Jump to content
Sign in to follow this  
-_-

[JBMO 2015 No 1] Solusi prima dari sebuah persamaan

Recommended Posts

Cari semua $a,b,c$ prima dan $k$ bulat positif sehingga $$a^2+b^2+16c^2=9k^2+1$$


Share this post


Link to post
Share on other sites

Perhatikan bahwa untuk setiap $c$ prima, $16c^{2}\equiv4$ $mod$ $6$


Perhatikan bahwa untuk setiap $k$, $9k^{2}\equiv0\vee3$ $mod$ $6$

$CASE$ $1$ ($a,b>3$)

Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan prima $p$ untuk $p>3$,$p \equiv 1 \vee -1$ $mod$ $6$. Sehingga $a^{2}+b^{2}+16c^{2}\equiv 1+1+16$ $mod$ $6$ $\equiv 0$ $mod$ $6$, sehingga $9k^{2} + 1 \equiv 6$ $mod$ $6$ $\Rightarrow 9k^{2} \equiv 5$ $mod$ $6$ padahal tidak ada $k$ yang memenuhi untuk $k$ berbentuk $6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k+4,6k+5$ sehingga $9k^{2} \equiv 5$ $mod$ $6$
Sehingga untuk $a,b>2$ tidak ada yang memenuhi

$CASE$ $2$ ($a \vee b=2$ [tidak keduanya])
Perhatikan bahwa untuk $p=2$, $p^2\equiv 4$ $mod$ $6$, jika salah satu (tidak keduanya) dari $a$ atau $b$ adalah 2, $w.o.l.o.g$ $a=2$, $\Rightarrow a^{2}+b^{2}+16c^{2}\equiv5\vee9$ $mod$ $6$. Di sini jelas tidak ada nilai $k$ sehingga $9k^{2}\equiv4\vee8$ $mod$ $6$

$CASE$ $3$ ($a\wedge b=2$)
$a^{2}+b^{2}+16c^{2}\equiv12$ $mod$ $6$, di sini jelas bahwa tidak ada nilai $k$ sehingga $9k^{2}\equiv 11$ $mod$ $6$
 

$CASE$ $4$ ($a\wedge b=3$)
$a^{2}+b^{2}+16c^{2}\equiv1$ $mod$ $6$, terdapat $k$ sehingga $9k^{2}\equiv0$ $mod$ $6$.
Perhatikan pula bahwa $$18+16c^{2}=9k^{2}+1 \Rightarrow 9k^{2}-16c^{2}=17$$ $$(3k-4c)(3k+4c) = 1\times17$$
Jelas $3k-4c<3k+4c$ untuk $k>0$
$\therefore 3k-4c=1 \wedge 3k+4c=17$, eliminasi, solusinya adalah $(c,k)=(2,3)$

$\therefore$ pasangan $(a,b,c,k)$ yang memenuhi adalah $(3,3,2,3)$

#CMIIW (Saya berharap tidak ada case yang kurang ataupun kesalahan perhitungan :') 
*Makasih fif koreksinya wkwkwk

Edited by Jehian Norman Saviero

Share this post


Link to post
Share on other sites

Perhatikan bahwa untuk setiap $c$ prima, $16c^{2}\equiv4$ $mod$ $6$

Perhatikan bahwa untuk setiap $k$, $9k^{2}\equiv0\vee3$ $mod$ $6$

$CASE$ $1$ ($a,b>2$)

Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan prima $p$ untuk $p>2$,$p \equiv 1 \vee -1$ $mod$ $6$. Sehingga $a^{2}+b^{2}+16c^{2}\equiv 1+1+16$ $mod$ $6$ $\equiv 0$ $mod$ $6$, sehingga $9k^{2} + 1 \equiv 6$ $mod$ $6$ $\Rightarrow 9k^{2} \equiv 5$ $mod$ $6$ padahal tidak ada $k$ yang memenuhi untuk $k$ berbentuk $6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k+4,6k+5$ sehingga $9k^{2} \equiv 5$ $mod$ $6$

Sehingga untuk $a,b,c>2$ tidak ada yang memenuhi

$CASE$ $2$ ($a \vee b=2$ [tidak keduanya])

Perhatikan bahwa untuk $p=2$, $p^2\equiv 4$ $mod$ $6$, jika salah satu (tidak keduanya) dari $a$ atau $b$ adalah 2, $w.o.l.o.g$ $a=2$ , maka $a^{2}+b^{2}+16c^{2}$ akan berbentuk genap sehingga $9k^{2}+1$ haruslah genap $Rightarrow k$ haruslah ganjil.

