raja.oktovin

KTO I: Juni 2015 Bagian A

Recommended Posts

ATURAN: Harap satu post untuk satu nomor. Jawabnya pakai cara... terus di-spoiler. Feel free buat yang ingin bertanya-tanya atau cuman nyoba doang :rofl:


  1. Pada sebuah papan catur $8 \times 8$, setiap barisnya diberi label bilangan 1 sampai 8 dan setiap kolomnya diberi label huruf $A$ sampai $H$. Hitunglah banyaknya kotak pada papan catur yang berada pada baris berlabel bilangan prima dan kolom berlabel huruf vokal.

  2. Tentukan semua bilangan bulat $n$ sehingga $\frac{n+3}{n-1}$ merupakan bilangan bulat.

  3. Sebanyak $2015$ koin dibagi menjadi $10$ tumpukan. Tentukan banyak koin minimum pada tumpukan yang paling besar.

  4. Diketahui bilangan bulat positif $n$ merupakan hasil jumlah 2015 bilangan bulat berurutan. Tentukan nilai terkecil yang mungkin untuk $n$.

  5.  Diberikan segi-$8$ beraturan $ABCDEFH$. Tentukan besar sudut $\angle BCH$.

  6.  Diberikan sebuah segitiga dengan panjang sisi $BC=20$, $CA=24$, dan $AB=12$. Titik $D$ pada segmen $BC$ dengan $BD=5$. Lingkaran luar dari segitiga $ABD$ memotong $CA$ di $E$. Hitung panjang $DE$.

  7.  Diberikan dua buah dadu. Dadu pertama berbentuk kubus dengan sisi berangka $1$ hingga $6$ dan peluang muncul setiap sisi adalah sama. Dadu kedua berbentuk limas dengan sisi berangka $1$ hingga $4$ dan peluang muncul setiap sisi adalah sama. Kedua buah dadu dilemparkan bersamaan. Berapakah peluang jumlah bilangan yang muncul genap?

  8. Misalkan $a>b>c>d$ bilangan real sehingga $a+b+c+d=1$ dan $ab+bc+cd+da=-1$. Tentukan nilai $a-b+c-d$.

  9.  Pada Sae Games 2015, setiap keping emas bernilai 4 poin, perak bernilai 2 poin dan perunggu bernilai 1 poin. Negara Anggrek mendapatkan poin 420. Total medali yang diraih negara Anggrek adalah 150. Misalkan $N$ menyatakan banyaknya medali emas yang mungkin diperoleh negara Anggrek jika diketahui informasi tersebut. Tentukan banyaknya nilai yang mungkin untuk $N$.

  10. Diberikan jajar genjang $ABCD$ yang luasnya 4 satuan. Misalkan $E$ titik tengah $CD$ dan $F$ titik tengah $AB$. Garis $AE$ memotong garis $DF$ di $K$. Garis $AC$ memotong garis $DF$ dan $BE$ berturut-turut di $L$ dan $M$. Hitunglah luas $EKLM$.

  11. Misalkan $x_1,x_2,\dots,x_{2015}$ menyatakan akar-akar dari persamaan $ x^{2015}+2x^{2014}+3x^{2013}+\dots+2015x+2016=0$. Tentukan nilai $\sum_{k=0}^{2015}\sum_{n=1}^{2015} (x_n)^k.$

  12.  Diberikan segilima siklis $ABCDE$ yang kelilingnya 36 satuan. Segitiga $ABD$ merupakan segitiga sama sisi dengan panjang sisi 10 satuan. Diketahui $CE=8$ satuan. Jika $F$ merupakan titik potong $AC$ dan $BE$, hitunglah panjang $FA+FB$.

  13.  Tentukan semua bilangan prima $p$ sedemikian sehingga terdapat bilangan bulat $n$ yang memenuhi $n(n-1)(n-2)(n-3)-1678\le p^2\le n(n-1)(n-2)(n-3)-1656.$

  14. Empat kakak beradik (kakak pria dan adik wanita) dengan nama Andi, Bayu, Candika, Danang, Ellena, Fanny, Gina, Hani mengikuti acara kencan buta. Diketahui bahwa: (a) Ellena berkencan dengan kakaknya Gina (b) Hani berkencan dengan kakaknya Ellena © Fanny berkencan dengan Andi (d) Bayu berkencan dengan adiknya Candika (e) Candika berkencan dengan adiknya Andi.    Sebut teman kencan Gina sebagai $X$. Tentukan adik dari $X$.

