Jump to content
Ajakebonawi

Sistem persamaan tiga variabel

Recommended Posts

Untuk x, y dan z bilangan real, tentukanlah semua solusi dari sistem persamaan berikut ini :

 x^2 + y^2 + xy = 19

 x^2 + z^2 + xz = 28

 y^2 + z^2 + yz = 37

Edited by Ajakebonawi

Share this post


Link to post
Share on other sites

Diketahui bahwa $x,y,z \in \mathbb{R}$. Jika $(x,y,z)$ merupakan solusi, maka $(-x, -y, -z)$ juga merupakan solusi.

Diketahui pula

\begin{align*} x^2 + y^2 + xy &=19 ...(1) \\ x^2 + z^2 + xz &=28 ...(2) \\ y^2 + z^2 + yz &= 37 ...(3) \\ \end{align*}

Persamaan $(2)$ dikurangi persamaan $(1)$,

\begin{align*} z^2 - y^2 + xy - xy &=9 \\ (z+y)(z-y) + x(z - y) &=9 \\ \therefore (x+y+z)(z-y) &=9 ...(4) \end{align*}

Persamaan $(3)$ dikurangi persamaan $(1)$,

\begin{align*} z^2 - x^2 + yz - xy &= 18 \\ (z+x)(z-x) + y(z - x) &=18 \\ \therefore (x+y+z)(z - x) &= 18 ...(5) \end{align*}

Persamaan $(5)$ dibagi persamaan $(4)$,

\begin{align*} \frac{z - x}{z - y} &=2 \\ z - x &= 2z- 2y \\ \therefore y &= \frac{x + z}{2} \end{align*}

Subtitusikan.

\begin{align*} (x + y + z)(z - x) &=18 \\ \left ( x + \frac{x+z}{2} + z \right )(z - z) &=18 \\ \frac{3}{2}(x+z)(z - x) &=18 \\ \therefore (z + x)(z - x) &=12 \end{align*}

Edited by Wildan Bagus W

Share this post


Link to post
Share on other sites
20 hours ago, Ajakebonawi said:

Lanjutannya bagaimana?

Hmm kalu menurut saya bisa ditinjau dari faktor $12$.

Jadi, bisa:

$z + x =12$ dan $z-x=1$

$z + x = 4$ dan $z-x=3$

Dst

Share this post


Link to post
Share on other sites
On 3/29/2018 at 6:14 PM, Wildan Bagus W said:

Diketahui bahwa x,y,zRx,y,z∈R . Jika (x,y,z)(x,y,z) merupakan solusi, maka (x,y,z)(−x,−y,−z) juga merupakan solusi.

Diketahui pula

 

x2+y2+xyx2+z2+xzy2+z2+yz=19...(1)=28...(2)=37...(3)x2+y2+xy=19...(1)x2+z2+xz=28...(2)y2+z2+yz=37...(3)

 

Persamaan (2)(2) dikurangi persamaan (1)(1) ,

 

z2y2+xyxy(z+y)(zy)+x(zy)(x+y+z)(zy)=9=9=9...(4)z2−y2+xy−xy=9(z+y)(z−y)+x(z−y)=9∴(x+y+z)(z−y)=9...(4)

 

Persamaan (3)(3) dikurangi persamaan (1)(1) ,

 

z2x2+yzxy(z+x)(zx)+y(zx)(x+y+z)(zx)=18=18=18...(5)z2−x2+yz−xy=18(z+x)(z−x)+y(z−x)=18∴(x+y+z)(z−x)=18...(5)

 

Persamaan (5)(5) dibagi persamaan (4)(4) ,

 

zxzyzxy=2=2z2y=x+z2z−xz−y=2z−x=2z−2y∴y=x+z2

 

Subtitusikan.

 

(x+y+z)(zx)(x+x+z2+z)(zz)32(x+z)(zx)(z+x)(zx)=18=18=18=12(x+y+z)(z−x)=18(x+x+z2+z)(z−z)=1832(x+z)(z−x)=18∴(z+x)(z−x)=12

 

 

Nglanjutin

Sebelumnya kan telah dapat \(z=2y-x\)

Substitusi nilai \(z\) ke persamaan 2 dan 3, didapat

\[x^2+(2y-x)^2+x(2y-x)=28\]

\[x^2+4y^2-4xy+x^2+2xy-x^2=28\]

\[x^2+4y^2-2xy=28 ...(*)\]

dan

\[y^2+(2y-x)^2+y(2y-x)=37\]

\[y^2+4y^2-4xy+x^2+2y^2-xy=37\]

\[7y^2-5xy+x^2=37 (**)\]

Kurangkan persamaan (**) dengan (*), didapat

\[3y^2-3xy=9\]

\[y^2-xy=3\]

\[x=\frac{y^2-3}{y}=y-\frac{3}{y}\]

Selanjutnya, substitusi nilai \(x\) ke persamaan (1), didapat

\[(y-\frac{3}{y})^2+y^2+y^2-3=19\]

\[y^2-6+\frac{9}{y^2}+y^2+y^2-3=19\]

\[3y^2+\frac{9}{y^2}=28\]

\[3y^4+9=28y^2\]

\[(3y^2-1)(y^2-9)=0\]

Disini, nemu nilai \(y\). Nilai \(x\) dan \(z\) tinggal ngikutin..

Tapi, kalau udah nemu, harus dicek dulu..

Btw, maaf, kalau gk bisa ke latex, masih belajar

Edited by Rizky Maulana
Gk apa2

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now


×