Sign in to follow this  
Louiscahyadi

Kontes Terbuka Olimpiade Matematika - April 2017 - Bagian A

Recommended Posts

1. Tentukan banyaknya bilangan asli yang tidak lebih dari 2017 dan memuat sebanyak genap digit ganjil dalam representasi desimalnya.

 

2. Akar - akar persamaan kuadrat $4x^2 + ax + b = 0$ adalah tiga kali akar - akar persamaan kuadrat $2x^2 + cx + d = 0$. Tentukan nilai dari $\frac{b}{d}$.

 

3. Pada segitiga sama sisi $ABC$ dengan panjang sisi $90\sqrt{2}$ dibuat lingkaran yang berpusat di $A$ dengan jari - jari $AB = AC$. Titik $D$ terletak pada lingkaran tersebut pada sisi yang berbeda dengan $C$ terhadap $AB$ sedemikian hingga $\angle ABD = 75^{\circ}$. Tentukan panjang $CD$.

 

4. Tentukan banyak kuadruplet bilangan asli $(x, y, z, k)$ sedemikian sehingga $$x! + y! + z! = 3^k$$

 

5. Tentukan nilai $x$ positif yang memenuhi persamaan $$\sqrt[3]{\sqrt[3]{5\sqrt{2} + x}+ \sqrt[3]{5\sqrt{2} - x}} = \sqrt{2}$$

 

6. Afif ingin menyimpan lima permen dengan rasa berbeda - beda ke tiga kotak berwarna berbeda sedemikian sehingga tidak ada kotak yang kosong. Tentukan banyak cara Afif menyimpan permennya

 

7. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = 6$, $AC = \sqrt{26}$, dan $BC = 5\sqrt{2}$. Dibuat sebuah persegi $ABPQ$ dengan titik $P$ dan $Q$ berada pada sisi yang berbeda dengan $C$ terhadap $AB$. Apabila $M$ adalah titik tengah $PQ$ dan panjang $CM$ dapat ditulis dalam bentuk $p\sqrt{q}$, dengan $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat dan $q$ tidak habis dibagi oleh suatu kuadrat bilangan asli, tentukan nilai dari $p + q$.

 

8. Definisikan $s_i$ sebagai bilangan yang hanya terdiri dari $i$ buah angka 1; jadi $s_1 = 1, s_2 = 11, s_3 = 111$, dan seterusnya. Hitunglah sisa dari $s_1 + s_2 + ... + s_{2015}$ ketika dibagi $2016$.

 

9. Misalkan $P$ adalah polinomial monik (polinomial yang mana koefisien suku dengan pangkat terbesarnya adalah 1) berkoefisien bilangan bulat dengan derajat terkecil yang memenuhi $$P(1 - \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}) = 0$$ Tentukan nilai $P(2)$

 

10. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat $(x, y, z)$ yang memenuhi ketiga kondisi berikut secara bersamaan :

 

$1 \leq x,y,z \leq 10$

$ x < z $

$ y < z $

 

 

11. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = 7$, $BC = 9$, dan $CA = 10$. Misalkan titik pusat lingkaran dalam segitiga tersebut adalah $I$. Lingkaran dalam segitiga $ABC$ menyinggung $BC, CA$ dan $AB$ di titik $D, E,$ dan $F$, berturut - turut. Apabila $K$ merupakan hasil pencerminan dari titik $D$ terhadap titik $I$ dan $DE$ memotong $FK$ pada titik $S$, tentukan nilai dari $AS^2$

 

12. Misalkan $N$ ialah banyaknya pasangan bilangan taknegatif $(x,y,z)$ yang memenuhi $$\frac{1}{x+y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2017}$$ Tentukan sisa pembagian dari $N$ oleh 1000.

 

13. Diketahui polinomial $P(x)$ memenuhi $P(0) = -2$ dan untuk sembarang bilangan real taknol $x$ dan $y$ dipenuhi persamaan $$xP(\frac{y}{x}) + yP(\frac{x}{y}) = x+y$$ Tentukan nilai dari $P(100)$

 

14 Tentukan banyaknya bilangan asli $n$ yang kurang dari 2017 dengan sifat sebagai berikut : apabila $p$ adalah bilangan prima terkecil yang membagi $n$, $p^2 - p +1$ juga habis membagi $n$.

 

15. Diberikan persegi $ABCD$ dengan panjang sisi 10. Titik $E,F,G$ dan $H$ merupakan titik tengah sisi $BC,CD,DA,$ dan $AB$, berturut - turut. Apabila $AE$ memotong $BF$ di $M$ dan $CG$ memotong $DH$ di $N$, tentukan nilai dari $MN^2$.