  15.  Diketahui $a,b\in\mathbb{R}$ yang memenuhi $a+\frac{1}{a+2015}=b-4030+\frac{1}{b-2015}$       dan $|a-b|>5000$. Tentukan nilai dari $\frac{ab}{2015}-a+b$. (Notasi $\mathbb{R}$ menyatakan himpunan semua bilangan real.)

  16. Diberikan sebuah segitiga dengan panjang sisi $BC=9$, $CA=10$, dan $AB=11$. Misalkan titik $I$ adalah pusat lingkaran dalam dari segitiga $ABC$. Misalkan pula $I_B$ adalah pusat lingkaran excircle terhadap $B$ yang menyinggung segmen $CA$ dan sinar garis $AB$ dan $BC$. Hitunglah panjang $II_B$.

  17. Suatu tumpukan kartu terdiri dari $2016$ kartu yang dinomori $1,2,\dots,2016$. Tumpuk-an kartu ini dikocok sehingga urutan awal kartu-kartu tidak diketahui. Sebuah permainan dimainkan yang melakukan dua langkah berikut bergantian hingga semua kartu habis: (1) kartu paling atas dipindahkan ke paling bawah tumpukan, (2) kartu paling atas dikeluarkan dari tumpukan. Setelah semua kartu keluar dari tumpukan, ternyata urutan kartu yang dikeluarkan adalah $1,2,\dots,2016$. Tentukan kartu mana yang berada di atas tumpukan pada urutan awal kartu tersebut.

  18. Diberikan sebuah fungsi $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}$ dengan $f(1)=\frac{3}{2}$ dan $f(x+y)=\left(1+\frac{y}{x+1}\right)f(x)+\left(1+\frac{x}{y+1}\right)f(y)+x^2y+xy+xy^2$.  Tentukan nilai $f(20)$. (Notasi $\mathbb{N}$ menyatakan himpunan semua bilangan bulat positif dan $\mathbb{Q}$ menyatakan himpunan semua bilangan rasional.)

  19. Misalkan $(a,b,c)$ merupakan pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan $        a^2+2b^2+4c^2=k(a+b+c)$.  Carilah nilai $k$ terkecil sehingga persamaan tersebut memiliki minimal dua solusi.

  20. Misalkan $a_i$ adalah koefisien dari $x^i$ pada penjabaran $(1+3x)^{2015}$ untuk setiap bilangan bulat $i$ dengan $0 \leq i \leq 2015$. Carilah banyak nilai $k$ di mana $0 \leq k \leq 2014$ sedemikian sehingga $a_k < a_{k+1}$.

  21. Misalkan $x,y,z$ bilangan real yang memenuhi $x+y+z=0$ dan $x^2+y^2+z^2=6$. Carilah nilai maksimum dari $|(x-y)(y-z)(z-x)|$.

Edited by Kontes Terbuka
  • Upvote 2

Share this post


Link to post
Share on other sites

Cara spoiler gimana ya kakak?

[spoiler]hai :D[/spoiler]

hai :D

Share this post


Link to post
Share on other sites

Ayo lah kok gak ada yg ngepost, kalo gitu saya beri stimulus dulu :D

1. Ini sama saja dengan menghitung banyak perkalian antar anggota himpunan {2,3,5,7} dan {A,E} yang jelas banyaknya adalah 8.

EH TGG KOK AKU NULIS 16 DI LEMBAR JWBAN SIH NOOOOOOOO

  • Upvote 2

Share this post


Link to post
Share on other sites

Oke saya mau jadi pertama dan terakhir :D

nomer 21

Karena sifat simetrik, kita boleh mengasumsikan $x \geq y \geq z$, maka kita ingin memaksimalkan $ |(x-y)(y-z)(z-x)| = (x-y)(y-z)(x-z)$.

