raja.oktovin

KTO I: Juni 2015 Bagian A

Recommended Posts

 

No.3 (agak ngasal)

misalkan bilangan-bilanganya $x_1,x_2,x_3,...,x_{10}$ maka :

\begin{align}

x_1+x_2+x_3+...+x_{10} & = 2015

\end{align}

perhatikan bahwa $\lfloor \frac{2015}{10} \rfloor = 201$ , agar mendapatkan nilai terkecil haruslah diantara $x_1,x_2,x_3,...,x_{10}$ ada yg $201$, dan nilai terbesar akan minimum saat nilai itu mendekati $201$ maka nilai terbesar yg memenuhi adalah $202$, $(202\times5+201\times5 = 2015)$

CMIIW (maaf kalau ngak jelas :v)

 Lebih tepatnya begini: Jika nilai terkecil pada tumpukan terbesar adalah $\lfloor \frac{2015}{10}\rfloor$, maka banyak total koin tidak lebih dari $10 \lfloor \frac{2015}{10}\rfloor=2010$ (kontradiksi). Berikutnya tinggal ditunjukkan bahwa mungkin untuk memiliki pengaturan yang tumpukan terbesarnya hanya mengandung $202$ koin.

 

terima kasih pak koreksinya tolong dicek lagi ya kalau masih salah    :rofl:  :rofl:

Share this post


Link to post
Share on other sites

Untuk no.9    :wondering:

misalkan untuk  emas $= a $, perak $= b$, dan perunggu $= c $, maka berdasarkan soal kita akan dapatkan bahwa :

\begin{align}

4a+2b+c & = 420  ...(1) \\

a+b+c & = 150  ...(2) \\

(1)-(2) \rightarrow 3a+b & = 270\\ 

\end{align}

perhatikan karena ruas kanan habis dibagi $3$ maka haruslah ruas kiri pun habis dibagi $3$, dengan begitu kita misalkan $b = 3k$, untuk $k$, suatu bilangan cacah

\begin{align}

3a+3k & = 270 \\

a+k & = 90

\end{align}

disini $0 \leq a,k \leq 90$, maka $a = \{0,1,2,3,...,90\}$ disini banyak kemungkinan untuk $a$ ada sebanyak $91 = N $

CMIIW

$(1) - 2(2) \implies 2a-c=120 \implies 2a\geq 120 \implies a\geq60$

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

 

Untuk no.9    :wondering:

misalkan untuk  emas $= a $, perak $= b$, dan perunggu $= c $, maka berdasarkan soal kita akan dapatkan bahwa :

\begin{align}

4a+2b+c & = 420  ...(1) \\

a+b+c & = 150  ...(2) \\

(1)-(2) \rightarrow 3a+b & = 270\\ 

\end{align}

perhatikan karena ruas kanan habis dibagi $3$ maka haruslah ruas kiri pun habis dibagi $3$, dengan begitu kita misalkan $b = 3k$, untuk $k$, suatu bilangan cacah

\begin{align}

3a+3k & = 270 \\

a+k & = 90

\end{align}

disini $0 \leq a,k \leq 90$, maka $a = \{0,1,2,3,...,90\}$ disini banyak kemungkinan untuk $a$ ada sebanyak $91 = N $

CMIIW

$(1) - 2(2) \implies 2a-c=120 \implies 2a\geq 120 \implies a\geq60$

 

oh iya :v pantes aja agak aneh waktu jawab ... thanks 

Share this post


Link to post
Share on other sites

Saya ingin bertanya untik nomor 9, bukankah jumlah masing-masing medali minimal 0? Beberapa kali disebutkan di forum ini bahwa mungkin saja jumlah medali emas yang diperoleh kurang dari 60. Setahu saya jumlah medali emas minimal 60 sehingga juga memperoleh 90 medali perak dan tidak memperoleh perunggu sama sekali. Mohon pencerahannya, terima kasih.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Saya ingin bertanya untik nomor 9, bukankah jumlah masing-masing medali minimal 0? Beberapa kali disebutkan di forum ini bahwa mungkin saja jumlah medali emas yang diperoleh kurang dari 60. Setahu saya jumlah medali emas minimal 60 sehingga juga memperoleh 90 medali perak dan tidak memperoleh perunggu sama sekali. Mohon pencerahannya, terima kasih.