 

16. Sebuah persegi dengan panjang sisi 8 satuan akan dibagi menjadi 64 persegi satuan (persegi dengan panjang sisi 1). Kemudian, persegi satuan ini diwarnai dengan warna hitam atau putih. Tentukan banyaknya cara mewarnai persegi tersebut sedemikian sehingga setiap persegi dengan panjang sisi 2 satuan yang dibentuk oleh 4 persegi satuan yang bertetangga memuat tepat 2 persegi satuan dengan warna hitam dan 2 persegi satuan dengan warna putih. (persegi bertetangga adalah persegi yang mempunyai sisi yang sama).

 

17. Misalkan $ABC$ adalah segitiga dengan panjang sisi $BC = 35$, $CA = 42$, dan $AB = 49$. Misalkan $BE$ dan $CF$ adalah garis tinggi segitiga $ABC$ dan $EF$ yang memotong lingkaran luar $ABC$ di $P$ dan $Q$, berturut - turut, di mana $P$ terletak pada busur $AB$ yang tidak memuat $C$ dan $Q$ terletak pada busur $AC$ yang tidak memuat $B$. Apabila panjang $PQ$ dapat ditulis dalam bentuk $m\sqrt{n}$, di mana $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat positif dan $n$ tidak habis terbagi oleh kuadrat dari bilangan prima apa pun, tentukan nilai dari $m+n$

 

18. Misal $$A = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{199 \cdot 200}$$ dan $$B = \frac{1}{101 \cdot 200} + \frac{1}{102 \cdot 199} + ... + \frac{1}{200 \cdot 101}$$ Tentukan nilai dari $\frac{2A}{B}$

 

19. Misalkan $S$ adalah himpunan semua bilangan asli $n$ yang kurang dari 2017 sehingga $n$ dapat ditulis sebagai perkalian semua bilangan tiga pembagi terkecilnya yang tidak sama dengan 1 ( dengan kata lain, $n = xyz$ dengan $1 < x < y < z$ dan $x,y,$ dan $z$ merupakan tiga buah pembagi terkecil dari $n$). Tentukan banyaknya anggota $S$.

 

20. Pada ekspresi berikut : $$\lozenge 1 \lozenge 2 \lozenge 3 \lozenge 4 \lozenge 5 \lozenge 6 \lozenge 8 \lozenge 9 \lozenge 10 $$ terdapat 10 buah simbol $\lozenge$. Setiap simbol $\lozenge$ pada ekspresi tersebut akan diganti dengan tanda $+$ atau tanda $-$ (tidak keduanya) sehingga ekspresi tersebut menghasilkan sebuah bilangan. Tentukan banyaknya cara mengganti simbol - simbol $\lozenge$ sehingga bilangan yang dihasilkan dari ekspresi tersebut habis dibagi 5.

Share this post


Link to post
Share on other sites

2.

Spoiler

Misal akar-akar dari $4x^2+ax+b=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Maka $x_1+x_2=-\frac{a}{4}$ dan $x_1x_2=\frac{b}{4}$. Misalkan akar-akar dari $2x^2+cx+d=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Maka $\alpha+\beta=-\frac{c}{2}$ dan $\alpha\beta=\frac{d}{2}$. Dari soal diperoleh hubungan $x_1=3\alpha$ dan $x_2=3\beta$. Maka $x_1x_2=9\alpha\beta \implies \frac{b}{4}=9\cdot\frac{d}{2} \implies \frac{b}{d}=\boxed{18}$.

 

3.

Spoiler

3.

Misalkan jari-jari lingkaran itu adalah $r=AB=AC$. Perhatikan bahwa titik $D$ terletak di busur kecil $BC$. Tarik garis $AD$ yang merupakan jari-jari lingkaran itu juga. Maka $\triangle ABD$ sama kaki dengan $\angle ABD=\angle ADB=75^{\circ}$. Maka $\angle BAD=180^{\circ}-2\cdot 75^{\circ}=30^{\circ}.$ $\angle DAC=\angle BAC-\angle BAD=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$. Maka \begin{align*}CD^2&=AC^2+AD^2-2\cdot AC\cdot AD\cdot\cos\angle DAC\\&=r^2+r^2-2r^2\cos 30\\&=2r^2\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\CD&=r\sqrt{4-2\sqrt{3}}\\&=\boxed{90\left(\sqrt{3}-1\right)}\end{align*}.

 

5.

Spoiler

 

Berlaku persamaan $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$. Maka

\begin{align*}\sqrt[3]{\sqrt[3]{5\sqrt{2}+x}+\sqrt[3]{5\sqrt{2}-x}}&=\sqrt{2}\\\sqrt[3]{5\sqrt{2}+x}+\sqrt[3]{5\sqrt{2}-x}&=2\sqrt{2}\\\left(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+x}+\sqrt[3]{5\sqrt{2}-x}\right)^3&=16\sqrt{2}\\5\sqrt{2}+x+5\sqrt{2}-x+3\sqrt[3]{50-x^2}\cdot 2\sqrt{2}&=16\sqrt{2}\\\sqrt[3]{50-x^2}&=1\\x&=\boxed{7}.\end{align*}

 

 

Edited by Fachni

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this