raja.oktovin

KTO Juli 2015 Bagian A

Recommended Posts

1. Diberikan segitiga siku-siku $ABC$ di mana $M$ adalah titik tengah sisi miring $AC$. Titik $P,Q,R,S,T,U$ diberikan di luar segitiga ini demikian sehingga $ABPQ$, $BCRS$, dan $CATU$ merupakan bujur sangkar. Diketahui bahwa hasil jumlah luas ketiga bujur sangkar ini adalah $968$. Tentukan panjang $MB$.

2. Tentukan banyaknya bilangan asli di dalam himpunan $\{1,2,\dots,1000\}$ yang hasil jumlah digit-digitnya habis dibagi $3$. Sebagai contoh, bilangan $12$ jumlah digitnya habis dibagi $3$, sementara $20$ tidak.

3. Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan titik pusat lingkaran dalam $I$. Diketahui bahwa $\angle BIC = 110^{\circ}$. Tentukan besar $\angle BAC$.

 

4. Misalkan $r,s,t$ adalah akar-akar dari polinom $p(x)=x^3-x-127$. Tentukan nilai dari $$\left(r+\frac{1}{s}\right) \left(s+\frac{1}{t} \right) \left(t+\frac{1}{r}\right).$$

5. Di Banjarmasin, nomor plat kendaraan diawali dengan huruf DA, diikuti dengan sebuah bilangan 4 digit yang tidak diawali dengan angka 0, dan diakhiri dengan 2 huruf dengan syarat: (i) bilangan dari $4$ digit tersebut tidak habis dibagi $5$ dan (ii) dua huruf terakhir tidak boleh konsonan keduanya. Misalkan banyaknya kemungkinan nomor plat kendaraan adalah $N$. Tentukan $\lceil \frac{n}{1000} \rceil$.
 Catatan: Notasi $\lceil x \rceil$ adalah yang menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih dari atau sama dengan $x$. Contoh: $\lceil \pi \rceil=2, \lceil 69 \rceil=69$.

6. Misalkan $ABCD$ merupakan sebuah persegi dengan titik pusat $O$. Titik $P$ diberikan di dalam persegi $ABCD$ sehingga $\angle OPB = 45^{\circ}$. Diketahui $PO=40\sqrt{2}$ dan $PA=20$. Tentukan panjang $PB$.

7. Suatu segitiga memiliki panjang sisi berupa bilangan bulat positif. Diketahui bahwa $5$ dan $10$ merupakan panjang salah dua dari sisinya dan $s$ merupakan panjang sisi yang satu lagi. Tentukan hasil jumlah semua nilai $s$ yang mungkin.
         
8. Terdapat $17$ kota yang dapat dituju dari kota Jakarta dengan Olim Air. Diketahui bahwa jika terdapat $k$ orang yang akan berangkat dari kota Jakarta ke $17$ kota tujuan ini, pasti ada dua kota tujuan yang banyak penumpangnya sama (bisa jadi tidak terdapat penumpang sama sekali; dalam hal ini banyaknya penumpang adalah $0$). Tentukan nilai terbesar $k$ yang mungkin.

9. Diberikan persegi $ABCD$. Garis singgung dari titik $C$ terhadap lingkaran luar segitiga $ACD$ bertemu dengan perpanjangan garis $AB$ di $E$, dan titik $F$ adalah titik pertemuan kedua lingkaran luar segitiga $BCD$ dengan garis $DE$. Tentukan nilai $EF \times DF$, jika diketahui $|EC|=21$.
    
10. Misalkan $x$ merupakan bilangan real sehingga $2^x+4^x+8^x=1$. Tentukan nilai dari $2^{x+1}-2^{4x}$.

11. Bilangan asli $k$ disebut keras jika memenuhi sifat bahwa: tidak terdapat bilangan asli $a,b$ sehingga $a+b+ab=k$. Tentukan banyaknya bilangan keras di dalam himpunan $\{1,2,3,\dots,100\}$.
    
