mhasan01

Nilai Minimum

4 posts in this topic

Untuk setiap $x$ bilangan real carilah Nilai minimum dari :


$$ x^2+\frac{2}{x}+\frac{9}{x^2}+\frac{6}{x^3}+\frac{1}{x^4} $$


0

Share this post


Link to post
Share on other sites

Maaf, mungkin cara saya terlalu panjang.  :worried:



Misalkan kita definisikan sebuah fungsi $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$  dengan kondisi $x \neq 0$ sebagai


 


$f(x) = x^2 + \frac{2}{x} + \frac{9}{x^2} + \frac{6}{x^3} + \frac{1}{x^4}$


 


Misalkan notasi $f'(x)$ menyatakan turunan pertama dari fungsi $f$. Maka, 


 


$f'(x) = 2x - \frac{2}{x^2} - \frac{18}{x^3} - \frac{18}{x^4} - \frac{4}{x^5}$


 


Perhatikan bahwa nilai minimum dari $f(x)$ untuk setiap bilangan real $x$ tercapai ketika $f'(x) = 0$.


Yang kemudian, kita punya


 


$2x - \frac{2}{x^2} - \frac{18}{x^3} - \frac{18}{x^4} - \frac{4}{x^5}  = 0$


 


Kalikan kedua ruas dengan $\frac{x^5}{2}$, memberikan


 


$x^6 - x^3 - 9x^2 - 9x - 2 = 0$


 


Dengan Rational Root Theorem, kita punya semua kemungkinan solusi real $x$ yang memenuhi persamaan diatas adalah $-2$, $-1$, $1$, atau $2$. Kemudian, kita subsitusikan semua kemungkinan solusi $x$ yang ada ke persamaan tersebut.


 


1. Untuk $x = - 2$, maka $(- 2)^6 - (- 2)^3 - 9 (- 2)^2 - 9 (- 2) - 2 = 64 + 8 - 36 + 18 - 2 = 52 \neq 0$. Akibatya, $x = - 2$ bukan solusi persamaan tersebut.


 


2. Untuk $x = - 1$, maka $(- 1)^6 - (- 1)^3 - 9 (- 1)^2 - 9 (- 1) - 2 = 1 + 1 - 9 + 9 - 2 = 0$. Akibatnya, $x = - 1$ adalah solusi persamaan tersebut.


 


3. Untuk $x = 1$, maka $1^6 - 1^3 - 9 \circ 1^2 - 9 \circ 1 - 2 = 1 - 1 - 9 - 9 - 2 = - 20 \neq 0$. Akibatnya, $x = 1$ bukan solusi persamaan tersebut.


 


4. Untuk $x = 2$, maka $2^6 - 2^3 - 9 \circ 2^2 - 9 \circ 2 - 2 = 64 - 8 - 36 - 18 - 2 = 0$. Akibatnya, $x = 2$ adalah solusi persamaan tersebut.


 


Kemudian, persamaan di atas bisa difaktorkan menjadi


 


$(x - 2) (x + 1)^2 (x^3 + 3x + 1) = 0$ 


 


1. Substitusikan $x = 2$ ke fungsi $f(x)$, maka $f(2) = 4 + 1 + \frac{9}{4} + \frac{3}{4} + \frac{1}{16} = \frac{129}{16}$.


 


2. Substitusikan $x = -1$ ke fungsi $f(x)$, maka $f(- 1) = 1 - 2 + 9 - 6 + 1 = 3$.


 


3. Sekarang, kita gunakan kasus bahwa $x^3 + 3x + 1 = 0$. Kuadratkan kedua ruas, memberikan


 


$(x^3 + 3x + 1)^2 = 0$


 


$x^6 + 2x^3 + 9x^2 + 6x + 1 + 6x^4 = 0$


 


Bagi kedua ruas dengan $x^4$, memberikan


 


$x^2 + \frac{2}{x} + \frac{9}{x^2} + \frac{6}{x^3} + \frac{1}{x^4} + 6 = 0$


 


$\Leftrightarrow x^2 + \frac{2}{x} + \frac{9}{x^2} + \frac{6}{x^3} + \frac{1}{x^4} = - 6$


 


Maka, nilai dari $f(x)$ dimana $x$ memenuhi persamaan $x^3 + 3x + 1 = 0$ adalah $- 6$.


 


Jadi, nilai minimum yang diminta pada soal untuk setiap bilangan real $x$ adalah $- 6$.



 


Ini referensi untuk Rational Root Theorem



https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem



Edited by Zekrom
1

Share this post


Link to post
Share on other sites

Posted (edited)

Perhatikan bahwa  $ ($x$ + $ \frac{3}{x} $ + $ \frac{1}{x^{2}} $)^2 $ -6 merupakan soal.Karena yang ditanya nilai minimum, maka yg didalam kurung haruslah 0, dan hasilnya adalah -6 

Edited by anonymous
0

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!


Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.


Sign In Now