Rimba Erlangga

OSP SMA 2017 - Bagian Uraian No. 2

Recommended Posts

Bilangan asli $k>2$ dikatakan $\textbf{cantik}$ jika untuk setiap bilangan asli $n \geq 4$ dengan $5n+1$ bilangan kuadrat sempurna, dapat ditemukan bilangan asli $a_1, a_2, ... , a_k$ sehingga \[n+1 = a_1^2 + a_2^2 + ... + a_k^2.\] Tentukan bilangan cantik terkecil.

Edited by Rimba Erlangga

Share this post


Link to post
Share on other sites

Perhatikan bahwa $5n+1$ kuadrat sempurna, atau $5n+1=m^2 \rightarrow n=\frac{m^2-1}{5}$. Hal ini berakibat bahwa $m$ harus berbentuk $5q\pm1$, sehingga $$n=5q^2\pm 2q \rightarrow n+1 = 5q^2\pm 2q+1 = (2q)^2+(q\pm1)^2$$

 

Karena $5q^2\pm 2q+1 = q^2+q^2+q^2+q^2+(q\pm1)^2$, jelas bahwa $k \le 5$. Perhatikan bahwa $n=7$ jelas memenuhi soal, dan perhatikan juga bahwa  $8$ tidak dapat dinyatakan sebagai jumlahan $3$ atau $4$ bilangan kuadrat. Jadi $k=5$.

Edited by blajaran

Share this post


Link to post
Share on other sites
On ‎7‎/‎15‎/‎2017 at 1:06 PM, richard mario said:

5 x 88 +1=44= 21^2

88+1=2^2+6^2+7^2

Jadi k nya 3

CMIIW

HI Richard Mario,

Sedikit koreksi. Memang benar untuk $n=88$, maka $5n+1$ adalah bilangan kuadrat dan $n+1$ dapat dinyatakan dalam jumlah tiga bilangan kuadrat.

 

Namun, di soalnya, tertulis bahwa Anda harus mencari $k$ terkecil sehingga:

"Untuk setiap $n$ yang memenuhi $5n+1$ bilangan kuadrat, maka $n+1$ dapat dinyatakan dalam jumlah $k$ bilangan kuadrat"

 

Anda baru membuktikan bahwa $k=3$ untuk $n=88$ saja, tidak untuk $n$ yang lain :)

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now