Rimba Erlangga

OSP SMA 2017 - Bagian Isian Singkat

7 posts in this topic

Posted (edited)

  1. Dua bilangan real tidak nol $a$ dan $b$ memenuhi $ab = a-b$. Nilai $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-ab$ yang mungkin adalah ...
     
  2. Tokoh masyarakat di suatu RW, selain Pak RW dan Bu RW, terdapat $5$ orang wanita dan $6$ orang pria. Kelurahan meminta $6$ orang untuk mengikuti seminar di tingkat kota. Dipilih $6$ orang sebagai delegasi RW, dengan komposisi $3$ orang wanita dan $3$ orang pria, yang salah satu diantaranya adalah Pak RW. Banyaknya cara memilih delegasi tersebut adalah ...
     
  3. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = 13$, $AC = 15$, dan panjang garis tinggi ke $\overline{BC}$ adalah $12$. Jumlah semua panjang $BC$ yang mungkin adalah ...
     
  4. Bilangan prima dua digit $p = \overline{ab}$ yang memenuhi $\overline{ba}$ juga prima ada sebanyak ...
     
  5. Misalkan $f$ fungsi real yang memenuhi $f(\frac{x}{3}) = x^2+2x+3$. Jumlah semua nilai $z$ yang memenuhi $f(3z) = 12$ adalah ...
     
  6. Ita memilih bilangan di antara $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ dan mengatakan kepada Budi hasil kelima bilangan tersebut. Kemudian Ita bertanya apakah Budi mengetahui hasil penjumlahan kelima bilangan tersebut merupakan bilangan ganjil atau genap. Budi menjawab bahwa dia tidak bisa memastikannya. Nilai hasil kali lima bilangan yang dimiliki Ita adalah ...
     
  7. Misalkan $ABCD$ sebuah persegi dengan panjang sisi $2017$. Titik $E$ terletak pada segmen $CD$ sehingga $CEFG$ merupakan persegi dengan panjang sisi $1702$, dengan $F$ dan $G$ terletak di luar $ABCD$. Jika lingkaran luar segitiga $ACF$ memotong $BC$ lagi di titik $H$, maka panjang $CH$ adalah ...
     
  8. Banyaknya pasangan bilangan asli $(x, y)$ yang memenuhi persamaan \[x + y = \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{xy}\] adalah ...
     
  9. Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan-bilangan real yang memenuhi persamaan \[x^2y^2+4x^2+y^2+1 = 6xy.\] Jika $M$ dan $m$ berturut-turut menyatakan nilai terbesar dan nilai terkecil yang mungkin dari $x-y$, maka nilai dari $M-m$ adalah ...
     
  10. Diberikan $2017$ lampu yang dilengkapi saklar untuk menyalakan dan mematikan lampu. Mula-mula semua lampu dalam keadaaan padam. Pada setiap menit, Ani harus menekan tepat $5$ saklar. Setiap saklar ditekan, lampu yang tadinya padam menjadi menyala dan yang tadinya menyala menjadi padam. Untuk menyalakan semua lampu, Ani paling sedikit membutuhkan ... menit.
     
  11. Diberikan bilangan real positif $k$. Pada suatu segitiga $ABC$, titik-titik $D$, $E$, dan $F$ berturut-turut terletak pada sisi $BC$, $CA$, dan $AB$ sehingga \[\frac{BD}{DC}=\frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB}=k.\] Jika $[ABC]$ dan $[DEF]$ berturut-turut menyatakan luas segitiga $ABC$ dan $DEF$, maka $\frac{[DEF]}{[ABC]} = $...
     
  12. Untuk sebarang bilangan asli $k$, misalkan $I_k = 10\dots064$ dengan $0$ di antara $1$ dan $6$ sebanyak $k$. Jika $N(k)$ menyatakan banyaknya faktor $2$ pada faktorisasi prima dari $I_k$, maka nilai maksimum untuk $N(k)$ adalah ...
     
  13. Jika $x$, $y$, dan $z$ bilangan-bilangan real positif yang memenuhi \[x+\frac{1}{y} = 4, y+\frac{1}{z} = 1, z+\frac{1}{x} = \frac{7}{3},\] maka nilai $xyz$ adalah ...
     
  14. Sepuluh siswa mempunyai tinggi badan yang berbeda. Guru olahraga menginginkan mereka berbaris menyamping, dengan syarat tidak ada siswa diapit oleh dua siswa lebih tinggi dari dirinya. Banyaknya cara membuat barisan seperti itu adalah ...
     
  15. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\tau$ sebagai lingkaran luarnya. Tali busur $AD$ adalah garis bagi dalam sudut $BAC$ yang memotong $BC$ di titik $L$. Tali busur $DK$ tegak lurus pada $AC$ dan memotong $AC$ di titik $M$. Jika $\frac{BL}{LC}=\frac{1}{2}$, maka nilai dari $\frac{AM}{MC}$ adalah ...
     
