Jump to content
Sign in to follow this  
erlang

P1 IMC 2017

Recommended Posts

Tentukan semua bilangan kompleks $\lambda$ sehingga terdapat bilangan bulat positif $n$ dan matrix real $A$ berukuran $n\times n$ sehingga $A^2=A^T$ dan $\lambda$ adalah eigenvalue dari $A$.

Share this post


Link to post
Share on other sites
Spoiler

Pertama perhatikan kalau $\lambda$ eigenvalue $A$, maka $\lambda^2$ juga eigenvalue $A$ (karena $\lambda^2$ eiganvalue $A^2$, yang merupakan eigenvalue $A^T$, yang merupakan eigenvalue $A$). Dari extremal diperoleh kalau $\lambda=0$ atau $|\lambda|=1$. Jelas $\lambda=0$ punya solusi (matrix 0). Perhatikan kasus $|\lambda|=1$. Misalkan $v$ eigenvector nya $\lambda$, $\lambda<v,v>=<Av,v>=<v,A^Tv>=<v,A^2v>=<v,\lambda^2v>=\frac{1}{\lambda^2}<v,v>$ maka $\lambda^3=1$. Berarti hanya ada $3$ nilai yang mungkin. Perhatikan kalau $A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{bmatrix}$ cover itu semua. Berarti ada 4 nilai yang mungkin, 0 dan cube root of unity dari 1.

 

Follow up pertanyaan: 

Spoiler

Saya nyari contohnya super lama, kepikirannya itu dari

1. klaim n=3 cukup, karena 2 diantaranya harus muncul bareng anyway.

2. $A^3-I=0$ dari cayley hamilton, terus baru kepikiran muter"

cuma saya coba klaim ambisius terus solve persamaan 4 atau 6 variabel (dan gagal) dulu jadi ebola.

In general kalau mau generate example yang sizenya lebih dari 2 itu enaknya gimana ya? 

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×