Dengan AM-GM :

\[(x-y)(y-z)(x-z) \leq (\frac{x-y+y-z}{2})^2 (x-z) = \frac{(x-z)^3}{4} \]

Kesamaan terjadi bila $x-y = y-z \longrightarrow 2y = x+z$. Artinya, $y=0$ dan $x+z = 0$ $x^2+z^2 = 6$ ini terjadi bila $x = \sqrt{3}, z = -\sqrt{3}$.

Nanti kalau $x,y,z$ disubs, ketemu nilainya $6\sqrt{3}$.

CMIIW

Edited by Halo
  • Upvote 2

Share this post


Link to post
Share on other sites

Nebeng satu nomor *mumpung bisa ngerjain*

8)

asumsikan bahwa $a+c=x$ dan $b+d=y$,


kita punya $a>b>c>d>0$ dan $x+y=1$ serta $xy=-1$
kuadratkan persamaan $x+y=1$ didapat $x^2 + y^2 + 2xy = 1$
sehingga didapat pula $$x^2 + y^2 = 1 - 2xy = 3$$
kurangkan kedua ruas dengan $2xy$ diperoleh bentuk cantik sehingga bisa ditarik kesimpulan sendiri yang menuju bahwa $x-y= \sqrt{5}$ yang mengakibatkan $$(a+c)-(b+d)= \sqrt{5}$$



#CMIIW

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

Oke saya mau jadi pertama dan terakhir :D

nomer 21

Karena sifat simetrik, kita boleh mengasumsikan $x \geq y \geq z$, maka kita ingin memaksimalkan $ |(x-y)(y-z)(z-x)| = (x-y)(y-z)(x-z)$.

Dengan AM-GM :

\[(x-y)(y-z)(x-z) \leq (\frac{x-y+y-z}{2})^2 (x-z) \frac{(x-z)^3}{4} \]

Kesamaan terjadi bila $x-y = y-z \longrightarrow 2y = x+z$. Artinya, $y=0$ dan $x+z = 0$ $x^2+z^2 = 6$ ini terjadi bila $x = \sqrt{3}, z = -\sqrt{3}$.

Nanti kalau $x,y,z$ disubs, ketemu nilainya $6\sqrt{3}$.

CMIIW

bukanya begini ya kak

 

\[\sqrt[3]{((x-y)(y-z)(x-z))^2} \leq \frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2}{3}\]

\[\sqrt[3]{((x-y)(y-z)(x-z))^2} \leq \frac{2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz)}{3}\]

karena  $6 + 2(xy+yz+xz) = 0$

maka $ 6 = -2(xy+yz+xz)$ , subtitusi ke pertidaksamaanya :

\[\sqrt[3]{((x-y)(y-z)(x-z))^2} \leq \frac{2(6)+6}{3}\]

\[\sqrt[3]{((x-y)(y-z)(x-z))^2} \leq \frac{18}{3}\]

\[\sqrt[3]{((x-y)(y-z)(x-z))^2} \leq 6\] 

\[((x-y)(y-z)(x-z))^2 \leq 6^3\]

\[(x-y)(y-z)(x-z) \leq\sqrt{216}\]

\[(x-y)(y-z)(x-z) \leq 6\sqrt{6}\]

 

CMIIW

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

bukanya begini ya kak

\[\sqrt[3]{((x-y)(y-z)(x-z))^2} \leq \frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2}{3}\]

\[\sqrt[3]{((x-y)(y-z)(x-z))^2} \leq \frac{2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz)}{3}\]

karena $6 + 2(xy+yz+xz) = 0$

maka $ 6 = -2(xy+yz+xz)$ , subtitusi ke pertidaksamaanya :

\[\sqrt[3]{((x-y)(y-z)(x-z))^2} \leq \frac{2(6)+6}{3}\]

\[\sqrt[3]{((x-y)(y-z)(x-z))^2} \leq \frac{18}{3}\]

\[\sqrt[3]{((x-y)(y-z)(x-z))^2} \leq 6\]

\[((x-y)(y-z)(x-z))^2 \leq 6^3\]

\[(x-y)(y-z)(x-z) \leq\sqrt{216}\]

\[(x-y)(y-z)(x-z) \leq 6\sqrt{6}\]

