Jump to content
salmanhiro

OSN SMP 2017 - Hari Kedua No. 6

Recommended Posts

Parabola \(y = ax^{2} + bx, a < 0\) memiliki titik puncak C dan memotong sumbu-x di titik dan B yang berbeda. Garis \(y = ax\) memotong parabola tersebut di titik berbeda A dan D.

Jika luas segitiga ABC  sama dengan \(\left | ab \right |\) kali luas segitiga ABD, tentukan nilai sebagai fungsi dari a tanpa menggunakan tanda nilai mutlak.

 

Catatan :

\(\left | x \right |\) disebut nilai mutlak x dengan 

 

 

\(\left | x \right | = \left\{\begin{matrix} -x,\; \; \; \; \textrm{jika}\; x < 0;& \\ x,\; \; \; \; \textrm{jika} \; x \geq 0.& \end{matrix}\right.\)

Edited by salmanhiro

Share this post


Link to post
Share on other sites
Spoiler

Parabola $y=ax^2+bx,\ a<0$ mempunyai puncak di $C(x_C, y_C)$. maka $x_C=-\frac{b}{2a}$ dan $y_C=\frac{b^2}{-4a}$. Titik potong parabola pada sumbu x terjadi saat $y=0$, yaitu $ax^2+bx=0 \implies x(ax+b)=0 \implies x=0$ atau $x=-\frac{b}{a}$. Misalkan titik A di sebelah kiri titik B. Maka $A(0, 0)$ dan $B\left(-\frac{b}{a}, 0\right)$. $[\triangle ABC]=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot y_C=\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{b}{a}\right)\cdot\left(\frac{b^2}{-4a}\right)=\frac{b^3}{8a^2}$. Titik potong parabola itu dengan persamaan garis $y=ax$ saat $ax^2+bx=ax \implies x=0=x_A$ atau $x=\frac{a-b}{a}=x_D$. $y_D=a\cdot\left(\frac{a-b}{a}\right)=a-b$. Jadi, titik $D\left(\frac{a-b}{a},\ a-b\right)$. $[\triangle ABD]=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot y_D=\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{b}{a}\right)\cdot (a-b)=\frac{b(b-a)}{2a}$. \begin{align*}[\triangle ABC]&=|ab|\cdot [\triangle ABD]\\\frac{b^3}{8a^2}&=|a||b|\cdot\left(\frac{b(b-a)}{2a}\right).\end{align*} Perhatikan bahwa $a<0$ dan titik $C$ berada di sumbu x positif. Maka $-\frac{b}{2a}>0 \implies b>0$. Maka persamaannya menjadi \begin{align*}\frac{b^3}{8a^2}&=-ab\cdot\left(\frac{b(b-a)}{2a}\right)\\\frac{b}{4a}&=a(a-b)\\b&=4a^2(a-b)\\b&=\boxed{\frac{4a^3}{4a^2+1}}.\end{align*}

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now


×