Jump to content
Sign in to follow this  
erlang

P2 IMC 2017

Recommended Posts

Misalkan $f:\mathbb{R}\to (0,\infty)$ adalah fungsi differentiable dan misalkan terdapat konstan $L>0$ sehingga $|f'(x)-f'(y)|\le L|x-y| \forall x,y$. Buktikan $(f'(x))^2<2Lf(x) \forall x$

Share this post


Link to post
Share on other sites
Spoiler

Untuk kontradiksi, misalkan $(f'(x))^2\ge 2Lf(x)$ untuk suatu $x$. WLOG $x=0$ (translasi), $L=1$ (karena kalau $f$ solusi dengan suatu $L$, bisa lihat $\frac{1}{L}f$, lalu misalkan $f'(0)\ge 0$ (karena bisa liat $g(z)=f(-z)$). Menurut MVT, $\frac{f(0)-f(-\frac{f'(0)}{2})}{\frac{f'(0)}{2}}=f'(k)$ untuk suatu $k\in [-\frac{f'(0)}{2},0]$, maka $f(0)-\frac{f'(0)}{2}f'(k)=f(-\frac{f'(0)}{2})$. Namun perhatikan kalau $|f'(0)-f'(k)|\le|k|\le|\frac{f'(0)}{2}|$ maka $f'(k)\ge \frac{f'(0)}{2}$, berarti $f(-\frac{f'(0)}{2})=f(0)-\frac{f'(0)}{2}f'(k)\le f(0)-\frac{f'(0)^2}{4}\le \frac{f(0)}{2}$. 

 

Jadi kita punya $f'(-\frac{f'(0)}{2})\ge \frac{f'(0)}{2}$ dan $f(-\frac{f'(0)}{2})\le \frac{f(0)}{2}$, maka $x=\frac{f'(0)}{2}$ juga melanggar ineq yang diinginkan. 

Lakukan argumen ini secara rekursif (tadi kan MVT di $0$ dan $-\frac{f'(0)}{2}$, terus secara general MVT di $\frac{-(2^n-1)f'(0)}{2^n}$ dan \frac{-(2^{n+1}-1)f'(0)}{2^{n+1}} mendapatkan bahwa $0<f(\frac{-(2^n-1)f'(0)}{2^n})\le \frac{f(0)}{2^n}$. 

 

Jelas $f$ kontinu, dengan limit n ke infinity di ineq terakhir kita peroleh kalau $f(-f'(0))=0$, kontradiksi.

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×