12. Di toko buah Piade Mart, Anda ingin membeli 35 buah. Toko buah tersebut menjual 5 macam buah: pepaya, nanas, semangka, apel, melon. Ada aturan-aturan ketika melakukan pembelian.
 pepaya yang dibeli harus sebanyak kelipatan 5,
  nanas yang dibeli maksimal 4,
  semangka yang dibeli harus berjumlah genap,
  apel yang dibeli maksimal 1.

        Berapa banyak cara membeli buah-buahan jika semua aturan di atas terpenuhi?

 

13. Diberikan titik $P(-2,r)$ dan $R(4,4)$ pada bidang-$xy$ dengan $r$ suatu bilangan real positif. Jika titik $Q$ terletak pada sumbu-$x$, maka nilai terkecil yang mungkin untuk $|PQ|+|QR|$ adalah $10$. Tentukan hasil jumlah semua nilai $r$ yang mungkin.

14. Pada sebuah segitiga $ABC$, titik $D,E$ dipilih pada segmen garis $BC$ sehingga $AD=AE$ dengan titik $D,E$ dalam urutan $B,D,E,C$. Diketahui $AB=43$, $AC=27$, dan $BD-CE=20$. Tentukan panjang $BC$.

15.  Sebuah turnamen tenis diikuti 6 pemain sehingga setiap pemain berhadapan satu sama lain tepat sekali. Untuk setiap permainan, pasti salah satu pemain menang dan yang satu lagi kalah. Misalkan $N$ adalah banyaknya kemungkinan hasil semua pertandingan sehingga tidak ada pemain yang tidak terkalahkan. Tentukan tiga digit terakhir dari $N$.
    
16. Ada 21 petak yang berurutan dari kiri ke kanan, bernomor $0,1,\ldots,20$. Seekor kelinci, mulai dari petak ke-0, ingin mencapai petak ke-20, dimana ia hanya dapat melompat 1 atau 2 petak ke depan saja. Misalkan $n$ banyaknya cara kelinci tersebut mencapai petak ke-20, tanpa menginjak petak ke-15. Hitung sisa $n$ ketika dibagi 1000.

17. Diberikan sebuah kertas berukuran persegi panjang. Jika kertas tersebut dilipat terhadap diagonalnya, akan terbentuk suatu segi-lima yang luasnya $\frac{11}{16}$ dari luas persegi panjang awal. Jika lebar dari persegi panjang tersebut adalah 13, tentukan luas persegi panjang tersebut.

18.  Diberikan suatu himpunan $S=\{1,11,111,1111,\dots\}$, yaitu himpunan semua bilangan asli yang digit-digitnya adalah $1$. Suatu bilangan disebut bersifat kuat jika bilangan tersebut membagi habis setidaknya satu dari anggota himpunan $S$. Ada berapakah bilangan kuat yang merupakan anggota himpunan $\{1,2,\dots,1000\}$?

 

19. Diketahui suatu bilangan real $a,b,c,d$ memenuhi $\frac{a-b}{c-d}=2$ dan $\quad \frac{a-c}{b-d}=3$. Tentukan hasil jumlah semua nilai yang mungkin untuk $\frac{|a-d|}{|b-c|}.$

 

20. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $BC=20$ dan misalkan $D$ merupakan titik tengah $BC$. Lingkaran dalam segitiga $ABC$ memotong segmen garis $BD$ menjadi tiga potong yang sama panjang. Misalkan $a$ merupakan luas dari segitiga $ABC$. Tentukan tiga digit terakhir dari $a^2$.

21. Tentukan hasil penjumlahan dari semua bilangan asli $n$ yang memenuhi $n-\varphi(n) = 15$. Notasi $\varphi(n)$ menyatakan banyaknya bilangan asli yang kurang dari $n$ dan relatif prima dengan $n$. Sebagai contoh, $\varphi(12)=4$.
  

