Jump to content
Sign in to follow this  
Prihandoko

Catatan

Recommended Posts

Teorema Vieta

 

Teorema Vieta seringkali dipandang sebelah mata karena diajarkan di bangku sekolah. Namun demikian, pada kasus tertentu, teorema ini cukup powerful. Contoh yang cukup keren adalah Vieta Jumping. Nah, berikut salah satu contoh lainnya dari penggunaan Vieta.

 

Soal. Grafik parabola $y=x^{2}-a$ dan $x=y^{2}-b$ dengan $a>0$ dan $b>0$, berpotongan di empat titik $\left( x_{1},y_{1}\right) , \left(x_{2},y_{2}\right) , \left( x_{3},y_{3}\right) , dan \left(x_{4},y_{4}\right)$ . Nilai $\left( x_{1}+x_{2}\right) \left(x_{1}+x_{3}\right) \left( x_{1}+x_{4}\right)$ adalah …

 

 

 

Solusi Substitusikan persamaan pertama ke dalam persamaan kedua didapat

$ x=\left(x^2 -a \right)^2 -b$

dan setelah disederhanakan didapat

$ x^4 -2ax^2 -x +a^2b=0$

Bisa dilihat bahwa absis titik potong kedua kurva adalah solusi dari persamaan tersebut (mengapa?). Dengan teorema Vieta kita dapatkan $ x_1 +x_2 + x_3 +x_4 = 0$ dan $ x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4 = 1$.

Bergunakah? meski nampak tidak berguna, namun kita jadi sedikit lebih mudah menghitung nilai yang diminta sebab  $ x_1 + x_4 = -(x_2 +x_3)$.

Yang diminta soal:

$ (x_1 + x_2 )(x_1 +x_3) (x_1 + x_4) = - (x_1 + x_2)(x_1 + x_3)(x_2 + x_3)$

Ingatlah bahwa

$ (a+b)(b+c)(c+a) +abc= (a+b+c)(ab+bc+ca)$

Kita bisa otak-atik untuk mendapatkan :

$ -(x_1+x_2)(x_1+x_3)(x_2+x_3)=x_1x_2x_3-(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)$

$ =x_1x_2x_3-(-x_4) (x_1x_2 + x_2x_3 +x_3x_1)$

$ = x_1x_2x_3+(x_1x_2x_4 + x_2x_3x_4 +x_3x_1x_4) = 1$.

Dan secara ajaib kita selesai mendapatkan yang diminta soal, yaitu $ 1$.

 

Referensi:
Pertama kali muncul di blog saya yang lain:

https://bosanmatematika.wordpress.com/2013/06/28/aplikasi-teorema-vieta/

Edited by Prihandoko

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×