 

yang dibold dari mana ya?

Share this post


Link to post
Share on other sites

Finally, nomer 21.


diketahui $x^2 + y^2 + z^2 = 6$ dan $x + y + z = 0$

Kita kumpulin beberapa info dulu
$$\begin{align*}(x+y+z)^2&=x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx)\\xy+yz+zx&= -3\end{align*}$$
$$\begin{align*}(xy+yz+zx)^2&= (xy)^2 + (yz)^2 +(zx)^2 + 2(x^2yz + xy^2z + xyz^2)\\(xy)^2 + (yz)^2 +(zx)^2 + 2xyz(x+y+z)&= 9\\(xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2&=9\end{align*}$$
$$\begin{align*}(x^2+y^2+z^2)^2&= x^4 + y^4 + z^4 + 2((xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2)\\x^4+y^4+z^4&= 18\end{align*}$$

Sekarang mari kita mulai
$$\begin{align*}x^2 + y^2&=6 - z^2\\(x+y)^2 - 2xy&= 6 - z^2\\z^2 - 2xy&= 6 - z^2\\-2xy&=6 - 2z^2\end{align*}$$
$$\begin{align*}(x-y)^2&= x^2+y^2-2xy\\&=12-3z^2\end{align*}$$
Lakukan hal yang sama secara siklis lalu kalikan semuanya, didapat
$(x-y)(y-z)(z-x)=\sqrt{(12-3x^2)(12-3y^2)(12-3z^2)}$

Kita gunakan $GM \leq AM$
$$\begin{align*}\sqrt[3]{(12-3x)^2(12-3y^2)^2(12-3z^2)^2}&\leq \frac{(12-3x^2)^2+(12-3y^2)^2+(12-3z^2)^2}{3}\\&=\frac{432-72(x^2+y^2+z^2)+9(x^4+y^4+z^4)}{3}\\(12-3x^2)(12-3y^2)(12-3z^2)& \leq (3(x^4+y^4+z^4))^{3/2}\\-54^{3/4}& \leq \sqrt{(12-3x^2)(12-3y^2)(12-3z^2)} \leq 54^{3/4}\\|(x-y)(y-z)(z-x)|& \leq 54^{3/4}\end{align*}$$
dan kita selesai.
Mohon koreksi dan maaf apabila LaTeX nya berantakan
:v :D

  • Upvote 2

Share this post


Link to post
Share on other sites

Finally, nomer 21.

diketahui $x^2 + y^2 + z^2 = 6$ dan $x + y + z = 0$

Kita kumpulin beberapa info dulu

$$\begin{align*}(x+y+z)^2&=x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx)\\xy+yz+zx&= -3\end{align*}$$

$$\begin{align*}(xy+yz+zx)^2&= (xy)^2 + (yz)^2 +(zx)^2 + 2(x^2yz + xy^2z + xyz^2)\\(xy)^2 + (yz)^2 +(zx)^2 + 2xyz(x+y+z)&= 9\\(xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2&=9\end{align*}$$

$$\begin{align*}(x^2+y^2+z^2)^2&= x^4 + y^4 + z^4 + 2((xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2)\\x^4+y^4+z^4&= 18\end{align*}$$

Sekarang mari kita mulai

$$\begin{align*}x^2 + y^2&=6 - z^2\\(x+y)^2 - 2xy&= 6 - z^2\\z^2 - 2xy&= 6 - z^2\\-2xy&=6 - 2z^2\end{align*}$$

$$\begin{align*}(x-y)^2&= x^2+y^2-2xy\\&=12-3z^2\end{align*}$$

Lakukan hal yang sama secara siklis lalu kalikan semuanya, didapat

$(x-y)(y-z)(z-x)=\sqrt{(12-3x^2)(12-3y^2)(12-3z^2)}$

Kita gunakan $GM \leq AM$

$$\begin{align*}\sqrt[3]{(12-3x)^2(12-3y^2)^2(12-3z^2)^2}&\leq \frac{(12-3x^2)^2+(12-3y^2)^2+(12-3z^2)^2}{3}\\&=\frac{432-72(x^2+y^2+z^2)+9(x^4+y^4+z^4)}{3}\\(12-3x^2)(12-3y^2)(12-3z^2)& \leq (3(x^4+y^4+z^4))^{3/2}\\-54^{3/4}& \leq \sqrt{(12-3x^2)(12-3y^2)(12-3z^2)} \leq 54^{3/4}\\|(x-y)(y-z)(z-x)|& \leq 54^{3/4}\end{align*}$$

dan kita selesai.

