Jump to content
Sign in to follow this  
-_-

OSN SMA 2017 No 4

Recommended Posts

Tentukan semua pasangan bilangan real $(x,y)$ yang memenuhi sistem persamaan $$x^{100}-y^{100}=2^{99}(x-y)$$ $$x^{200}-y^{200}=2^{199}(x-y)$$ dengan $x$ dan $y$ berbeda.

Share this post


Link to post
Share on other sites
6 hours ago, Muh. Fadlan said:

cuma 1 yah?

aku dapat (2,0) aja. Caranya panjang..

Anda melewatkan solusi trivial lainnya, yaitu $(0,2)$

Share this post


Link to post
Share on other sites

Saya dapetnya gini (ini garis besarnya saja):

Fokus ke kuadran 1 ($x,y > 0$), nanti kasus lainnya bisa di reduksi jadi kasus ini. Kemudian kedua persamaan tadi di reduksi jadi:

A: $$x^{100} + y^{100} = 2^{100}$$

B: $$x^{99} + x^{98}y + ... + xy^{98} + y^{99} = 2^{99}$$

 

Kemudian bayangkan (sketsa) bentuk kedua kurva tersebut di kuadran 1. Kemudian juga bayangkan kurva C: $$x^{99} + y^{99} = 2^{99}$$

 

Klaim 1: Kurva A selalu "di atas" kurva C, kecuali di (0,2) dan (2,0). Secara formal, jika $(x_1,y)$ memenuhi A dan $(x_2,y)$ memenuhi C maka $x_1 > x_2$. Buktinya nggak susah.

 

Klaim 2: Kurva B selalu "di bawah" kurva C, kecuali di (0,2) dan (2,0). Buktinya juga nggak susah.

 

Dari kedua klaim tersebut, maka kurva A bertemu kurva B hanya di (0,2) dan (2,0) soalnya di titik lain, mereka dipisahkan oleh kurva C. 

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×