CMIIW

Hmmm, kalau anda menggunakan AM-GM seperti itu nanti kesamaannya terjadi kapan? Kalau ada $x,y,z$ yang mememuhi mamvus gua :v

Edited by Halo
  • Upvote 2

Share this post


Link to post
Share on other sites

Mumpung No.11 belum ada yg jawab



kita akan mencari nilai dari


\[ \sum_{k=0}^{2015} (x_1^k+x_2^k+...+x_{2015}^k) \]


\[=1+1+...+1+x_1+x_2+...+x_{2015}+x_1^2+x_2^2+...+x_{2015}^2+...+x_1^{2015}+x_2^{2015}+...+x_{2015}^{2015} \]


\[=1+x_1+x_1^2+...+x_1^{2015}+1+x_2+x_2^2+...+x_2^{2015}+...+1+x_{2015}+x_{2015}^2+...+x_{2015}^{2015} \]


sekarang perhatikan persamaan ini :


\[x^{2015}+2x^{2014}+...+2015x+2016 = 0    ...(1)\], kalikan persaman tersebut dengan $x$


\[x^{2016}+2x^{2015}+...+2015x^2+2016x = 0    ...(2)\]


persamaan (2) - persamaan (1) kita akan dapatkan :


\[x^{2016}+x^{2015}+x^{2014}+...+x^2+x-2016 = 0 \]


\[x^{2016}+x^{2015}+x^{2014}+...+x^2+x+1 = 2017 \]


\[\frac{x^{2017}-1}{x-1} = 2017 \]


\[x^{2017}-1 = 2017x-2017 \]


\[x(x^{2016}-2017) = -2016 \]


\[x^{2016} = 2017 - \frac{2016}{x} \]


\[x^{2015}+x^{2014}+....+x^2+x+1 = 2017-x^{2016} \]


persamaan awal kita subtitusikan menjadi :


\[= 2017-x_1^{2016}+2017-x_2^{2016}+...+2017-x_{2015}^{2016} \]


\[= 2017 \times 2015 - (x_1^{2016}+x_2^{2016}+...+x_{2015}^{2016}) \]


lalu subtitusi $x^{2016}$ dari $x^{2016} = 2017 - \frac{2016}{x}$


\[ = 2017 \times 2015 - (2017 \times 2015 - 2016(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_{2015}})) \]


\[ = 2016(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_{2015}}) \]


\[ = 2016(\frac{x_2x_3x_4...x_{2015}+...+x_1x_2+x_3+...+x_{2014}}{x_1x_2x_3...x_{2015}}) \]


berdasarkan dalil veita kita akan dapatkan


\[ x_2x_3x_4...x_{2015}+...+x_1x_2+x_3+...+x_{2014} = 2015 \]


dan


\[x_1x_2x_3...x_{2015} = -2016 \]


maka hasil akhir adalah  $ 2016 \times -(\frac{2015}{2016}) = -2015 $


CMIIW



 


Share this post


Link to post
Share on other sites

Untuk No.15    :wondering:


