Jump to content
-_-

Simulasi OSN Matematika KTO Mei 2017 No 5

Recommended Posts

Misalkan $X$ adalah himpunan bilangan real positif takkosong dengan properti sebagai berikut: untuk setiap $p,q,r\in X$, $pq+qr+rp$ adalah bilangan rasional. Buktikan bahwa $\frac{p}{q}$ adalah bilangan rasional untuk setiap $p,q\in X$.
  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

pq, dan r merupakann bilangan real. pq + qr + rp adalah bilangan rasional. Kemungkinan pertama pasti p, atau q, atau r merupakan bilangan rasional. Kemungkinan kedua pq, dan r adalah bilangan rasional. Jadi, terbukti bahwa  \frac{p}{q} adalah bilangan rasional.

 

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites
20 hours ago, Wildan Bagus W said:

pq, dan r merupakann bilangan real. pq + qr + rp adalah bilangan rasional. Kemungkinan pertama pasti p, atau q, atau r merupakan bilangan rasional. Kemungkinan kedua pq, dan r adalah bilangan rasional. Jadi, terbukti bahwa  \frac{p}{q} adalah bilangan rasional.

 

Himpunan $\{ \sqrt{2},2\sqrt{2},3\sqrt{2} \}$ memenuhi persyaratan di soal, tapi semua elemennya irrasional

  • Upvote 2

Share this post


Link to post
Share on other sites

Kasus 1 : $pq, qr\ dan\ rp$ rasional, jelas bahwa $\frac{pr}{rq}$ juga rasional, sehingga $\frac{pr}{rq}=\frac{p}{q}$ juga rasional

Kasus 2 : jika salah satu dari $pq, qr\ dan\ rp$ irasional, rasional + rasional + irasional jelas akan menghasilkan irasional, maka tidak dapat dibentuk $pq + qr + rp$ bilangan rasional

Kasus 3 : jika dua diantara $pq,qr\ dan\ rp$ irasional, rasional + irasional + irasional, maka jumlah dari kedua bilangan irasional harus menghasilkan bilangan rasional, misalkan bilangan irasional pertama = $x$ dan bilangan irasional kedua = $y$, maka $x + y =\frac{a}{b}$, haruslah ada bilangan $b$ sehingga $b(x+y)=a$, dapat dilihat jika $x+y$ tidak sama dengan 0, maka $a$ tidak rasional, sehingga $x+y$ bernilai 0 atau $x=-y$, sedangkan jika $x$ merupakan jumlah bilangan rasional dan irasional dengan $x=m+n$, $m$ rasional dan $n$ irasional, $x+y=m+n+y=\frac{a}{b}$, dengan demikian haruslah $n=-y$, tanpa mengurangi keumuman, jika $pq\ dan\ qr$ merupakan bilangan irasional dan $rp$ bilangan rasional, sehingga $pq=-qr$, maka $p=-r$, dengan $pr=-r^2$, suatu kontradiksi karena $p,q,r$ merupakan anggota bilangan real positif maka $pq,qr\ dan\ rp$ harus benilai positif, jika $pq=x+y$, dengan $x$ rasional dan $y$ irasional, maka $qr=-y$, juga merupakan suatu kontradiksi karena $qr$ haruslah positif.

Kasus 4 : jika $pq,qr\ dan\ rp$ irasional, irasional + irasional + irasional, maka akan menghasilkan bilangan irasional, sehingga tidak dapat dibentuk $pq+rq+rp$ bilangan rasional

Jadi, $pq,qr\ dan\ rp$ haruslah rasional, sehingga $\frac{pr}{rq}=\frac{p}{q}$ juga rasional, untuk setiap $p,q\in X$

$$CMIIW$$

  • Upvote 2

Share this post


Link to post
Share on other sites

Kalo $X$ cuma $1$ anggota, jelas benar.

 

Misalkan $X$ punya minimal $2$ anggota $p$ dan $q$

 

Pandang tripel $p,p,p \in X$, maka $3p^2$ rasional atau $p^2$ rasional.

 

Pandang tripel $p,p,q \in X$, maka $p^2+2pq$ rasional, karena $p^2$ rasional, maka $2pq$ rasional, atau juga $pq$ rasional.

 

Jadi $\frac{p}{q}=\frac{p^2}{pq}$ hasil bagi dua bilangan rasional, berarti pasti rasional.

 

 

Edited by blajaran

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 5/31/2017 at 0:10 PM, username said:

Kasus 4 : jika $pq,qr,rp$ irasional, irasional + irasional + irasional, maka akan menghasilkan bilangan irasional, sehingga tidak dapat dibentuk pq+rq+rp bilangan rasional

Jadi, pq,qr,rp  haruslah rasional.......

 

 

Irasional + irasional + irasional bisa jadi rasional. Contohnya $2\sqrt2 + (1-\sqrt2) + (2-\sqrt{2}) = 3$

Edited by blajaran

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now


×