Louiscahyadi

Kontes Terbuka Olimpiade Matematika - Maret 2017 - Bagian A

Recommended Posts

1. Pada sebuah kantong terdapat 9 keping uang pecahan Rp200,00, 4 keping uang pecahan Rp500,00, dan 8 keping uang Rp1000,00. Seseorang mengambil dua buah koin dari kantong tersebut secara acak (tanpa pengembalian). Jika peluang didapatkan uang dengan jumlah paling sedikit Rp1000,00 adalah $\frac{m}{n}$, dengan $m$ dan $n$ adalah dua bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $100m + n$. (Asumsikan bahwa setiap koin diasumsikan memiliki peluang yang sama untuk terambil.)

 

2. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $$\frac{1}{log_{81}x} - \frac{1}{log_{225}x} + \frac{1}{log_{625}x} = 2$$

 

3. Tentukan banyaknya bilangan asli $n$ sehingga sisa pembagian 2018 oleh $n$ sama dengan sisa pembagian $n$ oleh 2.

 

4. Diberikan $\bigtriangleup ABC$ dengan titik $D$ pada segmen $BC$. Misalkan $E$ dan $F$ terletak pada sisi $AC$ dan $AB$ sehingga $DE$ sejajar dengan $AB$ dan $DF$ sejajar dengan $AC$. Apabila $CE = 7$, $DE = 20$, $DF = 21$ dan $EF = 29$, tentukan luas $\bigtriangleup ABC$.

 

5. Tentukan banyaknya tripel bilangan asli $(a, b, c)$ sehingga $$ 1 \leq a < b +2 < c + 4 \leq 12$$

 

6. Misalkan $r$ adalah bilangan real positive yang kurang dari 1 sehingga $$\frac{1 + (r^2+r^3) + (r^5+r^6) + (r^8+r^9) + ...}{ 1 + r + r^2 + r^3 + ...} = \frac{62}{63}$$ Tentukan nilai dari $r + \frac{1}{r}$

 

7. Tentukan banyaknya pasangan terurut bilangan bulat $(x,y)$ sehingga $$ x^2 + 20x = y^2 +20$$

 

8. Misalkan $ABDC$ adalah segiempat konveks dengan $\angle ABD = \angle ADC = 90^{\circ}$, $AB = 4, BD = 3$, dan $AD = CD$. Misalkan lingkaran luar segitiga $ADC$ memotong $AB$ di $E$. Jika panjang $CE$ dapat ditulis dalam bentuk $\frac{a\sqrt{b}}{c}$, di mana $b$ adalah bilangan asli yang tidak habis dibagi oleh suatu bilangan kuadrat sempurna bukan satu serta $a$ dan $c$ adalah dua bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $a + b +c$

 

9. Untuk setiap bilangan asli $n$, definisikan $f(n)$ sebagai banyaknya cara meletakkan $n$ buah benteng pada papan catur $6 \times 6$ sehingga setiap benteng hanya menyerang paling banyak satu benteng lainnya. Hitunglah nilai dari $f(7) + f(8) + f(9) +f(10)$.

 

10. Barisan $(a_n)^{\infty}_{n=1}$ didefinisikan sebagai $a_1 = \frac{1}{2}(1+\sqrt{2})$ dan $$a_{n+1} = \sqrt{2a_{n}^2 - 2a_n +1} + \frac{1}{2}$$ untuk setiap $n \geq 1$. Tentukan 3 digit terakhir dari $\left \lfloor a_{2017} \right \rfloor$

 

11. Misalkan $AB$ dan $CD$ merupakan tali busur lingkaran $\omega$ yang saling tegak lurus. Panjang $AB$ adalah $20\sqrt{5}$ dan panjang $CD$ adalah $4\sqrt{19}$. $AB$ dan $CD$ berpotongan di dalam lingkaran di titik $E$. Apabila garis tinggi segitiga $EAD$ dari $E$ memotong $BC$ di $M$ dan garis tinggi segitiga $EBC$ dari $E$ memotong $AD$ di $N$, Tentukan panjang $MN$.

 

12. Diketahui 4 bilangan real positif $x, y, z, $ dan $w$ yang memenuhi persamaan $$xyzw = 1, x^{100} + 100y = 100z + w^{100}, \text{dan} 100x + y^{100} = z^{100} + 100w$$ Tentukan nilai minimum yang mungkin untuk $x +y + z + w$.