kita akan mencari nilai dari :
$$\frac{ab}{2015}-a+b = \frac{ab-2015(a-b)}{2015} $$
perhatikan persamaan berikut :
\begin{align}
a+\frac{1}{a+2015} & = b-4030+\frac{1}{b-2015} \\
\\
a+2015+\frac{1}{a+2015} & = b-2015+\frac{1}{b-2015}
\end{align}
untuk lebih memudahkan kita misalkan $a+2015 = x$ lalu $b-2015 = y$, subtitusi pada persamaan :
\begin{align}
x+\frac{1}{x} & = y+\frac{1}{y} \\
\\
x-y & = \frac{1}{y} - \frac{1}{x} \\
\\
x-y & = \frac{x-y}{xy}
\end{align}
bagi kedua persamaan dengan $x-y$, dengan ketentuan $x-y \neq 0 $
disini haruslah dibuktikan dulu $x-y \neq 0$
perhatikan bahwa :
$ x-y=a-b+4030 $ kita tahu bahwa $\mid a-b\mid > 5000$ yg berarti $a-b>5000$ atau $a-b<-5000$
saat $a-b>5000$ maka $ x-y > 8030 $, disini jelas $x-y \neq 0$
saat $a-b<-5000$ maka $ x-y < -70 $, disini jelas juga bahwa $x-y \neq 0$
Maka terbukti bahwa $x-y \neq 0$
\begin{align}
1 & = \frac{1}{xy} \\
\\
xy & = 1 \\
\\
(a+2015)(b-2015) &= 1 \\
\\
ab-2015(a-b)-2015^2 & = 1 \\
\\
ab-2015(a-b) & = 1+2015^2
\end{align}
disini kita subtitusi ke pertanyaan, maka :
\begin{align}
& = \frac{ab-2015(a-b)}{2015} \\
\\
& = \frac{1+2015^2}{2015} \\
\\
& = 2015 +\frac{1}{2015} 
\end{align}
Maka hasil akhir adalah $2015 +\frac{1}{2015}$


CMIIW

Edited by mhasan01
  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

hint untuk no.18   



subtitusi $ x = y $ sehingga fungsi menjadi


\[ f(2x) = 2f(x)\bigg(1+\frac{x}{x+1}\bigg)+2x^3+x^2 \]


nanti tinggal cari nilai $f(4)$ dan $f(16)$ dan selanjutnya


subtitusi $ x = 4 $ lalu $ y = 16 $ pada persamaan



CMIIW


  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

 

bukanya begini ya kak

\[\sqrt[3]{((x-y)(y-z)(x-z))^2} \leq \frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2}{3}\]

\[\sqrt[3]{((x-y)(y-z)(x-z))^2} \leq \frac{2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz)}{3}\]

karena $6 + 2(xy+yz+xz) = 0$

maka $ 6 = -2(xy+yz+xz)$ , subtitusi ke pertidaksamaanya :

\[\sqrt[3]{((x-y)(y-z)(x-z))^2} \leq \frac{2(6)+6}{3}\]

\[\sqrt[3]{((x-y)(y-z)(x-z))^2} \leq \frac{18}{3}\]

\[\sqrt[3]{((x-y)(y-z)(x-z))^2} \leq 6\]

\[((x-y)(y-z)(x-z))^2 \leq 6^3\]

\[(x-y)(y-z)(x-z) \leq\sqrt{216}\]

\[(x-y)(y-z)(x-z) \leq 6\sqrt{6}\]

CMIIW

 

Hmmm, kalau anda menggunakan AM-GM seperti itu nanti kesamaannya terjadi kapan? Kalau ada $x,y,z$ yang mememuhi mamvus gua :v

 

kesamaan terjadi kalo $|x-y|=|y-z|=|z-x|$. Dengan dianalog $x\geq y\geq z$, ntar dapetnya $x-y=y-z=x-z$ dan... $x=y=z$. Dan dari persyaratan pertama $x=y=z=0$, tapi $0\neq -3$....

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

\[x-y = \frac{x-y}{xy} \]

\[1 = \frac{1}{xy} \]

\[xy = 1 \]

Kalau di esai, kalau nulisnya ini doang nilainya bisa jatuh parah. Kenapa $x-y$-nya hilang? Harus ditulis alasannya.

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

No. 2 


misalkan $ \frac{n+3}{n-1} = k $ untuk suatu $ k $ bilangan bulat
$ \frac{n-1+4}{n-1} = k $
$ 1 + \frac{4}{n-1} =k $
disini haruslah $ n-1 \mid 4 $ dimana $ n-1 \leq 4 $
maka $ n-1 $ yg memenuhi adalah $\pm4,\pm2,\pm1 $

$ n-1 = 4 $ maka $ n = 5 $

$ n-1 = 2 $ maka $ n = 3 $

$ n-1 = 1 $ maka $ n = 2 $

$ n-1 = -1 $ maka $ n = 0 $

$ n-1 = -2 $ maka $ n = -1 $

$ n-1 = -4 $ maka $ n = -3 $

maka $ n = \{-3,-1,0,2,3,5\} $

CMIIW

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

\[x-y = \frac{x-y}{xy} \]

\[1 = \frac{1}{xy} \]

\[xy = 1 \]

Kalau di esai, kalau nulisnya ini doang nilainya bisa jatuh parah. Kenapa $x-y$-nya hilang? Harus ditulis alasannya.

