Jump to content

Recommended Posts

4. Misal $a,b,c$ adalah bilangan real positif yang memenuhi

   $\begin{align*}  (a+b)(a+c) &= bc + 2 \\  (b+c)(b+a) &= ca + 5 \\  (c+a)(c+b) &= ab + 9\end{align*}$

   Jika $abc = \frac{m}{n}$ untuk $m,n$ bilangan asli yang relatif prima, hitunglah nilai dari $100m+n$.

 

NIMO 11 Problem 4 by Evan Chen.

Share this post


Link to post
Share on other sites


Pertama-tama, kita nomori persamaan yang ada terlebih dahulu.  


 


$(a+b)(a+c) = bc + 2 ...(1)$ 


$(b+c)(b+a) = ca + 5 ...(2)$ 


$(c+a)(c+b) = ab + 9 ...(3)$


 


Kemudian, bongkar masing-masing persamaan.


Persamaan $(1)$, $a^2 + ac + ab + bc = bc + 2 \Leftrightarrow a^2 + ac + ab = 2$.


Persamaan $(2)$, $b^2 + ab + bc + ac = ca + 5 \Leftrightarrow b^2 + ab + bc = 5$.


Persamaan $(3)$, $c^2 + bc + ac + ab = ab + 9 \Leftrightarrow c^2 + bc + ac = 9$.


 


Jumlahkan persamaan $(1), (2),$ dan $(3)$, memberikan $a^2 + ac + ab + b^2 + ab + bc + c^2 + bc + ac = 16 \Leftrightarrow (a+b+c)^2 = 16$.


 


Karena $a,b,c$ adalah bilangan real positif, maka $a+b+c=4$.


Gunakan kondisi $a+b+c=4$ untuk mengubah persamaan $(1), (2),$ dan $(3)$ menjadi


 


$(4-c)(4-b) = bc + 2 ...(1)$ 


$(4-a)(4-c) = ca + 5 ...(2)$ 


$(4-b)(4-a) = ab + 9 ...(3)$


 


Bongkar lagi masing-masing persamaan. Yang kemudian menghasilkan


Untuk persamaan $(1)$, $b+c = \frac{7}{2} ... (4)$.


Untuk persamaan $(2)$, $a+c = \frac{11}{4} ... (5)$.


Untuk persamaan $(3)$, $a+b = \frac{7}{4} ... (6)$.


 


Persamaan $(6)$ dikurang dengan persamaan $(4)$ kemudian jumlahkan dengan persamaan $(5)$, menghasilkan $a = \frac{1}{2}$.


 


Kemudian, kita bisa mendapatkan nilai $b$ dan $c$.


$b = \frac{7}{4} - a = \frac{7}{4} - \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$ dan $c = \frac{11}{4} - a = \frac{11}{4} - \frac{1}{2} = \frac{9}{4}$


 


Sehingga, nilai dari $abc$ adalah $\frac{45}{32}$. Karena $45$ dan $32$ relatif prima, maka $m = 45$ dan $n = 32$.


Jadi, nilai dari $100m + n$ adalah $4532$.



CMIIW


Edited by Zekrom

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×