Edited by raja.oktovin

Share this post


Link to post
Share on other sites

2. Cara I

⌊1000/3⌋=333

Jadi banyaknya bilangan asli dalam himpunan {1,2,…,1000} adalah 333

Cara II

Suatu bilangan habis dibagi 3 jika dan hanya jika jumlah digit-digit bilangan tersebut habis dibagi 3.

Bilangan asli yang habis dibagi 3 haruslah berbentuk 3×k ,dengan k ∈ N.nilai dari

3×k ∈ {1,2,…,1000}

Sehingga banyaknya bilangan k yang memenuhi adalah 333

cmiiw

Edited by Engki Maiputra

Share this post


Link to post
Share on other sites

4. Misal p(x)=a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0

Merujuk kepolinom yang diberikan diperoleh a_3=1, a_2=0, a_1=-1 dan a_0=-127

Karena r,s,t akar-akar dari p(x),maka

r+s+t=-a_2/a_3 =-0/1=0

st+rt+rs=a_1/a_3 =-1/1=-1

rst=-a_0/a_3 =-(-127)/1=127

Sekarang perhatikan bahwa

(r+1/s)(s+1/t)(t+1/r)=(rs+r/t+1+1/st)(t+1/r)

=rst+r+t+1/s+s+1/t+1/r+1/rst

=r+s+t+rst+1/r+1/s+1/t

=r+s+t+rst+(st+rt+rs)/rst

=0+127+(-1)/127

=((127)^2-1)/127

Edited by Engki Maiputra

Share this post


Link to post
Share on other sites

Syarat sebuah segitiga adalah

a,b,c bilangan real positif dimana a<c , b<c dan memenuhi

a+b>c

Maka ketiga sisi segitiga diatas harus memenuhi ketaksamaan.

5+10>s,maka nilai s∈{11,12,13,14}

Sehingga jumlah semua nilai s yang mungkin adalah 11+12+13+14=50

Edited by Engki Maiputra

Share this post


Link to post
Share on other sites

11.a+b+ab=k

a+b+ab+1=k+1

(a+1)*(b+1)=k+1 a,b∈N

Agar tidak terdapat bilangan asli a,b yang memenuhi persamaan diatas maka haruslah RHS merupakan bilangan prima,

sehingga

nilai k yang mengakibatkan k+1 bilangan prima adalah

k∈{1,2,4,6,10,12,16,18,22,28,30,36,40,42,46,52,58,60,66,70,72,78,82,88,96,100}

cmiiw

Edited by Engki Maiputra

Share this post


Link to post
Share on other sites

(12.)Misal:

pepaya=a, nanas=b, semangka=c, apel=d

a+b+c+d=35

Dengan syarat a=5k,k∈bil.cacah, 0≤b≤4 ,c=2l,l∈bil.cacah, 0≤d≤1

Persamaan di atas dapat diubah menjadi

a+b+c+d=35

5k+b+2l+d=35

  • Untuk d=0
5k+b+2l=35
  • b=0
5k+2l=35

Jika l=0,maka 5k=35↔k=7

(35,0,0,0)

Untuk l=1,2,3,dan 4 , 5k+2l=35 tidak memiliki solusi di N.

  • b=1
5k+2l=34

Karena ganjil+genap=ganjil,maka persamaan diatas tidak memiliki solusi di N.

  • b=2
5k+2l=33

Jika l=4,maka 5k+8=33↔5k=25↔k=5

(25,2,8,0)

Jika l=9,maka 5k+18=33↔5k=15↔k=3

(15,2,18,0)

Jika l=14,maka 5k+28=33↔5k=5↔k=1

(5,2,28,0)

b=3

5k+2l=32

Tidak memiliki solusi di N

  • b=4
5k+2l=31

Jika l=3,maka 5k+6=31↔5k=25↔k=5

(25,4,6,0)

Jika l=8, maka 5k+16=31↔5k=15↔k=3

(15,4,16,0)