Makasih kak koreksinya   :surprised:  sudah di edit tolong koreksi lagi ya kalau masih salah terimakasih    :wink: Edited by mhasan01

Share this post


Link to post
Share on other sites

Diborong semua sama Hasan :v
ini yang ada $p^2$ nya

tambahkan 1678 ke ketiga ruas didapat


$n(n-1)(n-2)(n-3) \leq p^2 + 1678 \leq n(n-1)(n-2)(n-3) + 22$

Karena perkalian 4 bilangan bulat berurutan, maka $n(n-1)(n-2)(n-3)$ habis dibagi 4! = 24.
Kita juga tahu bahwa $p^2$ jika dibagi 24 akan bersisa 1 jika $p$ prima yang lebih besar dari 3 (seharusnya ini wellknown, tapi kalo diminta buktikan, akan saya coba).
Kita buktikan bahwa untuk semua prima $p > 3$ tidak memenuhi bentuk di atas

Tinjau keterbagian dengan 24.
Ruas kiri jelas habis dibagi 24, sehingga kita bisa nyatakan $n(n-1)(n-2)(n-3) = 24k$ untuk suatu bilangan bulat $k$
Ruas kanan jelas pula berbentuk $24k + 22$
Sekarang perhatikan ruas tengah.
$p^2$ bersisa 1 jika dibagi 24 sehingga ruas tengah bersisa $1 + 1678 (mod 4) = 1 + 22 = 23$
Tapi ini kontradiksi, karena tidak mungkin ada bilangan yang bersisa 23 di antara bilangan2 bulat berbentuk $24k, 24k+1, 24k+2, ... , 24k + 22$.

Jadi tidak ada p > 3 yg memenuhi.

Tinggal dicek untuk p=2 dan 3
Untuk $p = 2$, maka ruas tengah bernilai 1682. Maka $n$ haruslah lebih kecil dari 10 supaya tidak melebihi 1682. $n = 8$ memenuhi.
Untuk $p = 3$, ruas tengah bernilai 1687.
$n = 8$ juga memenuhi.
Jadi semua nilai $p$ yang memenuhi bentuk di atas adalah $p = 2$ dan $p = 3$

Sebenarnya hintnya ada di $n(n-1)(n-2)(n-3)$ dan $p^2$ nya
Edited 5x

Mohon koreksi :)

Edited by RimbaErlangga
  • Upvote 3

Share this post


Link to post
Share on other sites

Diborong semua sama Hasan :v

ini yang ada $p^2$ nya

tambahkan 1678 ke ketiga ruas didapat

$n(n-1)(n-2)(n-3) \leq p^2 + 1678 \leq n(n-1)(n-2)(n-3) + 22$

Karena perkalian 4 bilangan bulat berurutan, maka $n(n-1)(n-2)(n-3)$ habis dibagi 4! = 24.

Kita juga tahu bahwa $p^2$ jika dibagi 24 akan bersisa 1 jika $p$ prima yang lebih besar dari 3 (seharusnya ini wellknown, tapi kalo diminta buktikan, akan saya coba).

Kita buktikan bahwa untuk semua prima $p > 3$ tidak memenuhi bentuk di atas

Tinjau keterbagian dengan 24.

Ruas kiri jelas berbentuk $24k$ untuk suatu bilangan bulat $k$.

Ruas kanan jelas pula berbentuk $24k + 22$ karena jaraknya tidak sampai 24 bilangan, maka hasil bagi ruas kanan jika dibagi 24 akan sama dengan hasil bagi ruas kiri dgn 24, yaitu sama2 $k$

Sekarang perhatikan ruas tengah

$p^2$ bersisa 1 jika dibagi 24 sehingga ruas tengah jelas berbentuk 24k + 22 + 1 = 24k + 23

Tapi ini kontradiksi, karena tidak mungkin $24k \leq 24k + 23 \leq 24k + 22$. Jadi tidak ada p > 3 yg memenuhi.

