Jump to content

Recommended Posts

$x$,$y$,$z$ adalah bilangan real positif yang memenuhi $x+y+z=2017$. Nilai maksimum dari $\frac{(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)}{(x^4+y^4+z^4)}$ adalah ...

Edited by BeingNotknown Ya

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 22/2/2018 at 7:10 AM, BeingNotknown Ya said:

xx ,yy ,zz adalah bilangan real positif yang memenuhi x+y+z=2017x+y+z=2017 . Nilai maksimum dari (x2+y2+z2)(x3+y3+z3)(x4+y4+z4)(x2+y2+z2)(x3+y3+z3)(x4+y4+z4) adalah ...

Jika gunakan CS, sepertinya yg didapat nilai minimum.

Perhatikan bentuk berikut.

\begin{align*} x^2+y^2+z^2 &\ge \frac{(x+y+z)^2}{3} = \frac{2017^2}{3} \\ x^3 + y^3 + z^3 &\ge \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x+y+z} \\ &\ge \frac{\left (\frac{2017^2}{3} \right )^2}{2017} \\ &\ge \frac{2017^4}{9 \cdot 2017} = \frac{2017^3}{9} \\ x^4+y^4+z^4 &\ge \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3} \\ &\ge \frac{2017^4}{27} \end{align*}

Diperoleh

\begin{align*} \frac{(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3) }{x^4+y^4+z^4} &\ge \frac{\frac{2017^2}{3} \cdot \frac{2017^3}{9}}{\frac{2017^4}{27}} \\ &\ge \frac{2017^5}{2017^4} \\ \therefore \frac{(x^2+y^2+z^2)(x^3 +y^3+z^3)}{x^4+y^4+z^4} &\ge 2017 \end{align*} 

Edited by Wildan Bagus W

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 2/22/2018 at 7:10 AM, BeingNotknown Ya said:

xx ,yy ,zz adalah bilangan real positif yang memenuhi x+y+z=2017x+y+z=2017 . Nilai maksimum dari (x2+y2+z2)(x3+y3+z3)(x4+y4+z4)(x2+y2+z2)(x3+y3+z3)(x4+y4+z4) adalah ...

 

Pertama, akan dibuktikan bahwa

\[\frac{(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)}{x^4+y^4+z^4} \le x+y+z\]

untuk \(x,y,z \in \mathbb{R^+}\).

Perhatikan bahwa pertidaksamaan tersebut ekuivalen dengan

\[x^2y^3+x^2z^3+x^3y^2+y^2z^3+x^3z^2+y^3z^2 \le xy^4+xz^4+x^4y+yz^4+x^4z+y^4z\]

\[xy(x^2y+xy^2)+xz(x^2z+xz^2)+yz(y^2z+yz^2) \le xy(x^3+y^3)+xz(x^3+z^3)+yz(y^3+z^3)\]

yg jelas benar menurut AM-GM, yaitu \(x^3+x^3+y^3 \ge 3x^2y\) dan \(x^3+y^3+y^3 \ge 3xy^2\),

dimana jika dijumlahakan didapatkan \(3x^3+3y^3 \ge 3x^2y+3xy^2 \) => \(xy(x^2y+xy^2) \le xy(x^3+y^3)\)

Dengan demikian, terbukti.

Lalu, tinggal substitusi \(x+y+z=2017\), didapat deh..

Edited by Rizky Maulana
Gak apa2

Share this post


Link to post
Share on other sites
22 minutes ago, Rizky Maulana said:

 

Pertama, akan dibuktikan bahwa

 

(x2+y2+z2)(x3+y3+z3)x4+y4+z4x+y+z(x2+y2+z2)(x3+y3+z3)x4+y4+z4≤x+y+z

 

untuk x,y,zR+x,y,z∈R+ .

Perhatikan bahwa pertidaksamaan tersebut ekuivalen dengan

 

x2y3+x2z3+x3y2+y2z3+x3z2+y3z2xy4+xz4+x4y+yz4+x4z+y4zx2y3+x2z3+x3y2+y2z3+x3z2+y3z2≤xy4+xz4+x4y+yz4+x4z+y4z

 

 

xy(x2y+xy2)+xz(x2z+xz2)+yz(y2z+yz2)xy(x3+y3)+xz(x3+z3)+yz(y3+z3)xy(x2y+xy2)+xz(x2z+xz2)+yz(y2z+yz2)≤xy(x3+y3)+xz(x3+z3)+yz(y3+z3)

 

yg jelas benar menurut AM-GM, yaitu x3+x3+y33x2yx3+x3+y3≥3x2y dan x3+y3+y33xy2x3+y3+y3≥3xy2 ,

dimana jika dijumlahakan didapatkan 3x3+3y33x2y+3xy23x3+3y3≥3x2y+3xy2 => xy(x2y+xy2)xy(x3+y3)xy(x2y+xy2)≤xy(x3+y3)

Dengan demikian, terbukti.

Lalu, tinggal substitusi x+y+z=2017x+y+z=2017 , didapat deh..

Waw mantab penuh dengan variabel :'v

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now


×