Jika l=13, maka 5k+26=31↔5k=5↔k=1

(5,4,26,0)

              2. Untuk d=1

5k+b+2l=34

Untuk b=0,2,4 persamaan tidak memiliki solusi di N

  • b=1
5k+2l=33

Jika l=4,maka 5k+8=33↔5k=25↔k=5

(25,1,8,1)

Jika l=9,maka 5k+18=33↔5k=15↔k=3

(15,1,18,1)

Jika l=14,maka 5k+28=33↔5k=5↔k=1

(5,1,28,1)

  • b=3
5k+2l=31

Jika l=3,maka 5k+6=31↔5k=25↔k=5

(25,3,6,1)

Jika l=8, maka 5k+16=31↔5k=15↔k=3

(15,3,16,1)

Jika l=13, maka 5k+26=31↔5k=5↔k=1

(5,3,26,1)

Jadi banyaknya cara membeli 35 buah tersebut adalah 13 cara

Share this post


Link to post
Share on other sites

10. Misalkan x merupakan bilangan real sehingga 2^x+4^x+8^x=1.tentukan nilai dari 2^(x+1)-2^4x.

Karena 2^x>0,dan 4^x>0 ,dan 8^x>0

, maka dengan AM-GM diperoleh

2^x+4^x+8^x≥3∛(4^3x )

2^x+4^x+8^x≥3×4^x

1≥3×4^x

4^x≤1/3

2^2x≤1/3

2^x≤1/√3

1/√3+1/3+(1/√3)^3=1/3+√3/3+1/3×√3/3=1/3+3×√3/9+√3/9=1/3+4×√3/9>1

cmiiw

Edited by Engki Maiputra

Share this post


Link to post
Share on other sites

15. Misalkan pemain tersebut dengan a,b,c,d,e,f , perhatikan bahwa

a vs b=b vs a (tidak memperhatikan urutan)

Sehingga kita gunakan kombinasi untuk menghitung banyaknya pertandingan.

C(6,2)=6!/2!4!=15 pertandingan

Karena kemungkinan hasil setiap pertandingan adalah menang atau kalah,maka banyaknya kemungkinan hasil semua pertandingan sehingga tidak ada pemain yang tidak terkalahkan adalah

N=2^15=32768

Sehingga tiga digit terakhir dari Nadalah 768

cmiiw

Share this post


Link to post
Share on other sites

21. n-φ(n)=15

n=φ(n)+15

Jika φ(n) bernilai genap maka n harus bernilai ganjil

Misal φ(n)=2a,a∈N,n=2k+1

2k+1=2a+15↔

2k-2a=14

k-a=7..(i)

Jika φ(n) bernilai ganjil,maka n harus bernilai genap

2k=2a+1+15↔

2k-2a=16

k-a=8..(ii)

Persamaan (i) kontradiksi dg perssamaan (ii)

Sehingga tidak ada bilangan asli n yang memenuhi

n-φ(n)=15

Berarti jumlah semua bilangan asli n yang memenuhi

n-φ(n)=15 adalah 0

cmiiw

Share this post


Link to post
Share on other sites

No.10

$2^{3x}$ + $2^{2x}$ + $2^x$ = $1$


$2^{4x}$ + $2^{3x}$ + $2^{2x}$ = $2^x$
$2.2^{4x}$ + $2.2^{3x}$ + $2.2^{2x}$ = $2^{x+1}$

$2^{x+1}$ - $2^{4x}$ = $2.2^{4x}$ + $2.2^{3x}$ + $2.2^{2x}$ - $2^{4x}$

= $2^{4x}$ + $2.2^{3x}$ + $2.2^{2x}$

= $2^{4x}$ + $2^{3x}$ + $2^{2x}$ + $2^{3x}$ + $2^{2x}$

= $2^x$ + $2^{3x}$ + $2^{2x}$ = $1$

CMIIW

Edited by akhmaliswara

Share this post


Link to post
Share on other sites

21. n-φ(n)=15

n=φ(n)+15

Jika φ(n) bernilai genap maka n harus bernilai ganjil

Misal φ(n)=2a,a∈N,n=2k+1

2k+1=2a+15↔

2k-2a=14

k-a=7..(i)