Tinggal dicek untuk p=2 dan 3, dan ternyata memang ada yg memenuhi. Jadi nilai p yg memenuhi adalah p = 2 dan p = 3.

Sebenarnya hintnya ada di $n(n-1)(n-2)(n-3)$ dan $p^2$ nya

(capek 4x ngedit pake hape :v )

Mohon koreksi :)

Ya, mungkin kalau ada waktu bisa dikasih tau berapa nilai $n$ yang memenuhi untuk $p=2$ dan $p=3$. :)

  • Upvote 2

Share this post


Link to post
Share on other sites

Untuk no.7   :smirk:



misalkan $a$ dan $b$ bilangan bulat dan $c$ bilangan bulat genap maka saat $ a + b = c $, ada $2$ kemungkinan untuk $a$ dan $b$ yaitu saat $a$ dan $b$ genap atau saat $a$ dan $b$ ganjil, maka dari itu untuk menjawab soal kita bagi $2$ kasus


Kasus I


Pada kasus ini kita cari banyak kemungkinan jumlah mata dadu pertama dengan kedua genap dengan mencari


banyaknya bilangan genap pada dadu pertama $\times$ banyaknya bilangan genap pada dadu kedua


bilangan genap pada dadu pertama $ = \{2,4,6\} \rightarrow $ disini banyaknya ada $3$


bilangan genap pada dadu kedua $ = \{2,4\} \rightarrow $ disini banyaknya ada $2$


Maka banyak kemungkinan adalah $3 \times 2 = 6$


 


Kasus II


Pada kasus ini kita cari banyak kemungkinan jumlah mata dadu pertama dan kedua genap dengan mencari


banyaknya bilangan ganjil pada dadu pertama $\times$ banyaknya bilangan ganjil pada dadu kedua


bilangan ganjil pada dadu pertama $ = \{2,4,6\} \rightarrow $ disini banyaknya ada $3$ 


bilangan ganjil pada dadu kedua $ = \{2,4\} \rightarrow $ disini banyaknya ada $2$ 


Maka banyak kemungkinan adalah $3 \times 2 = 6$


 


Maka total kemungkinan jumlah mata dadu pertama dan kedua genap adalah $ = 6+6 = 12$


Sedangkan seluruh kemungkinan adalah :


banyaknya angka pada dadu pertama $\times$ banyaknya angka pada dadu kedua yaitu $6 \times 4 = 24$


 


Maka peluangnya adalah $\frac{12}{24} = \frac{1}{2} $



CMIIW (maaf ngak simple :v)


Share this post


Link to post
Share on other sites

Untuk no.20    :drunk:


kita dapat mencari nilai koefisien$(a_i)$ dari  $x^i$ pada penjabaran $(3x+1)^{2015}$ dengan binomial newton, nanti didapat :
\begin{align}
a_i & = \binom{2015}{i}3^i
\end{align}
lalu kita cari nilai $k$ dimana $ 0 \leq k \leq 2014 $ sehingga $a_k < a_{k+1} $
\begin{align}
a_k & < a_{k+1} \\
\\
\binom{2015}{k}3^k & < \binom{2015}{k+1}3^{k+1} \\
\\
\frac{2015!}{k!(2015-k)!}\times3^k & < \frac{2015!}{(k+1)!(2015-(k+1))!}\times3\times3^k \\
\\
\frac{1}{k!(2015-k)(2014-k)!} & < \frac{1}{(k+1)k!(2014-k)!} \times3 \\
\\
\frac{1}{2015-k} & < \frac{1}{k+1} \times 3 \\
\\
k+1 & < (2015-k)3 \\
\\
k+1 & < 6045 - 3k \\
\\
4k & < 6044 \\
\\
k & <1511
\end{align}
karena $k$ bilangan bulat, dari sini kita dapat bahwa $k = \{0,1,2,3,...,1510\} $ dengan begitu banyaknya $k$ yg memenuhi adalah $1511$


