Jump to content
Sign in to follow this  
donjar

Menyinggung lingkaran luar dari tiga garis

Recommended Posts

Lingkaran-lingkaran $\omega$ dan $\Omega$ bertemu di $A$ dan $B$. $M$ adalah titik tengah busur AB di lingkaran $\omega$ (sehingga $M$ berada di dalam $\Omega$). Sebuah tali busur MP di lingkaran $\omega$ bertemu $\Omega$ di $Q$ dengan $Q$ berada di dalam $\omega$. Misalkan $l_P$ garis singgung $\omega$ di $P$ dan $l_Q$ garis singgung $\Omega$ di Q. Tunjukkan bahwa lingkaran luar dari segitiga yang dibentuk garis-garis $l_P, l_Q,$ dan $AB$ menyinggung $\Omega$.


 


Asian Pacific Mathematics Olympiad 2014, no. 5


Share this post


Link to post
Share on other sites

maaf kk kalo jawabannya salah :P tolong dicek ya :)


sori gambarnya cacat ._.


post-132-0-24350300-1396014770_thumb.png


 


oke, misalkan dulu $O_1, O_2$ pusat dari $\omega, \Omega$. misal $C$ perpotongan dari $O_1$ dan $O_2$, $X$ perpotongan $XM$ dan $AB$, $S$ perpotongan $PM$ dan $\Omega$ yang berbeda dengan $Q$, $G$ merupakan perpotongan $ES$ dengan $\Omega$ yang berbeda dengan $S$. kita juga misalkan $\theta=\angle EPM$ dan $\alpha=\angle DQG$, jadi $\alpha=\angle DQG=\angle QSG$. konstruksikan juga $l_G$ yaitu garis singgung $\Omega$ di $G$.


 


klaim 1. $PE=XE$.


bukti. mudah didapat $\angle PO_1M=2\theta$, maka $\angle O_1MP=90^{\circ}-\theta$. karena $\angle MCB=90^{\circ}$, maka dipunyai $\angle PXE=\angle CXM=\theta=\angle XPE$, jadi $PE=XE$.


 


klaim 2. $XE$ menyinggung lingkaran luar $\triangle SXG$ dan $PE$ memotong lingkaran luar $\triangle SPG$.


bukti. dengan kuasa lingkaran, dipunyai $$XE^2=PE^2=EB\times EA=EG\times ES$$


sehingga klaim 2 dipenuhi.


 


klaim 3. $PEGX$ siklis.


bukti. dengan klaim 2, dipunyai $$\begin{align*}\angle EPG=\angle GSP&=\alpha\\&=\angle DXG\\&=\angle EXG\end{align*}$$


seperti yang diharapkan.


 


klaim 4. $QXGD$ siklis.


bukti. dengan klaim 2 juga, dipunyai $$\begin{align*}\angle EXG&=\angle XSG\\&=\angle QSG\\&=\alpha=\angle DQG\end{align*}$$


seperti yang diinginkan.


 


klaim 5. $DEFG$ siklis.


bukti. angle chasing dulu. 


dari klaim 3, $\angle GED=\angle GEX=\angle GPX=\theta - \alpha$. 


Tetapi karena $=\angle FEX=\angle DEF=\angle EPX+\angle EXP=2\theta$, maka $\angle FEG=\angle FEX-\angle XEG=\theta +\alpha$.


di sisi lain, dengan klaim 4, dipunyai $\angle FDG=\angle QXG=\angle QXE+\angle EXG=\theta + \alpha$.


dari angle chasing ini, dipunyai $$\angle FDG=\angle FEG$$


sehingga $DEFG$ siklis.


 


dari klaim 5, sekarang cukup dibuktikan bahwa $l_G$ juga menyinggung lingkaran luar $DEFG$. Perhatikan bahwa $\angle (l_G,QG)=\angle QSG=\alpha$ menurut garis singgung $l_G$ di $\Omega$, juga dipunyai $\angle DGQ=\angle DXQ=\angle EXQ=\theta$ menurut klaim 4.


jadi, dipunyai $$\angle (l_G, DG)=\angle DGQ-\angle (l_G, QG)=\theta-\alpha=\angle DEG$$


jadi $l_G$ menyinggung lingkaran luar $DEFG$ di $G$, seperti yang ingin dibuktikan.


