Jump to content
Sign in to follow this  
donjar

Jumlah dan hasil kali digit-digit

Recommended Posts

Untuk sebuah digit $m$ nyatakan $S(m)$ dan $P(m)$ masing-masing sebagai jumlah dan hasil kali dari digit-digit $m$. Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan asli $n$ pasti ada bilangan-bilangan asli $a_1, a_2, \ldots, a_n$ yang memenuhi:


$$S(a_1)<S(a_2)<\cdots<S(a_n)$$


dan


$$S(a_i)=P(a_{i+1}), i=1, 2, \ldots, n.$$


(Anggap $a_{n+1}=a_1$.)


 


Asian Pacific Mathematics Olympiad 2014, no. 1


Share this post


Link to post
Share on other sites


set $a_1=\sum\limits_{i=0}^{3^k} 3\times10^i $


jelas kalau $P(a_1)=3^{3^k}$ dan $S(a_1)=3^{k+1}$, 


dan for sufficiently large enough $k$, $3^k-(k+1)>n$, kita pilih k tersebut.


jadi bisa dipilih $a_i$ sehingga $P(a_i)=3^{k+i}$ for $1<i\le n$, milihnya $a_m=\sum\limits_{i=0}^{k+m-1} 3\times10^i $


berarti diperoleh $S(a_1)<P(a_2)<P(a_3)<P(a_4)<...<P(a_n)<P(a_1)$.


nah karena kita ingin $S(a_i)=P(a_{i+1})$, dan kini dari nilai yang di set jelas kalau $S(a_i)<P(a_{i+1})$,


kita tambahin $P(a_{i+1})-S(a_i)$ buah digit 1 pada $a_i$, jelas nilai $P(a_i)$ tidak berubah.


kini kita telah memenuhi persyaratan soal.


terbukti bisa di ada bilangan" asli tersbut untuk setiap $n$



Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×