Mohon koreksi dan maaf apabila LaTeX nya berantakan

:v :D

ini kesamaannya kapan? kok dari pengliatan saya kalo $(12-3x^2)^2=(12-3y^2)^2=(12-3z^2)^2$, ekivalen dengan $(x-y)^4=(y-z)^4=(z-x)^4$, ekivalen lagi dengan $|x-y|=|y-z|=|z-x|$? ._. padahal dari observasi say kemarin......

 

kesamaan terjadi kalo $|x-y|=|y-z|=|z-x|$. Dengan dianalog $x\geq y\geq z$, ntar dapetnya $x-y=y-z=x-z$ dan... $x=y=z$. Dan dari persyaratan pertama $x=y=z=0$, tapi $0\neq -3$....

 

 

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

alternatif solusi nomor 21


Tentu saja boleh berasumsi $x\geq y\geq z$. Misalkan $a=x-y$ dan $b=y-z$, maka $a,b\geq 0$ dan $x-z=a+b$.


 


Dari identitas


$$\begin{eqnarray*}2(a^{2}+b^{2}+ab) &=&a^{2}+b^{2}+(a+b)^{2}=(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2} \\ &=&3(x^{2}+y^{2}+z^{2})-(x+y+z)^{2}=18, \end{eqnarray*}$$


diperoleh $(a+b)^{2}=9+ab$ dan $3\geq ab$ (karena $a^{2}+b^{2}\geq 2ab$) dan $a+b=\sqrt{9+ab}\leq \sqrt{12}$.


 


Kesimpulan akhir:


$$|(x-y)(y-z)(z-x)|=ab(a+b)\leq 3\sqrt{12}=6\sqrt{3}.$$


 


Kesamaan dapat terjadi, misalnya ketika $(x,y,z)=(\sqrt{3},0,-\sqrt{3})$. Adakah yang lain? Tidak peduli.



Edited by candhakkeplekkegebuk

Share this post


Link to post
Share on other sites

Oke saya mau jadi pertama dan terakhir :D

nomer 21

Karena sifat simetrik, kita boleh mengasumsikan $x \geq y \geq z$, maka kita ingin memaksimalkan $ |(x-y)(y-z)(z-x)| = (x-y)(y-z)(x-z)$.

Dengan AM-GM :

\[(x-y)(y-z)(x-z) \leq (\frac{x-y+y-z}{2})^2 (x-z) \frac{(x-z)^3}{4} \]

Kesamaan terjadi bila $x-y = y-z \longrightarrow 2y = x+z$. Artinya, $y=0$ dan $x+z = 0$ $x^2+z^2 = 6$ ini terjadi bila $x = \sqrt{3}, z = -\sqrt{3}$.

Nanti kalau $x,y,z$ disubs, ketemu nilainya $6\sqrt{3}$.

CMIIW

 

Sepertinya ada yang salah di sini. Harusnya tidak ada $\frac{(x-z)^3}{4}$ kan? Kalaupun itu sudah dihilangkan, tidak langsung selesai juga kan? Sepertinya aplikasi AM-GM nya juga "salah".

