Sign in to follow this  
Followers 0
-_-

OSN SMA 2017 No 5

2 posts in this topic

Diberikan polinom $P$ dengan koefisien-koefisien bilangan bulat.
Misalkan diketahui bahwa persamaan $P\left( x\right) =0$ mempunyai
sedikitnya $9$ solusi bilangan bulat berbeda. Misalkan juga $n$ adalah sebarang
bilangan bulat dengan sifat $\left\vert P\left( n\right) \right\vert <2017.$
Buktikan bahwa $P\left( n\right) =0.$

0

Share this post


Link to post
Share on other sites

Posted (edited)

Berhubung sudah sepuh saya jawab soal yang gampang-gampang saja :D

Spoiler

Karena $P(x)=0$ punya setidaknya $9$ solusi bulat berbeda, maka terdapat $a_1,a_2,\cdots,a_9$ dan $S(x)$ polinom koefisien bulat sehingga

$$P(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_9)S(x)$$

Sekarang, karena $|P(n)| < 2017$, maka

$$|(n-a_1)(n-a_2)\cdots (n-a_9)S(n)| < 2017$$

Jika $n$ adalah salah satu dari $a_1,a_2,\cdots, a_9$ atau $S(n)=0$, maka $P(n)=0$.

Jika tidak, maka $(n-a_1),(n-a_2),\cdots,(n-a_9)$ adalah bilangan-bilangan bulat berbeda, sehingga

$$|P(n)|\geqslant |(-1)(1)(-2)(2)(-3)(3)(-4)(4)(5)| = 2880 > 2017$$

Kontradiksi!

 

Edited by blajaran
0

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!


Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.


Sign In Now
Sign in to follow this  
Followers 0