raja.oktovin

KTO Juli 2015 Bagian A

Recommended Posts

6) Ada segiempat yang siklis ntar pake Ptolemy dapet 100.

OPAB kan ya bang yg siklis?

Cuma saya bingung buktiinnya gimana. Kalo begini gimana?:

Karena $\angle OPB = \angle OAB = 45o$ dan sama2 menghadap sisi OB, berarti P terletak di lingkaran luar segitiga AOB, jadi OPAB siklis.

Mohon koreksi :)

Share this post


Link to post
Share on other sites

 

6) Ada segiempat yang siklis ntar pake Ptolemy dapet 100.

OPAB kan ya bang yg siklis?

Cuma saya bingung buktiinnya gimana. Kalo begini gimana?:

Karena $\angle OPB = \angle OAB = 45o$ dan sama2 menghadap sisi OB, berarti P terletak di lingkaran luar segitiga AOB, jadi OPAB siklis.

Mohon koreksi :)

 

setelah itu coba Anda gunakan Ptolemy's theorem untuk cyclic quadrilateral :) , yakni $ OA \times PB = OP \times AB + PA \times OB$

Share this post


Link to post
Share on other sites

6) Ada segiempat yang siklis ntar pake Ptolemy dapet 100.

OPAB kan ya bang yg siklis?

Cuma saya bingung buktiinnya gimana. Kalo begini gimana?:

Karena $\angle OPB = \angle OAB = 45o$ dan sama2 menghadap sisi OB, berarti P terletak di lingkaran luar segitiga AOB, jadi OPAB siklis.

Mohon koreksi :)

setelah itu coba Anda gunakan Ptolemy's theorem untuk cyclic quadrilateral :) , yakni $ OA \times PB = OP \times AB + PA \times OB$

Iya, sudah saya gunakan dan dapat PB = 100.

Tapi yang saya tanyakan, sahkah pembuktian saya di atas?

Share this post


Link to post
Share on other sites

 

 

 

6) Ada segiempat yang siklis ntar pake Ptolemy dapet 100.

OPAB kan ya bang yg siklis?

Cuma saya bingung buktiinnya gimana. Kalo begini gimana?:

Karena $\angle OPB = \angle OAB = 45o$ dan sama2 menghadap sisi OB, berarti P terletak di lingkaran luar segitiga AOB, jadi OPAB siklis.

Mohon koreksi :)

setelah itu coba Anda gunakan Ptolemy's theorem untuk cyclic quadrilateral :) , yakni $ OA \times PB = OP \times AB + PA \times OB$

Iya, sudah saya gunakan dan dapat PB = 100.

Tapi yang saya tanyakan, sahkah pembuktian saya di atas?

 

bener kok :) cuma sebaiknya kata "sisi OB" diperbaiki menjadi "busur OB"... saran aja hehe

Share this post


Link to post
Share on other sites

6) Ada segiempat yang siklis ntar pake Ptolemy dapet 100.

OPAB kan ya bang yg siklis?

Cuma saya bingung buktiinnya gimana. Kalo begini gimana?:

Karena $\angle OPB = \angle OAB = 45o$ dan sama2 menghadap sisi OB, berarti P terletak di lingkaran luar segitiga AOB, jadi OPAB siklis.

Mohon koreksi :)

setelah itu coba Anda gunakan Ptolemy's theorem untuk cyclic quadrilateral :) , yakni $ OA \times PB = OP \times AB + PA \times OB$
Iya, sudah saya gunakan dan dapat PB = 100.

Tapi yang saya tanyakan, sahkah pembuktian saya di atas?

bener kok :) cuma sebaiknya kata "sisi OB" diperbaiki menjadi "busur OB"... saran aja hehe

Baik, terima kasih koreksinya.

Share this post


Link to post
Share on other sites

6) Ada segiempat yang siklis ntar pake Ptolemy dapet 100.

OPAB kan ya bang yg siklis?

Cuma saya bingung buktiinnya gimana. Kalo begini gimana?:

Karena $\angle OPB = \angle OAB = 45o$ dan sama2 menghadap sisi OB, berarti P terletak di lingkaran luar segitiga AOB, jadi OPAB siklis.

Mohon koreksi :)

setelah itu coba Anda gunakan Ptolemy's theorem untuk cyclic quadrilateral :) , yakni $ OA \times PB = OP \times AB + PA \times OB$
Iya, sudah saya gunakan dan dapat PB = 100.