 

13. Untuk setiap bilangan asli $n$, definisikan $\tau (n)$ sebagai hasil penjumlahan semua pembagi positif dari $n$, sebagai contoh, $\tau (6) = 12$ dan $\tau (14) = 24$. Definisikan fungsi $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ sebagai $$f(n) = \frac{1}{\tau(n^2)}$$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$. Misalkan $$ S = \frac{f(1) + f(3) + f(5) + f(7) + ...}{f(2) + f(4) + f(6) + f(8) + ... }$$ Hitunglah nilai dari $\left \lfloor S \right \rfloor$

 

14. Diberikan $\bigtriangleup ABC$ dengan luas 2000 dan $BC = 80$. Lingkaran dalam $\bigtriangleup ABC$ berpusat di $I$ dan menyinggung sisi $BC$ di titik $X$. Misalkan $Y$ adalah titik tengah busur $BC$ dari lingkaran luar $\bigtriangleup ABC$ yang tidak memuat $A$. Misalkan pula $Z$ adalah kaki tegak lurus $\bigtriangleup ABC$ dari $A$ ke sisi $BC$. Jika $XY$ memotong $AZ$ di titik $P$ dan $AP - IX = 13$, hitunglah nilai dari $AI^2 - PX^2$.

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

2.

Spoiler

\begin{align*}\frac{1}{\log_{81} x}-\frac{1}{\log_{125} x}+\frac{1}{\log_{625} x}&=2\\\log_{x} 81-\log_{x} 225+\log_{x} 625&=2\\\log_{x} \frac{9^2\cdot 25^2}{15^2}&=2\\x^2&=\frac{9^2\cdot 25^2}{15^2}\\x&=\boxed{15}.\end{align*}

 

6. 

Spoiler

$r<1,\, r\in\mathbb{R}^+$,
\begin{align*}\frac{1 + (r^2+r^3) + (r^5+r^6) + (r^8+r^9) + \dots}{ 1 + r + r^2 + r^3 + \dots} &= \frac{62}{63}\\\frac{(1+r+r^2+\dots)-(r+r^4+r^7+\dots)}{1+r+r^2+\dots}&=\frac{62}{63}\\\frac{\frac{1}{1-r}-\frac{r}{1-r^3}}{\frac{1}{1-r}}&=\frac{62}{63}\\1-\frac{\frac{r}{1-r^3}}{\frac{1}{1-r}}&=\frac{62}{63}\\\frac{r(1-r)}{1-r^3}&=\frac{1}{63}\\\frac{r(1-r)}{(1-r)(1+r+r^2)}&=\frac{1}{63}\\\frac{r}{1+r+r^2}&=\frac{1}{63}\\1+r+r^2&=63r\\\frac{1}{r}+1+r&=63\\r+\frac{1}{r}&=\boxed{62}.\end{align*}

 

Edited by Fachni

Share this post


Link to post
Share on other sites

No 3

Spoiler

Sebuah bilangan bulat jika dibagi $2$ sisanya $0$ atau $1$.

Kasus 1:

Jika $ n \equiv 0 (\mod 2)$, kita tentukan semua faktor dari $2018$ dan $n$ harus genap. Faktor dari $2018$ adalah $1,2,1009,2018$. Maka nilai $n$ yang memenuhi adalah $2$ dan $2018$.

Kasus 2:

Jika $n \equiv 1 (\mod 2)$, maka nilai $n$ harus ganjil.

$nx+1=2018$

$nx    =2017$

Faktor dari $2017$ adalah $2017$ dan $1$. Sehingga nilai $n$ yang memenuhi adalah $2017$ dan $1$

Dari kedua kasus, diperoleh banyaknya nilai $n$ yang memenuhi ada $4$

CMIIW

No 7

Spoiler

$x^2+20x=y^2+20$

$x^2-y^2=20-20x$

$(x+y)(x-y)=20(1-x)$

Kasus 1:

Jika $x+y=20$ dan $x-y=1-x$,

$x-y=1-x$

$2x=1+y$

$\therefore x=\frac{1+y}{2}$

Subtitusikan

$x+y=20$

$\frac{1+y}{2}+y=20$

$1+y+2y=40$

$\therefore y= 13$

Maka $x = 7$

$(x,y)=(7,13)$

Kasus 2

Jika $x+y=10$ dan $x-y=2-2x$,

$x-y=2 -2x$

$-y=2-3x$

$\therefore y=3x-2$

Subtitusikan

$x+y=20$

$x+3x-2=20$

$4x=22$

$\therefore x=\frac{11}{2}$

$TM$

Jika $x+y=5$ dan $x-y=4-4x$,

$x-y=4-4x$

$-y=4-5x$

$\therefore y=5x-4$

Subtitusikan

$x+y=20$

$x+5x-4=20$

$6x=24$

$\therefore x=4$

$\therefore y=16$

$(TM$

CMIIW ._.

 

Edited by Wildan Bagus W

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now