Jump to content
Sign in to follow this  
Adri

EGMO 2015 Hari 1 Soal 1.

Recommended Posts

Misalkan $\triangle ABC$ adalah sebuah segitiga lancip, dan $D$ adalah garis tinggi dari titik sudut $C$. Garis bagi dari sudut $\angle ABC$ memotong $CD$ pada $E$ dan bertemu lingkaran luar $\omega$ dari segitiga $ADE$ sekali lagi di $F$. Jika $\angle ADF = 45^{\circ}$, tunjukkan bahwa $CF$ menyinggung $\omega$. 


 


Edited by Adri
  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

Misalkan $G$ perpotongan garis $AF$ dan $BC$. Karena $ADEF$ cyclic dan $\angle ADE = 90^\circ$, maka $\angle AFE = 90^\circ$. Karena $\angle ADF = 45^\circ = \angle EDF$ dan $ADEF$ cyclic, maka $\angle FEA = \angle FAE = 45^\circ$, sehingga $AF=AE$. Kemudian, $\angle ABF = \angle GBF$ dan $\angle AFE = 90^\circ$ mengakibatkan $GF = AF = EF$. Misal $\angle ABF = x$. Dengan angle-chasing, diperoleh $\angle FEC = \angle FGC = 90^\circ - x$. Karena $\angle FEG = \angle FGC = 45^\circ$, maka $\angle CEG = \angle CGE = 45 - x$, diperoleh $CG = CE$, akibatnya segitiga $CGF$ dan $CEF$ kongruen, sehingga diperoleh $\angle CFG = \angle CFE = 45^\circ$. Mudah dicek bahwa berlaku $CF^2 = CE \times CD$, sehingga $CF$ menyinggung lingkaran $\omega$. Terbukti


Edited by erwinekow

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×