  16. Bilangan asli empat-digit $n$ habis dibagi oleh $7$. Bilangan asli $k$, yang diperoleh dengan menuliskan digit-digit $n$ dari belakang ke depan, juga habis dibagi oleh $7$. Selain itu, diketahui bahwa $n$ dan $k$ mempunyai sisa yang sama apabila dibagi oleh $37$. Jika $k>n$, maka jumlah dari semua $n$ yang memenuhi adalah ...
     
  17. Untuk sebarang bilangan real $x$, notasi $\left \lfloor{x}\right \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang tidak lebih besar daripada $x$. Diketahui $\{a_i\}_{i\geq1}$ barisan bilangan real dengan $a_1=20,17$. Jika \[a_1, a_2, ... , a_{11}  \textrm{ dan} \left \lfloor{a_1}\right \rfloor, \left \lfloor{a_2}\right \rfloor, ... , \left \lfloor{a_{10}}\right \rfloor\]masing-masing merupakan barisan aritmetika; sedangkan $\left \lfloor{a_1}\right \rfloor\, \left \lfloor{a_2}\right \rfloor, ... , \left \lfloor{a_{11}}\right \rfloor$ bukan barisan aritmetika, maka nilai minimum dari $a_2-a_1-\left \lfloor{a_2-a_1}\right \rfloor$ adalah ...
     
  18. Di suatu Pusat Jajanan terdapat empat kedai yang masing-masing menjual tiga jenis makanan. Ada $n$ orang yang masing-masing membeli tepat satu makanan pada setiap kedai. Untuk setiap tiga pembeli, ada paling sedikit satu kedai yang ketiga jenis makanannya terbeli. Nilai $n$ maksimum yang mungkin adalah ...
     
  19. Diketahui segi tujuh beraturan $ABCDEFG$. Jarak dari $A$ ke garis $BC$, $BE$, $CF$, dan $EF$ berturut-turut adalah $a$, $b$, $c$, dan $d$. Nilai $\frac{ad}{bc}$ adalah ...
     
  20. Diketahui $f(x)$ polinom berderajat $n$ dengan koefisien-koefisien bilangan bulat yang memenuhi $f(0) = 39$ dan $f(x_1) = f(x_2) = f(x_3) = ... = f(x_n) = 2017$, dengan $x_1, x_2, x_3, ... , x_n$ semua berbeda. Bilangan $n$ terbesar yang mungkin adalah ...
Edited by Rimba Erlangga
0

Share this post


Link to post
Share on other sites

No 1.
 

Spoiler

 

Perhatikan bahwa $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-ab=\frac{a^2+b^2-a^2b^2}{ab}=\frac{a^2+b^2-(a-b)^2}{ab}=\frac{2ab}{ab}=2$.

Hanya ada satu nilai yang mungkin, yaitu $2$.

 

 

0

Share this post


Link to post
Share on other sites

No 2.

Spoiler

Karena satu posisi pria sudah diisi oleh Pak RW, maka cukup dipilih 2 orang pria dari 6 dan 3 orang wanita dari 6 (termasuk Bu RW). Banyaknya cara adalah ${6 \choose 2} \cdotp {6 \choose 3} = 15 \cdotp 20 = 300$.

 

0

Share this post


Link to post
Share on other sites

No 3. Apakah maksudnya $\overline{BC}$ ini segmen $BC$? Apa garis $BC$? Kenapa pake garis di atasnya?

Spoiler

Misalkan $X$ adalah kaki garis tinggi dari titik $A$ ke sisi $BC$. Maka ada dua kemungkinan: $B$ dan $C$ terletak pada sisi yang berbeda terhadap garis $AX$ dan terletak pada sisi yang berbeda. Jika $B,C$ pada sisi berbeda, maka $BC=BX+CX=5+11=16$. Jika $B,C$ pada sisi yang sama, maka $BC=CX-BX=11-5=6$. Maka hasil jumlah panjang $BC$ yang mungkin adalah $16+6=22$.

 

0

Share this post


Link to post
Share on other sites

no. 4 nguli ._.

yang bilangan genap dibuang, trus 5 juga, sisa 1, 3, 7, 9, dikombinasiin jadi bilangan 2 digit sekalian dicoba2 prima apa bukan hho.

p = 11, 13, 17, 37, 79 -> ada 5.

 

cmiiw ._.

0

Share this post


Link to post
Share on other sites

5. f(x/3) = x^2 + 2x + 3

x/3 = 3z

x = 9z

f(3z) = (9z)^2 + 2 (9z) + 3 = 81z^2 + 18z + 3

81z^2 + 18z + 3 = 12

81 z^2 + 18z - 9 = 0

Jumlah semua nilai z = -18/81 = - 2/9

 

CMIIW ._\

 

0

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!


Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.


Sign In Now