CMIIW

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

Untuk no.4     :sleepy:


misalkan $a$ adalah bilangan pertama pada penjumlahan $2015$ bilangan berurutan tersebut maka :
\begin{align}
a+a+1+a+2+a+3+...+a+2014 & = n \\
\\
2015a+(1+2+3+...+2014) & = n \\
\\
2015a+\frac{1}{2}\times2015\times2014 & = n \\
\\
2015a+2015\times1007 & = n \\
\\
2015(a+1007) & = n
\end{align}
disini karena $n$ bilangan bulat positif terkecil yg memenuhi maka jelas bahwa $a+1007 \geq 1$ untuk mengambil $n$ terkecil kita perlu mengambil $a$ terkecil, karena $a \geq -1006 $, maka nilai $a$ terkecil adalah $-1006$ dengan demikian $n$ terkecil yang memenuhi adalah $2015$

CMIIW

Share this post


Link to post
Share on other sites

Untuk no.9    :wondering:


misalkan untuk  emas $= a $, perak $= b$, dan perunggu $= c $, maka berdasarkan soal kita akan dapatkan bahwa :
\begin{align}
4a+2b+c & = 420  ...(1) \\
a+b+c & = 150  ...(2) \\
(1)-(2) \rightarrow 3a+b & = 270\\ 
\end{align}
perhatikan karena ruas kanan habis dibagi $3$ maka haruslah ruas kiri pun habis dibagi $3$, dengan begitu kita misalkan $b = 3k$, untuk $k$, suatu bilangan cacah
\begin{align}
3a+3k & = 270 \\
a+k & = 90 \implies a \leq 90
\end{align}
perhatikan pula :
$$(1)-2(2) \implies 2a-c = 120 \implies 2a \leq 120 \implies a \leq 60$$
maka $ a = \{0,1,2,...,59,60\}\rightarrow $ ada sebanyak $61 = N$


CMIIW

Edited by mhasan01

Share this post


Link to post
Share on other sites

No.3   


Jika nilai terkecil pada tumpukan terbesar adalah $\lfloor \frac{2015}{10} \rfloor = 21 $, maka banyak total koin tidak akan lebih dari $10\lfloor \frac{2015}{10}\rfloor = 2010$ tetapi karena banyaknya $2015$ maka ini kontradiksi, sehingga yg mungkin untuk nilai terkecil pada tumpukan terbesar adalah $202$, kita tunjukan bahwa mungkin saat nilai pada tumpukan terbesar adalah $202$, perhatikan bahwa :
\begin{align}
201\times10+5 = 2015 \rightarrow 201+201+201+\cdots+201+201+1+1+1+1+1 & = 2015 \\
202+202+202+202+202+201+201+201+201++201 & = 2015
\end{align}
terbukti bahwa $202$ memenuhi sehingga nilai terkecil yang memenuhi pada tumpukan terbesar adalah $202$


CMIIW

Edited by mhasan01

Share this post


Link to post
Share on other sites

No.3 (agak ngasal)

misalkan bilangan-bilanganya $x_1,x_2,x_3,...,x_{10}$ maka :

\begin{align}

x_1+x_2+x_3+...+x_{10} & = 2015

\end{align}

perhatikan bahwa $\lfloor \frac{2015}{10} \rfloor = 201$ , agar mendapatkan nilai terkecil haruslah diantara $x_1,x_2,x_3,...,x_{10}$ ada yg $201$, dan nilai terbesar akan minimum saat nilai itu mendekati $201$ maka nilai terbesar yg memenuhi adalah $202$, $(202\times5+201\times5 = 2015)$

CMIIW (maaf kalau ngak jelas :v)

 Lebih tepatnya begini: Jika nilai terkecil pada tumpukan terbesar adalah $\lfloor \frac{2015}{10}\rfloor$, maka banyak total koin tidak lebih dari $10 \lfloor \frac{2015}{10}\rfloor=2010$ (kontradiksi). Berikutnya tinggal ditunjukkan bahwa mungkin untuk memiliki pengaturan yang tumpukan terbesarnya hanya mengandung $202$ koin.

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now