Jump to content
-_-

Simulasi OSN Matematika KTO Mei 2017 No 7

Recommended Posts

Tentukan semua triple bilangan prima $(p_1,p_2,p_3)$ sedemikian sehingga \[p_i-1\mid p_1p_2p_3-1\quad \text{dan}\quad p_i+1\mid p_1p_2p_3+1\] untuk setiap $i=1,2,3$.

Share this post


Link to post
Share on other sites

NOMOR 7

Diketahui (p1, p2, p3) adalah triple bilangan prima sehingga

pi – 1|p1p2p3 – 1 dan pi + 1| p1p2p3 + 1

dengan i = 1, 2, 3.

Bilangan prima semuanya merupakan bilangan ganjil kecuali 2 (bilangan genap).  Jika p1 berupa bilangan genap, maka p1 – 1 dan p1 + 1 adalah bilangan ganjil. Tetapi jika pi berupa bilangan ganjil, maka pi – 1 dan pi + 1 adalah bilangan genap.

Kasus 1

Jika p1,p2, danp3 masing-masing adalah bilangan genap dan prima, yaitu 2, maka p1p2p3 – 1 = 7 dan p1– 1 adalah 1. Jadi p1 – 1| p1p2p3 – 1. Kita dapatkan yang kedua yaitu p1p2p3 + 1 adalah 9, dan pi + 1 = 3. Maka pi + 1| p1p2p3 + 1. Maka kita dapatkan (2, 2, 2).

Kasus 2

Jika p1,p2, danp3 masing-masing adalah bilangan ganjil dan prima, maka p1p2p3 – 1 dan pi – 1 adalah bilangan genap. Begitu juga dengan pi + 1 dan p1p2p3 + 1 adalah bilangan genap. Misalnya p1,p2, danp3 semuanya sama.

Untuk p1 = p2 = p3 = 3.

Maka pi – 1|p1p2p3 – 1 karena 3 – 1| 3 3 3 – 1, dan pi + 1| p1p2p3 + 1 karena 3 + 1| 3 3 3 + 1

Sehingga kita dapatkan dengan . Maka untuk p1,p2, danp3 masing-masing adalah bilangan ganjil dan prima dengan p1 = p2 = p3 selalu berakibat pi – 1|  p1p2p3 – 1. Dan juga kita dapatkan . Jadi untuk p1,p2, danp3 masing-masing adalah bilangan ganjil dan prima dengan p1 = p2 = p3 selalu berakibat pi + 1| p1p2p3 + 1. Maka kita dapatkan (3, 3, 3), (5, 5, 5), (7, 7, 7), (11, 11, 11), (13, 13, 13), (17, 17, 17), ….

Kasus 3

Misalkan p1, p2 dan p3 terdapat satu bilangan genap dan prima, yaitu 2 dan sisanya merupakan bilangan ganjil dan prima. Jika p1 = 2, maka untuk pi dengan i = 1, maka selalu berakibat pi – 1| p1p2p3 – 1. Agar p1 + 1| p1p2p3 + 1 harus kelipatan 3. Misalkan p2 = p3 = x. Maka didapatkan . Agar 3 | 2x2, 2x2 harus merupakan kelipatan 3. Kondisi ini memenuhi jika x adalah kelipatan 3 dan harus prima (sesuai permintaan soal). Maka kita dapatkan hanya (2, 3, 3).

Untuk p2 = 2 dan p1 = p3 dan pi dengan i = 2 , didapatkan hanya (3, 2, 3).

Untuk p3 = 2 dan p1 = p2 serta pi dengan i = 3, didapatkan hanya (3, 3, 2).

Kasus 4

Misalkan p1, p2 dan p3 terdapat dua bilangan genap dan prima, yaitu 2 dan satu bilangan ganjil dan prima. Misalkan p1 = p2 = 2 dan pi dengan i = 1, 2. Maka selalu berakibat pi – 1| p1p2p3 – 1. Kita dapatkan untuk p1 + 1| p1p2p3 + 1 dan pi dengan i = 1, kita dapatkan 3|4p3. Misalkan p3 = y, kita dapatkan . Agar 4y habis dibagi oleh 3, maka 4y harus kelipatan 3. Kondisi ini akan memenuhi jika y adalah kelipatan 3 dan prima (sesuai permintaan soal). Maka kita dapatkan hanya (2, 2, 3).

Untuk p2 = p3 = 2 dan pi dengan i = 2, maka kita dapatkan hanya (3, 2, 2).

Untuk p1 = p3 = 2 dan pi dengan i = 3, maka kita dapatkan hanya (2, 3, 2).