Share this post


Link to post
Share on other sites

Finally, nomer 21.

diketahui $x^2 + y^2 + z^2 = 6$ dan $x + y + z = 0$

Kita kumpulin beberapa info dulu

$$\begin{align*}(x+y+z)^2&=x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx)\\xy+yz+zx&= -3\end{align*}$$

$$\begin{align*}(xy+yz+zx)^2&= (xy)^2 + (yz)^2 +(zx)^2 + 2(x^2yz + xy^2z + xyz^2)\\(xy)^2 + (yz)^2 +(zx)^2 + 2xyz(x+y+z)&= 9\\(xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2&=9\end{align*}$$

$$\begin{align*}(x^2+y^2+z^2)^2&= x^4 + y^4 + z^4 + 2((xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2)\\x^4+y^4+z^4&= 18\end{align*}$$

Sekarang mari kita mulai

$$\begin{align*}x^2 + y^2&=6 - z^2\\(x+y)^2 - 2xy&= 6 - z^2\\z^2 - 2xy&= 6 - z^2\\-2xy&=6 - 2z^2\end{align*}$$

$$\begin{align*}(x-y)^2&= x^2+y^2-2xy\\&=12-3z^2\end{align*}$$

Lakukan hal yang sama secara siklis lalu kalikan semuanya, didapat

$(x-y)(y-z)(z-x)=\sqrt{(12-3x^2)(12-3y^2)(12-3z^2)}$

Kita gunakan $GM \leq AM$

$$\begin{align*}\sqrt[3]{(12-3x)^2(12-3y^2)^2(12-3z^2)^2}&\leq \frac{(12-3x^2)^2+(12-3y^2)^2+(12-3z^2)^2}{3}\\&=\frac{432-72(x^2+y^2+z^2)+9(x^4+y^4+z^4)}{3}\\(12-3x^2)(12-3y^2)(12-3z^2)& \leq (3(x^4+y^4+z^4))^{3/2}\\-54^{3/4}& \leq \sqrt{(12-3x^2)(12-3y^2)(12-3z^2)} \leq 54^{3/4}\\|(x-y)(y-z)(z-x)|& \leq 54^{3/4}\end{align*}$$

dan kita selesai.

Mohon koreksi dan maaf apabila LaTeX nya berantakan

:v :D

ini kesamaannya kapan? kok dari pengliatan saya kalo $(12-3x^2)^2=(12-3y^2)^2=(12-3z^2)^2$, ekivalen dengan $(x-y)^4=(y-z)^4=(z-x)^4$, ekivalen lagi dengan $|x-y|=|y-z|=|z-x|$? ._. padahal dari observasi say kemarin......

kesamaan terjadi kalo $|x-y|=|y-z|=|z-x|$. Dengan dianalog $x\geq y\geq z$, ntar dapetnya $x-y=y-z=x-z$ dan... $x=y=z$. Dan dari persyaratan pertama $x=y=z=0$, tapi $0\neq -3$....

"yang takut salah feel free aja"

mungkin ada yg mau ngoreksi punya saya?

cara gan gebluk juga bagus

Share this post


Link to post
Share on other sites

 

 

Finally, nomer 21.

diketahui $x^2 + y^2 + z^2 = 6$ dan $x + y + z = 0$

Kita kumpulin beberapa info dulu

$$\begin{align*}(x+y+z)^2&=x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx)\\xy+yz+zx&= -3\end{align*}$$

$$\begin{align*}(xy+yz+zx)^2&= (xy)^2 + (yz)^2 +(zx)^2 + 2(x^2yz + xy^2z + xyz^2)\\(xy)^2 + (yz)^2 +(zx)^2 + 2xyz(x+y+z)&= 9\\(xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2&=9\end{align*}$$

$$\begin{align*}(x^2+y^2+z^2)^2&= x^4 + y^4 + z^4 + 2((xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2)\\x^4+y^4+z^4&= 18\end{align*}$$

Sekarang mari kita mulai

$$\begin{align*}x^2 + y^2&=6 - z^2\\(x+y)^2 - 2xy&= 6 - z^2\\z^2 - 2xy&= 6 - z^2\\-2xy&=6 - 2z^2\end{align*}$$

