Jump to content
Sign in to follow this  
-_-

Simulasi OSN Matematika KTO Mei 2017 No 2

Recommended Posts

Tentukan semua fungsi $f:\mathbb Z\to \mathbb Z$ sedemikian sehingga \[a^2+f(a)b+(f(b))^2\] adalah bilangan kuadrat sempurna untuk setiap bilangan bulat $a$ dan $b$.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Set $a=b=1$, maka $1+f(1)+f(1)^2=m^2$ untuk suatu $m$. Tulis sebagai

$$(2f(1)+1)^2+3=(2m)^ 2 \rightarrow f(1)=-1,0$$

 

Jika $f(1)=0$, maka untuk $a=1$, berlaku bahwa $f(b)^2+1$ kuadrat sempurna, sehingga $f(b)=0$ untuk setiap $b$. Cek bahwa $f(k)=0 \forall k \in \mathbb{Z}$ memeuhi.

 

Jika $f(1)=-1$, maka untuk $a=1$, berlaku bahwa $1-b+f(b)^2$ kuadrat sempurna.

Untuk $b=3$, berlaku bahwa $f(3)^2-2=q^2$, atau $(f(3)-q)(f(3)-q)=2$ untuk suatu bilangan bulat $q$, yang berakibat $f(3)$ tidak bulat, kontradiksi.

 

Jadi hanya $f(n)=0 \forall n \in \mathbb{Z}$ yang memenuhi syarat soal.

Edited by blajaran

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×