Sign in to follow this  
Followers 0
-_-

OSN SMA 2017 No 4

4 posts in this topic

Tentukan semua pasangan bilangan real $(x,y)$ yang memenuhi sistem persamaan $$x^{100}-y^{100}=2^{99}(x-y)$$ $$x^{200}-y^{200}=2^{199}(x-y)$$ dengan $x$ dan $y$ berbeda.

0

Share this post


Link to post
Share on other sites
6 hours ago, Muh. Fadlan said:

cuma 1 yah?

aku dapat (2,0) aja. Caranya panjang..

Anda melewatkan solusi trivial lainnya, yaitu $(0,2)$

0

Share this post


Link to post
Share on other sites

Saya dapetnya gini (ini garis besarnya saja):

Fokus ke kuadran 1 ($x,y > 0$), nanti kasus lainnya bisa di reduksi jadi kasus ini. Kemudian kedua persamaan tadi di reduksi jadi:

A: $$x^{100} + y^{100} = 2^{100}$$

B: $$x^{99} + x^{98}y + ... + xy^{98} + y^{99} = 2^{99}$$

 

Kemudian bayangkan (sketsa) bentuk kedua kurva tersebut di kuadran 1. Kemudian juga bayangkan kurva C: $$x^{99} + y^{99} = 2^{99}$$

 

Klaim 1: Kurva A selalu "di atas" kurva C, kecuali di (0,2) dan (2,0). Secara formal, jika $(x_1,y)$ memenuhi A dan $(x_2,y)$ memenuhi C maka $x_1 > x_2$. Buktinya nggak susah.

 

Klaim 2: Kurva B selalu "di bawah" kurva C, kecuali di (0,2) dan (2,0). Buktinya juga nggak susah.

 

Dari kedua klaim tersebut, maka kurva A bertemu kurva B hanya di (0,2) dan (2,0) soalnya di titik lain, mereka dipisahkan oleh kurva C. 

0

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!


Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.


Sign In Now
Sign in to follow this  
Followers 0