$$\begin{align*}(x-y)^2&= x^2+y^2-2xy\\&=12-3z^2\end{align*}$$

Lakukan hal yang sama secara siklis lalu kalikan semuanya, didapat

$(x-y)(y-z)(z-x)=\sqrt{(12-3x^2)(12-3y^2)(12-3z^2)}$

Kita gunakan $GM \leq AM$

$$\begin{align*}\sqrt[3]{(12-3x)^2(12-3y^2)^2(12-3z^2)^2}&\leq \frac{(12-3x^2)^2+(12-3y^2)^2+(12-3z^2)^2}{3}\\&=\frac{432-72(x^2+y^2+z^2)+9(x^4+y^4+z^4)}{3}\\(12-3x^2)(12-3y^2)(12-3z^2)& \leq (3(x^4+y^4+z^4))^{3/2}\\-54^{3/4}& \leq \sqrt{(12-3x^2)(12-3y^2)(12-3z^2)} \leq 54^{3/4}\\|(x-y)(y-z)(z-x)|& \leq 54^{3/4}\end{align*}$$

dan kita selesai.

Mohon koreksi dan maaf apabila LaTeX nya berantakan

:v :D

ini kesamaannya kapan? kok dari pengliatan saya kalo $(12-3x^2)^2=(12-3y^2)^2=(12-3z^2)^2$, ekivalen dengan $(x-y)^4=(y-z)^4=(z-x)^4$, ekivalen lagi dengan $|x-y|=|y-z|=|z-x|$? ._. padahal dari observasi say kemarin......

kesamaan terjadi kalo $|x-y|=|y-z|=|z-x|$. Dengan dianalog $x\geq y\geq z$, ntar dapetnya $x-y=y-z=x-z$ dan... $x=y=z$. Dan dari persyaratan pertama $x=y=z=0$, tapi $0\neq -3$....

 

"yang takut salah feel free aja"

mungkin ada yg mau ngoreksi punya saya?

cara gan gebluk juga bagus

 

Emm... ketaksamaan yang digunakan mungkin tidak ada yang salah, tapi yang diminta adalah "nilai maksimum".

Sebagai analogi, tinjau fungsi $f(x)=\sin(x)$. Tidak salah mengatakan bahwa $\sin(x)\leq 2$ untuk setiap bilangan real $x$. Tapi menjadi salah ketika mengatakan bahwa nilai maksimum dari $f(x)=\sin(x)$ adalah 2 karena "tidak ada bilangan real $x$ yang memenuhi $\sin(x)=2$.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Oke saya mau jadi pertama dan terakhir :D

nomer 21

Karena sifat simetrik, kita boleh mengasumsikan $x \geq y \geq z$, maka kita ingin memaksimalkan $ |(x-y)(y-z)(z-x)| = (x-y)(y-z)(x-z)$.

Dengan AM-GM :

\[(x-y)(y-z)(x-z) \leq (\frac{x-y+y-z}{2})^2 (x-z) \frac{(x-z)^3}{4} \]

Kesamaan terjadi bila $x-y = y-z \longrightarrow 2y = x+z$. Artinya, $y=0$ dan $x+z = 0$ $x^2+z^2 = 6$ ini terjadi bila $x = \sqrt{3}, z = -\sqrt{3}$.

Nanti kalau $x,y,z$ disubs, ketemu nilainya $6\sqrt{3}$.

CMIIW

 

Sepertinya ada yang salah di sini. Harusnya tidak ada $\frac{(x-z)^3}{4}$ kan? Kalaupun itu sudah dihilangkan, tidak langsung selesai juga kan? Sepertinya aplikasi AM-GM nya juga "salah".

Maaf pak, itu ada tanda "=" nya.. wah salah di mananya pak?

Share this post


Link to post
Share on other sites

no 11



$ x^{2015}+2x^{2014}+3x^{2013}+\cdots+2015x+2016=0 $


$ x^{2016}+2x^{2015}+3x^{2014}+\cdots +2015x^{2}+2016x=0 $ for $ x\ne 0 $


$ _{-------------------------------------------} - $


$ x^{2016}+x^{2015}+x^{2014}+\cdots +x-2016=0 $


 


$ x^{2015}+x^{2014}+x^{2013}+\cdots +x+1=\frac{2016}{x} $


Because $x_{n}$ is root of first equation for $ n=1,2,\cdots,2015 $


also such that


$ x_{n}^{2015}+x_{n}^{2014}+x_{n}^{2013}+\cdots +x_{n}+1=\frac{2016}{x_{n}}$


 


