Jump to content
Sign in to follow this  
erwinekow

ONMIPA 2015 No 6

Recommended Posts

Misalkan $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ terdiferensial, $ f'(x)>f(x) $ untuk setiap $ x\in\mathbb{R} $ dan $ f(x_0)=0 $ untuk suatu $ x_0\in\mathbb{R} $. Buktikan bahwa $ f(x)>0 $, untuk setiap $ x>x_0 $. Sebagai aplikasi, diberikan $ c>0 $, perlihatkan bahwa persamaan $ ce^x=1+x+\frac{x^2}{2} $ mempunyai tepat satu akar.


  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

First Part

Karena $ {{e}^{{-x}}}>0$ untuk setiap $ x\in \mathbb{R} $ maka

$ f'\left( x \right)-f\left( x \right)>0$

$ f'\left( x \right){{e}^{{-x}}}-f\left( x \right){{e}^{{-x}}}>0$

$ {{\left( {f\left( x \right){{e}^{{-x}}}} \right)}^{'}}>0$

Ini menunjukkan bahwa fungsi $ f\left( x \right){{e}^{{-x}}}$ monoton naik  pada $ \mathbb{R} $, berarti untuk setiap $ x>{{x}_{0}}$ berlaku

$ f\left( x \right){{e}^{{-x}}}>f\left( {{{x}_{0}}} \right){{e}^{{-{{x}_{0}}}}}=0$   $\Rightarrow \,\,\,\,\,f\left( x \right)>0$ (Terbukti)

lebih jauh lagi, dengan alasan yang sama,untuk $ x<{{x}_{0}}$ berlaku

$ f\left( x \right){{e}^{{-x}}}<f\left( {{{x}_{0}}} \right){{e}^{{-{{x}_{0}}}}}=0$  $ \Rightarrow \,\,\,\,\,f\left( x \right)<0$

Jadi dapat disimpulkan bahwa $ f=0$ tepat hanya memiliki satu akar yaitu pada $ x={{x}_{0}}$.

Edited by Paryadi

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×