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+16c^{2}\equiv9$ $mod$ $6$. Di sini jelas tidak ada nilai $k$ sehingga $9k^{2}\equiv8$ $mod$ $6$

$CASE$ $3$ ($a\wedge b=2$)

$a^{2}+b^{2}+16c^{2}\equiv12$ $mod$ $6$, di sini jelas bahwa tidak ada nilai $k$ sehingga $9k^{2}\equiv 11$ $mod$ $6$

$\therefore$ tidak ada pasangan $(a,b,c,k)$ yang memenuhi

 

#CMIIW (Saya berharap tidak ada case yang kurang ataupun kesalahan perhitungan :') )

$(a,b,c,k)=(3,3,2,3)$? ._.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Ambil modulo 3 ke persamaan pada soal. Maka:

$$a^2+b^2+c^2 \equiv 1 mod 3$$

Residu kuadrat mod 3 adalah 0 dan 1. Agar $a^2+b^2+c^2 \equiv 1$ mod 3, maka harus ada tepat dua diantara $a^2,b^2,c^2$ yang ekuivalen 0 mod 3. Karena $a,b,c$ prima, maka harus ada tepat dua di antara $a,b,c$ yang bernilai 3. Bagi ke dalam dua kasus:

Kasus 1 : $a=b=3$

Diperoleh : 18 + 16$c^2$ = 9$k^2$ + 1 $\rightarrow$ $(3k-4c)(3k+4c) = 17$. Dari sini, didapat $(c,k)=(2,3)$ (KULI). Maka $(a,b,c,k) = (3,3,2,3)$

Kasus 2 :$a=c=3$ (simetri dengan $b=c=3$)

Diperoleh : 153 + $b^2$ = 9$k^2$ + 1 $\rightarrow$ 152 = $(3k-b)(3k+b)$. Solusi $(b,k)$ adalah (37,13), (17,7) (KULI). Maka $(a,b,c,k) = (3,37,3,13),(3,17,3,7),(37,3,3,13),(17,3,3,7)$

Coba cek ke pers. awal. Sepertinya memenuhi (?)

Edited by Tetsu
  • Upvote 2

Share this post


Link to post
Share on other sites

Ambil modulo 3 ke persamaan pada soal. Maka:

$$a^2+b^2+c^2 \equiv 1 mod 3$$

Residu kuadrat mod 3 adalah 0 dan 1. Agar $a^2+b^2+c^2 \equiv 1$ mod 3, maka harus ada tepat dua diantara $a^2,b^2,c^2$ yang ekuivalen 0 mod 3. Karena $a,b,c$ prima, maka harus ada tepat dua di antara $a,b,c$ yang bernilai 3. Bagi ke dalam dua kasus:

Kasus 1 : $a=b=3$

Diperoleh : 18 + 16$c^2$ = 9$k^2$ + 1 $\rightarrow$ $(3k-4c)(3k+4c) = 17$. Dari sini, didapat $(c,k)=(2,3)$ (KULI). Maka $(a,b,c,k) = (3,3,2,3)$

Kasus 2 :$a=c=3$ (simetri dengan $b=c=3$)

Diperoleh : 153 + $b^2$ = 9$k^2$ + 1 $\rightarrow$ 152 = $(3k-b)(3k+b)$. Solusi $(b,k)$ adalah (37,13), (17,7) (KULI). Maka $(a,b,c,k) = (3,37,3,13),(3,17,3,7),(37,3,3,13),(17,3,3,7)$

Coba cek ke pers. awal. Sepertinya memenuhi (?)

:) Nice

Share this post


Link to post
Share on other sites

Perhatikann RHS = 1(mod3), Maka LHS = 1(mod3).


Jadi, $a^2+b^2+16c^2=1(mod3)$ -> $a^2+b^2+c^2=1(mod3)$


Perhatikan karena a,b,c prima, maka $a^2,b^2,c^2=1(mod3) kecuali a,b,c=3$


Maka, 2 diantara a,b,c sama dengan 3


a) a=3, b=3


Maka $18+16c^2=9k^2+1$


$9k^2-16c^2=17$


$(3k-4c)(3k+4c)=17$


Jelas $3k+4c > 3k-4c (c>0)$


Maka, $3k-4c = 1$, $3k+4c = 17$ -> $k=3,c=2$ -> (a,b,c,k)=(3,3,2,3)


 


b) b=3, c=3, simetri a=3,c=3


 


Maka $a^2+9*17=9k^2+1$


$9k^2-a^2=152$


$(3k-a)(3k+a)=152$


Jelas $3k+a > 3k-a (a>0)$


$3k-a=2,3k+a=76$ -> k=13 , a = 37 -> (37,3,3,13),(3,37,3,13)


$3k-a=4,3k+a=38$ -> k=7   , a=17 -> (17,3,3,7),(3,17,3,7) 



 



Maka (a,b,c,d) = (3,3,2,3),(17,3,3,7),(3,17,3,7),(37,3,3,13),(3,37,3,13)



 


CMIIW, mohon koreksinya kakak  :)



Edited by DickJessen
  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

Sign in to follow this  

×