So


$$ \sum_{k=0}^{2015}\, \sum_{n=1}^{2015} \left ( x_{n} \right )^{k} =\sum_{n=1}^{2015}\,x_{n}^{2015}+x_{n}^{2014}+x_{n}^{2013}+\cdots +x_{n}+1


=\sum_{n=1}^{2015}\frac{2016}{x_{n}}=2016\left ( \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\cdots+\frac{1}{x_{2015}} \right ) $$


 


Let $y_{n}=\frac{1}{x_{n}}$ for $n=1,2,\cdots,2015 $


 


we have new equation 


$ 2016y_{n}^{2015}+2015y_{n}^{2014}+\cdots +3y_{n}^{2}+2y_{n}+1=0 $


 


so the answer is $ 2016\left ( \sum_{n=1}^{2015}y_{n}\right ) $


from vieta formula we conclude the final answer is $ 2016\left(\frac{-2015}{2016}\right )=-2015 $



Edited by Uzùmákî Nägätô Tenshøû

Share this post


Link to post
Share on other sites

Oke saya mau jadi pertama dan terakhir :D

nomer 21

Karena sifat simetrik, kita boleh mengasumsikan $x \geq y \geq z$, maka kita ingin memaksimalkan $ |(x-y)(y-z)(z-x)| = (x-y)(y-z)(x-z)$.

Dengan AM-GM :

\[(x-y)(y-z)(x-z) \leq (\frac{x-y+y-z}{2})^2 (x-z) = \frac{(x-z)^3}{4} \]

Kesamaan terjadi bila $x-y = y-z \longrightarrow 2y = x+z$. Artinya, $y=0$ dan $x+z = 0$ $x^2+z^2 = 6$ ini terjadi bila $x = \sqrt{3}, z = -\sqrt{3}$.

Nanti kalau $x,y,z$ disubs, ketemu nilainya $6\sqrt{3}$.

CMIIW

Anda, at least cari lah $(x-z)^3$ itu maksimumnya kapan ._.

$x+y+z=0 \implies x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2=0 \implies x^2+y^2+z^2=6 \implies \sum{cyc}(x-y)^2=2(\sum{cyc}x^2-\sum{cyc}xy)=2(6-(-3))=18.$

Maka, $18=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq\frac{(x-y+y-z)^2}{2}+(x-z)^2=\frac{3}{2}(x-z)^2 \implies 2\sqrt{3}\geq x-z \implies \frac{(x-z)^3}{4}\leq\frac{(2\sqrt{3})^3}{4}=6\sqrt{3}$

*kaboor

Edited by -_-
  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

 

Oke saya mau jadi pertama dan terakhir :D

nomer 21

Karena sifat simetrik, kita boleh mengasumsikan $x \geq y \geq z$, maka kita ingin memaksimalkan $ |(x-y)(y-z)(z-x)| = (x-y)(y-z)(x-z)$.

Dengan AM-GM :

\[(x-y)(y-z)(x-z) \leq (\frac{x-y+y-z}{2})^2 (x-z) = \frac{(x-z)^3}{4} \]

Kesamaan terjadi bila $x-y = y-z \longrightarrow 2y = x+z$. Artinya, $y=0$ dan $x+z = 0$ $x^2+z^2 = 6$ ini terjadi bila $x = \sqrt{3}, z = -\sqrt{3}$.

Nanti kalau $x,y,z$ disubs, ketemu nilainya $6\sqrt{3}$.

CMIIW

Anda, at least cari lah $(x-z)^3$ itu maksimumnya kapan ._.

$x+y+z=0 \implies x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2=0 \implies x^2+y^2+z^2=6 \implies \sum{cyc}(x-y)^2=2(\sum{cyc}x^2-\sum{cyc}xy)=2(6-(-3))=18.$

Maka, $18=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq\frac{(x-y+y-z)^2}{2}+(x-z)^2=\frac{3}{2}(x-z)^2 \implies 2\sqrt{3}\geq x-z \implies \frac{(x-z)^3}{4}\leq\frac{(2\sqrt{3})^3}{4}=6\sqrt{3}$

*kaboor

 

anda sudah offside jawabanya wkwkw :v

Share this post


Link to post
Share on other sites

Maaf wkwkwkwk wktu itu saya bingung jadi langsung hehe ._.v

masih bisa diperbaiki kok, dengan membuktikan bahwa $\frac{(x-z)^3}{4}\leq 6\sqrt 3$. Tentu saja dengan tetap memperhatikan asumsi yang dibuat sebelumnya, yakni $x\geq y\geq z$.

