Jump to content
-_-

Simulasi OSN Matematika KTO Mei 2017 No 1

Recommended Posts

Untuk setiap bilangan asli $n$, definisikan $f(n)$ sebagai banyaknya angka 1 yang muncul pada representasi desimal semua bilangan asli dari $1$ sampai dengan $n$. Sebagai contoh, $f(7)=1$ dan $f(17)=10$. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n$, berlaku \[f\left(10^n\right)=n10^{n-1}+1.\]

Share this post


Link to post
Share on other sites

 

$f(10^n )=f(10^n-1)+1$
$10^n-1$ pasti dalam bentuk $\underbrace{99\cdots9}_{n}$
Logikanya seperti ini, untuk mencari $f(10^n-1)$, kita harus mencari berapa banyak bilangan dengan banyak digit n dan angka $1$ mulai dari digit bilangan bagian kiri sampai kanan, lalu hasilnya ditambah. 
Misalnya untuk mencari $f(999)$, kita cari berapa banyak bilangan dengan angka $1$ yang muncul dalam $\overline{abc}$ mulai dari $a$ sampai $c$, seperti $\overline{1bc}$ , $\overline{a1c}$, dan $\overline{ab1}$. Tetapi kita juga harus mencari banyak bilangan dengan angka $1$ yang muncul dalam $\overline{de}$ dan $\overline{f}$
Agar mempermudah mencari $f(999)$ tanpa perlu mencari banyak bilangan tersebut, anggap bahwa $\overline{0a} =\overline{a}$ atau $\overline{0a0}= \overline{a0}$.
Dengan demikian, kita juga dapat mencari $f(10^n-1)$.
$f(10^n-1)= \underbrace{10^{n-1}+10^{n-1}+\cdots+10^{n-1}}_{n}=n(10^{n-1})$
Dimana $10^{n-1}$ adalah banyak bilangan dengan angka $1$ di semua tempat dan $n$ adalah banyak $10^{n-1}$.
Maka $f(10^n )=n(10^{n-1} )+1$ 
(Terbukti)

Edited by Jason99
  • Upvote 2

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now


×