CMIIW


Share this post


Link to post
Share on other sites
 




maaf kk kalo jawabannya salah  :P tolong dicek ya  :)


 


oke, misalkan dulu $O_1, O_2$ pusat dari $\omega, \Omega$. misal $C$ perpotongan dari $O_1$ dan $O_2$, $X$ perpotongan $XM$ dan $AB$, $S$ perpotongan $PM$ dan $\Omega$ yang berbeda dengan $Q$, $G$ merupakan perpotongan $ES$ dengan $\Omega$ yang berbeda dengan $S$. kita juga misalkan $\theta=\angle EPM$ dan $\alpha=\angle DQG$, jadi $\alpha=\angle DQG=\angle QSG$. konstruksikan juga $l_G$ yaitu garis singgung $\Omega$ di $G$.


 


klaim 1. $PE=XE$.


bukti. mudah didapat $\angle PO_1M=2\theta$, maka $\angle O_1MP=90^{\circ}-\theta$. karena $\angle MCB=90^{\circ}$, maka dipunyai $\angle PXE=\angle CXM=\theta=\angle XPE$, jadi $PE=XE$.


 


klaim 2. $XE$ menyinggung lingkaran luar $\triangle SXG$ dan $PE$ memotong lingkaran luar $\triangle SPG$.


bukti. dengan kuasa lingkaran, dipunyai $$XE^2=PE^2=EB\times EA=EG\times ES$$


sehingga klaim 2 dipenuhi.


 


klaim 3. $PEGX$ siklis.


bukti. dengan klaim 2, dipunyai $$\begin{align*}\angle EPG=\angle GSP&=\alpha\\&=\angle DXG\\&=\angle EXG\end{align*}$$


seperti yang diharapkan.


 


klaim 4. $QXGD$ siklis.


bukti. dengan klaim 2 juga, dipunyai $$\begin{align*}\angle EXG&=\angle XSG\\&=\angle QSG\\&=\alpha=\angle DQG\end{align*}$$


seperti yang diinginkan.


 


klaim 5. $DEFG$ siklis.


bukti. angle chasing dulu. 


dari klaim 3, $\angle GED=\angle GEX=\angle GPX=\theta - \alpha$. 


Tetapi karena $=\angle FEX=\angle DEF=\angle EPX+\angle EXP=2\theta$, maka $\angle FEG=\angle FEX-\angle XEG=\theta +\alpha$.


di sisi lain, dengan klaim 4, dipunyai $\angle FDG=\angle QXG=\angle QXE+\angle EXG=\theta + \alpha$.


dari angle chasing ini, dipunyai $$\angle FDG=\angle FEG$$


sehingga $DEFG$ siklis.


 


dari klaim 5, sekarang cukup dibuktikan bahwa $l_G$ juga menyinggung lingkaran luar $DEFG$. Perhatikan bahwa $\angle (l_G,QG)=\angle QSG=\alpha$ menurut garis singgung $l_G$ di $\Omega$, juga dipunyai $\angle DGQ=\angle DXQ=\angle EXQ=\theta$ menurut klaim 4.


jadi, dipunyai $$\angle (l_G, DG)=\angle DGQ-\angle (l_G, QG)=\theta-\alpha=\angle DEG$$


jadi $l_G$ menyinggung lingkaran luar $DEFG$ di $G$, seperti yang ingin dibuktikan.


CMIIW




 


Sudah saya cek kok yang di mathlinks nda salah, harusnya yang disini juga gak salah soalnya jawabannya sama persis cuman ada sesuatu yang diubah dari


http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=3444910&sid=e8a3b2d11bf6bc2f3e6b26dae292063b#p3444910


 


yang diubah hanya notasi titik sih $R\equiv X, S\equiv S, Z\equiv F, Y\equiv E, W\equiv G, X\equiv D,$ 


 


jago sih hahaha :P


Edited by Peter Young

Share this post


Link to post
Share on other sites

 

 

 

Sudah saya cek kok yang di mathlinks nda salah, harusnya yang disini juga gak salah soalnya jawabannya sama persis cuman ada sesuatu yang diubah dari

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=3444910&sid=e8a3b2d11bf6bc2f3e6b26dae292063b#p3444910

 

yang diubah hanya notasi titik sih $R\equiv X, S\equiv S, Z\equiv F, Y\equiv E, W\equiv G, X\equiv D,$ 

 

jago sih hahaha :P

 

ohya ? haha. disitu ada homotety apaan dah  :blink:

edit : salah emot

Edited by timo123

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×