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

 

Maaf wkwkwkwk wktu itu saya bingung jadi langsung hehe ._.v

masih bisa diperbaiki kok, dengan membuktikan bahwa $\frac{(x-z)^3}{4}\leq 6\sqrt 3$. Tentu saja dengan tetap memperhatikan asumsi yang dibuat sebelumnya, yakni $x\geq y\geq z$.

 

pak, itu cara saya udah bener? ._.

 

 

Oke saya mau jadi pertama dan terakhir :D

nomer 21

Karena sifat simetrik, kita boleh mengasumsikan $x \geq y \geq z$, maka kita ingin memaksimalkan $ |(x-y)(y-z)(z-x)| = (x-y)(y-z)(x-z)$.

Dengan AM-GM :

\[(x-y)(y-z)(x-z) \leq (\frac{x-y+y-z}{2})^2 (x-z) = \frac{(x-z)^3}{4} \]

Kesamaan terjadi bila $x-y = y-z \longrightarrow 2y = x+z$. Artinya, $y=0$ dan $x+z = 0$ $x^2+z^2 = 6$ ini terjadi bila $x = \sqrt{3}, z = -\sqrt{3}$.

Nanti kalau $x,y,z$ disubs, ketemu nilainya $6\sqrt{3}$.

CMIIW

Anda, at least cari lah $(x-z)^3$ itu maksimumnya kapan ._.

$x+y+z=0 \implies x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2=0 \implies x^2+y^2+z^2=6 \implies \sum{cyc}(x-y)^2=2(\sum{cyc}x^2-\sum{cyc}xy)=2(6-(-3))=18.$

Maka, $18=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq\frac{(x-y+y-z)^2}{2}+(x-z)^2=\frac{3}{2}(x-z)^2 \implies 2\sqrt{3}\geq x-z \implies \frac{(x-z)^3}{4}\leq\frac{(2\sqrt{3})^3}{4}=6\sqrt{3}$

*kaboor

 

anda sudah offside jawabanya wkwkw :v

 

#yamaap :v

Share this post


Link to post
Share on other sites

Kalau ada yang salah mohon d perbaiki ya , untuk No.15

a+1/(a+2015)=b−4030+1/(b−2015)

Misal :2015 = x

a+1/(a+x)=b-2x+(b-x)

a-b+2x={1/(b-x)}-{1/(a+x)

(a-b+2x)=(a-b+2x)/(ab+bx-ax-x^2)

(ab+bx-ax-x^2)=(a-b+2x)/(a-b+2x)

(ab+bx-ax-x^2)=1

(ab+bx-ax-x^2)/x=1/x

(ab/x)+b-a-x=1/x

(ab/x)-a+b=(1/x)+x

(ab/x)-a+b=(1+x^2)/x

(ab/x)-a+b=(1+2015^2)/2015

Share this post


Link to post
Share on other sites

ya jawabanya sama kayak solusiaku :) , itu kalau mau pake latex pake tanda dollarnya jangan lupa ya :v

 

Kalau ada yang salah mohon d perbaiki ya , untuk No.15
a+1/(a+2015)=b−4030+1/(b−2015)
Misal :2015 = x
a+1/(a+x)=b-2x+(b-x)
a-b+2x={1/(b-x)}-{1/(a+x)
(a-b+2x)=(a-b+2x)/(ab+bx-ax-x^2)
(ab+bx-ax-x^2)=(a-b+2x)/(a-b+2x)
(ab+bx-ax-x^2)=1
(ab+bx-ax-x^2)/x=1/x
(ab/x)+b-a-x=1/x
(ab/x)-a+b=(1/x)+x
(ab/x)-a+b=(1+x^2)/x
(ab/x)-a+b=(1+2015^2)/2015

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

kalau mau tau solusiku ._.