 

Lebih lengkapnya pke Microsoft di atas. Sdh tak kasik file-nya

Share this post


Link to post
Share on other sites
24 minutes ago, Wildan Bagus W said:

NOMOR 7

Diketahui (p1, p2, p3) adalah triple bilangan prima sehingga

pi – 1|p1p2p3 – 1 dan pi + 1| p1p2p3 + 1

dengan i = 1, 2, 3.

Bilangan prima semuanya merupakan bilangan ganjil kecuali 2 (bilangan genap).  Jika p1 berupa bilangan genap, maka p1 – 1 dan p1 + 1 adalah bilangan ganjil. Tetapi jika pi berupa bilangan ganjil, maka pi – 1 dan pi + 1 adalah bilangan genap.

Kasus 1

Jika p1,p2, danp3 masing-masing adalah bilangan genap dan prima, yaitu 2, maka p1p2p3 – 1 = 7 dan p1– 1 adalah 1. Jadi p1 – 1| p1p2p3 – 1. Kita dapatkan yang kedua yaitu p1p2p3 + 1 adalah 9, dan pi + 1 = 3. Maka pi + 1| p1p2p3 + 1. Maka kita dapatkan (2, 2, 2).

Kasus 2

Jika p1,p2, danp3 masing-masing adalah bilangan ganjil dan prima, maka p1p2p3 – 1 dan pi – 1 adalah bilangan genap. Begitu juga dengan pi + 1 dan p1p2p3 + 1 adalah bilangan genap. Misalnya p1,p2, danp3 semuanya sama.

Untuk p1 = p2 = p3 = 3.

Maka pi – 1|p1p2p3 – 1 karena 3 – 1| 3 3 3 – 1, dan pi + 1| p1p2p3 + 1 karena 3 + 1| 3 3 3 + 1

Sehingga kita dapatkan dengan . Maka untuk p1,p2, danp3 masing-masing adalah bilangan ganjil dan prima dengan p1 = p2 = p3 selalu berakibat pi – 1|  p1p2p3 – 1. Dan juga kita dapatkan . Jadi untuk p1,p2, danp3 masing-masing adalah bilangan ganjil dan prima dengan p1 = p2 = p3 selalu berakibat pi + 1| p1p2p3 + 1. Maka kita dapatkan (3, 3, 3), (5, 5, 5), (7, 7, 7), (11, 11, 11), (13, 13, 13), (17, 17, 17), ….

Kasus 3

Misalkan p1, p2 dan p3 terdapat satu bilangan genap dan prima, yaitu 2 dan sisanya merupakan bilangan ganjil dan prima. Jika p1 = 2, maka untuk pi dengan i = 1, maka selalu berakibat pi – 1| p1p2p3 – 1. Agar p1 + 1| p1p2p3 + 1 harus kelipatan 3. Misalkan p2 = p3 = x. Maka didapatkan . Agar 3 | 2x2, 2x2 harus merupakan kelipatan 3. Kondisi ini memenuhi jika x adalah kelipatan 3 dan harus prima (sesuai permintaan soal). Maka kita dapatkan hanya (2, 3, 3).

Untuk p2 = 2 dan p1 = p3 dan pi dengan i = 2 , didapatkan hanya (3, 2, 3).

Untuk p3 = 2 dan p1 = p2 serta pi dengan i = 3, didapatkan hanya (3, 3, 2).

Kasus 4

Misalkan p1, p2 dan p3 terdapat dua bilangan genap dan prima, yaitu 2 dan satu bilangan ganjil dan prima. Misalkan p1 = p2 = 2 dan pi dengan i = 1, 2. Maka selalu berakibat pi – 1| p1p2p3 – 1. Kita dapatkan untuk p1 + 1| p1p2p3 + 1 dan pi dengan i = 1, kita dapatkan 3|4p3. Misalkan p3 = y, kita dapatkan . Agar 4y habis dibagi oleh 3, maka 4y harus kelipatan 3. Kondisi ini akan memenuhi jika y adalah kelipatan 3 dan prima (sesuai permintaan soal). Maka kita dapatkan hanya (2, 2, 3).

Untuk p2 = p3 = 2 dan pi dengan i = 2, maka kita dapatkan hanya (3, 2, 2).

Untuk p1 = p3 = 2 dan pi dengan i = 3, maka kita dapatkan hanya (2, 3, 2).

 

Lebih lengkapnya pke Microsoft di atas. Sdh tak kasik file-nya

Untuk Kasus 3 dan 4, 3-1=2 tidak habis membagi 3*3*2-1=17 dan 3-1=2 tidak habis membagi 3*2*2-1=11

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now


×