Jika φ(n) bernilai ganjil,maka n harus bernilai genap

2k=2a+1+15↔

2k-2a=16

k-a=8..(ii)

Persamaan (i) kontradiksi dg perssamaan (ii)

Sehingga tidak ada bilangan asli n yang memenuhi

n-φ(n)=15

Berarti jumlah semua bilangan asli n yang memenuhi

n-φ(n)=15 adalah 0

cmiiw

argumen anda salah... coba cek n=75 . CMIIW

:wink:

Share this post


Link to post
Share on other sites

15. Misalkan pemain tersebut dengan a,b,c,d,e,f , perhatikan bahwa

a vs b=b vs a (tidak memperhatikan urutan)

Sehingga kita gunakan kombinasi untuk menghitung banyaknya pertandingan.

C(6,2)=6!/2!4!=15 pertandingan

Karena kemungkinan hasil setiap pertandingan adalah menang atau kalah,maka banyaknya kemungkinan hasil semua pertandingan sehingga tidak ada pemain yang tidak terkalahkan adalah

N=2^15=32768

Sehingga tiga digit terakhir dari Nadalah 768

cmiiw

kalo menurutku , 768 -6 = 762. karna banyak kemungkinan menang tak terkalahkan ada 6 karena ada 6 tim

Share this post


Link to post
Share on other sites

4. Misal p(x)=a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0

Merujuk kepolinom yang diberikan diperoleh a_3=1, a_2=0, a_1=-1 dan a_0=-127

Karena r,s,t akar-akar dari p(x),maka

r+s+t=-a_2/a_3 =-0/1=0

st+rt+rs=a_1/a_3 =-1/1=-1

rst=-a_0/a_3 =-(-127)/1=127

Sekarang perhatikan bahwa

(r+1/s)(s+1/t)(t+1/r)=(rs+r/t+1+1/st)(t+1/r)

=rst+r+t+1/s+s+1/t+1/r+1/rst

=r+s+t+rst+1/r+1/s+1/t

=r+s+t+rst+(st+rt+rs)/rst

=0+127+(-1)/127

=((127)^2-1)/127

Kak, dari baris 9 ke baris 10 $\frac{1}{rst}$ hilang.

Edited by farizazmi

Share this post


Link to post
Share on other sites

21. n-φ(n)=15

n=φ(n)+15

Jika φ(n) bernilai genap maka n harus bernilai ganjil

Misal φ(n)=2a,a∈N,n=2k+1

2k+1=2a+15↔

2k-2a=14

k-a=7..(i)

Jika φ(n) bernilai ganjil,maka n harus bernilai genap

2k=2a+1+15↔

2k-2a=16

k-a=8..(ii)

Persamaan (i) kontradiksi dg perssamaan (ii)

Sehingga tidak ada bilangan asli n yang memenuhi

n-φ(n)=15

...

cmiiw

argumen anda salah... coba cek n=75 . CMIIW

:wink:

$\phi (75) = 75 * \frac{2}{3} * \frac{4}{5} = 40$ jadi 75 ga memenuhi.

Saya dapetnya n = 39 dan n = 55

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

Syarat sebuah segitiga adalah

a,b,c bilangan real positif dimana a<c , b<c dan memenuhi

a+b>c

Maka ketiga sisi segitiga diatas harus memenuhi ketaksamaan.

5+10>s,maka nilai s∈{11,12,13,14}

Sehingga jumlah semua nilai s yang mungkin adalah 11+12+13+14=50

a tidak perlu < c, begitu juga dengan b.

15 > s, dan

5+s>10 sehingga s > 5

Jadi 5 < s < 15

CMIIW

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now