Untuk No.15    :wondering:


kita akan mencari nilai dari :
$$\frac{ab}{2015}-a+b = \frac{ab-2015(a-b)}{2015} $$
perhatikan persamaan berikut :
\begin{align}
a+\frac{1}{a+2015} & = b-4030+\frac{1}{b-2015} \\
\\
a+2015+\frac{1}{a+2015} & = b-2015+\frac{1}{b-2015}
\end{align}
untuk lebih memudahkan kita misalkan $a+2015 = x$ lalu $b-2015 = y$, subtitusi pada persamaan :
\begin{align}
x+\frac{1}{x} & = y+\frac{1}{y} \\
\\
x-y & = \frac{1}{y} - \frac{1}{x} \\
\\
x-y & = \frac{x-y}{xy}
\end{align}
bagi kedua persamaan dengan $x-y$, dengan ketentuan $x-y \neq 0 $
disini haruslah dibuktikan dulu $x-y \neq 0$
perhatikan bahwa :
$ x-y=a-b+4030 $ kita tahu bahwa $\mid a-b\mid > 5000$ yg berarti $a-b>5000$ atau $a-b<-5000$
saat $a-b>5000$ maka $ x-y > 8030 $, disini jelas $x-y \neq 0$
saat $a-b<-5000$ maka $ x-y < -70 $, disini jelas juga bahwa $x-y \neq 0$
Maka terbukti bahwa $x-y \neq 0$
\begin{align}
1 & = \frac{1}{xy} \\
\\
xy & = 1 \\
\\
(a+2015)(b-2015) &= 1 \\
\\
ab-2015(a-b)-2015^2 & = 1 \\
\\
ab-2015(a-b) & = 1+2015^2
\end{align}
disini kita subtitusi ke pertanyaan, maka :
\begin{align}
& = \frac{ab-2015(a-b)}{2015} \\
\\
& = \frac{1+2015^2}{2015} \\
\\
& = 2015 +\frac{1}{2015} 
\end{align}
Maka hasil akhir adalah $2015 +\frac{1}{2015}$


CMIIW

 
 

ya jawabanya sama kayak solusiku :) , itu kalau mau pake latex pake tanda dollarnya jangan lupa ya :v
 

Kalau ada yang salah mohon d perbaiki ya , untuk No.15
a+1/(a+2015)=b−4030+1/(b−2015)
Misal :2015 = x
a+1/(a+x)=b-2x+(b-x)
a-b+2x={1/(b-x)}-{1/(a+x)
(a-b+2x)=(a-b+2x)/(ab+bx-ax-x^2)
(ab+bx-ax-x^2)=(a-b+2x)/(a-b+2x)
(ab+bx-ax-x^2)=1
(ab+bx-ax-x^2)/x=1/x
(ab/x)+b-a-x=1/x
(ab/x)-a+b=(1/x)+x
(ab/x)-a+b=(1+x^2)/x
(ab/x)-a+b=(1+2015^2)/2015

 

nih saya coba untuk dilatexkan :)

$$a+\frac{a}{a+2015} = b-4030+\frac{b}{2015}$$
Misal : $2015 = x$
$$a+\frac{1}{a+x}=b-2x+\frac{1}{b-x}$$
$$a-b+2x=\left(\frac{1}{b-x}\right)-\left(\frac{1}{a+x}\right)$$
$$(a-b+2x)=\frac{a-b+2x}{ab+bx-ax-x^2} $$
$$(ab+bx-ax-x^2)=\frac{a-b+2x}{a-b+2x} $$
$$(ab+bx-ax-x^2)=1 $$
$$\frac{ab+bx-ax-x^2}{x}=\frac{1}{x} $$
$$ \frac{ab}{x}+b-a-x=\frac{1}{x} $$
$$ \frac{ab}{x}-a+b=\frac{1}{x}+x $$
$$ \frac{ab}{x}-a+b=\frac{1+x^2}{x} $$
$$ \frac{ab}{x}-a+b=\frac{1+2015^2}{2015} $$

Edited by mhasan01

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now