banyak kemungkinan yang mungkin saat $m = 5$. Tentukan sisanya jika $Q$ dibagi oleh $1000$.
     
  12. Suatu himpunan $S$ disebut bebas-kali jika tidak ada $a, b, c \in S$ ($a, b, c$ tidak harus berbeda) sehingga $ab = c$. Sebagai contoh, himpunan kosong dan himpunan $\{16,20\}$ adalah himpunan bebas-kali, sedangkan himpunan $\{4,16\}$ dan $\{2,8,16\}$ bukan himpunan bebas-kali. Tentukan banyaknya himpunan bagian yang bebas-kali dari himpunan $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$.
     
  13. Untuk setiap $m \geq 2$, misalkan $Q(m)$ adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga untuk setiap $n \geq Q(m)$, selalu ada bilangan kubik sempurna $k^3$ yang memenuhi $n < k^3 < mn$. Tentukan sisanya jika $\sum_{m=2}^{2017} Q(m)$ dibagi oleh $1000$.
     
  14. Diberikan $a > 1$ dan $x > 1$ yang memenuhi $\log_{a}(\log_{a}(\log_{a} 2) + \log_{a} 24 + 128)$ dan $\log_{a} (\log_{a} x) = 256$. Tentukan sisanya jika $x$ dibagi oleh $1000$.
     
  15. Pada gambar, luas terkecil dari segitiga sama sisi yang sisi-sisinya terletak pada segitiga siku-siku yang panjanganya $2\sqrt{3}$, $5$, dan $\sqrt{37}$ adalah $\frac{m \sqrt{p}}{n}$, dengan $m$, $n$, dan $p$ adalah bilangan bulat positif, $m$ dan $n$ relatif prima, dan $p$ tidak habis dibagi oleh kuadrat dari prima apapun. Tentukan $m+n+p$.

    1493655691779.jpg.58ebab58f324cb1ae1e1d110400a4ad5.jpg
Edited by Rimba Erlangga
  • Upvote 3

Share this post


Link to post
Share on other sites

Itu nomor 1 kyk gini ya ?

 

Banyak cara menghubungkan ke-15 titik adalah \(\frac{15!}{3! \times 12!} = 455 \) cara.

 

Banyak cara menghubungkan ke-5 titik pada sisi \(AB\) (mereka membentuk segitiga dengan luas 0) adalah \(\frac{5!}{3! \times 2!} = 10\) cara.

 

Banyak cara menghubungkan ke-6 titik pada sisi \(BC\) (mereka membentuk segitiga dengan luas 0) adalah \(\frac{6!}{3! \times 3!} = 20\) cara.

 

Banyak cara menghubungkan ke-7 titik pada sisi \(CA\) (mereka membentuk segitiga dengan luas 0) adalah \(\frac{7!}{3! \times 4!} = 7\) cara.

 

Maka jawabannya adalah \( 455 - 10 - 20 - 7 = 418 \) cara.

Edited by Jason99
  • Upvote 2

Share this post


Link to post
Share on other sites

Soal no 3 sebenarnya gampang dikerjain kalo udh tau pola segitiga.

 

Jadi \(\sum_{n=1}^{2017} d_n = \frac{2017 \times 2018 \times 2019}{6} = 1369657969\)

 

1369657969 dibagi 1000 bersisa 969

 

Kalau ada cara yang lebih cepat mohon dikasitahu ya wkwkwk

 

Edited by Jason99
  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

2.

\begin{align*} 702 &= am +r ...(1) \\ 787 &= bm + r ...(2) \\ 855 &= cm + r ...(3) \end{align*}

dimana $a,b,c \in \mathbb{N}$.

 

Kurangi persamaan $(1)$ dan $(2)$. Maka didapat $85 = (b-a)m$.

Kurangi persamaan $(2)$ dan $(3)$. Maka didapat $68=(c - b)m$

Kurangi persamaan $(1)$ dan $(3)$. Maka didapat $153 = (c - a)m$.

Diperoleh

\begin{align*} 85 &=(b-a)m \Rightarrow 5 \cdot 17 = (b-a)m \\ 68 &= (c - b)m \Rightarrow  4 \cdot 17 = (c - b)m \\ 153 &= (c - a)m \Rightarrow 9 \cdot 17 = (c-a)m \\ \therefore m &= 17 \end{align*}

 

\begin{align*} 412 &= dn + s ...(4) \\722 &= en + s ...(5) \\815 &=fn + s  ...(6) \end{align*}

dimana $d,e,f \in \mathbb{N}$.

 

Kurangi persamaan $(4)$ dan $(5)$. Maka didapat $310 = (e - d)n$.

Kurangi persamaan $(5)$ dan $(6)$. Maka didapat $93 = (f-e)n$.

Kurangi persamaan $(4)$ dan $(6)$. Maka didapat $403 = (f-d)n$.

Diperoleh

\begin{align*} 310 &=(e-d)n \Rightarrow 10 \cdot 31 =(e-d)n \\ 93 &= (f-e)n \Rightarrow 3 \cdot 31 = (f-e)n \\ 403 &= (f-e)n \Rightarrow 13 \cdot 31 = (f-d)n \\ \therefore n &= 31 \end{align*}

 

Kita peroleh bahwa $m = 17$ dan $n = 31$.

\begin{align*} 702 &\equiv  5 \mod 17 \\ \therefore r &= 5 \\ 412 &\equiv  9 \mod 31 \\ \therefore s &= 9 \end{align*}

 

Jadi, nilai dari $p+q+r+s=17+31+5+9=62$.

 

 

Edited by Wildan Bagus W

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now


×