Tapi yang saya tanyakan, sahkah pembuktian saya di atas?

bener kok :) cuma sebaiknya kata "sisi OB" diperbaiki menjadi "busur OB"... saran aja hehe

Baik, terima kasih koreksinya.

Saya kira soal ini salah karena titik P harus pada persegi dgn sudut 45 hanya mungkin jika titik P adalah titik A atau C :-)

Share this post


Link to post
Share on other sites

6) Ada segiempat yang siklis ntar pake Ptolemy dapet 100.

OPAB kan ya bang yg siklis?

Cuma saya bingung buktiinnya gimana. Kalo begini gimana?:...

setelah itu coba Anda... :) , yakni $ OA \times PB = OP \times AB + PA \times OB$
Iya, sudah saya gunakan dan dapat PB = 100.

Tapi yang saya tanyakan, ...

bener kok :) cuma sebaiknya kata "sisi OB" diperbaiki menjadi "busur OB"... saran aja hehe
Baik, terima kasih koreksinya.
Saya kira soal ini salah karena titik P harus pada persegi dgn sudut 45 hanya mungkin jika titik P adalah titik A atau C :-)

Awalnya saya juga mikir begitu. Tapi saya fikir P bisa juga di dalam, dasarnya karena $\angle OPB = \angle OAB = \frac{\pi}{4}$ dan sama2 menghadap busur OB

Share this post


Link to post
Share on other sites

 

 

 

 

 

 

6) Ada segiempat yang siklis ntar pake Ptolemy dapet 100.

OPAB kan ya bang yg siklis?

Cuma saya bingung buktiinnya gimana. Kalo begini gimana?:

Karena $\angle OPB = \angle OAB = 45o$ dan sama2 menghadap sisi OB, berarti P terletak di lingkaran luar segitiga AOB, jadi OPAB siklis.

Mohon koreksi :)

setelah itu coba Anda gunakan Ptolemy's theorem untuk cyclic quadrilateral :) , yakni $ OA \times PB = OP \times AB + PA \times OB$
Iya, sudah saya gunakan dan dapat PB = 100.

Tapi yang saya tanyakan, sahkah pembuktian saya di atas?

bener kok :) cuma sebaiknya kata "sisi OB" diperbaiki menjadi "busur OB"... saran aja hehe

Baik, terima kasih koreksinya.

Saya kira soal ini salah karena titik P harus pada persegi dgn sudut 45 hanya mungkin jika titik P adalah titik A atau C :-)

 

Nggak kok, kalau kamu gambar lingkaran, semua titik pada lingkaran itu membuat sudutnya 45 derajat. :)

Share this post


Link to post
Share on other sites

6) Ada segiempat yang siklis ntar pake Ptolemy dapet 100.

OPAB kan ya bang yg siklis?

Cuma saya bingung buktiinnya gimana. Kalo begini gimana?:

Karena $\angle OPB = \angle OAB = 45o$ dan sama2 menghadap sisi OB, berarti P terletak di lingkaran luar segitiga AOB, jadi OPAB siklis.

Mohon koreksi :)

setelah itu coba Anda gunakan Ptolemy's theorem untuk cyclic quadrilateral :) , yakni $ OA \times PB = OP \times AB + PA \times OB$
Iya, sudah saya gunakan dan dapat PB = 100.

Tapi yang saya tanyakan, sahkah pembuktian saya di atas?

bener kok :) cuma sebaiknya kata "sisi OB" diperbaiki menjadi "busur OB"... saran aja hehe

Baik, terima kasih koreksinya.

Saya kira soal ini salah karena titik P harus pada persegi dgn sudut 45 hanya mungkin jika titik P adalah titik A atau C :-)

Nggak kok, kalau kamu gambar lingkaran, semua titik pada lingkaran itu membuat sudutnya 45 derajat. :)

Kalau di soalnya titik P dalam lingkaran mungkin iya. Tapi di soalnya kan titik P di dalam persegi ini yg jadi masalah buat saya.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Mungkin ada yang bisa menunjukan gambarnya?

Edited by Acep Andrian

Share this post


Link to post
Share on other sites

Nomor 20 Apakah soal ini benar atau ada perbaikan? Lingkaran dalam yang memotong garis BD?

Share this post


Link to post
Share on other sites

6) Ada segiempat yang siklis ntar pake Ptolemy dapet 100.

OPAB kan ya bang yg siklis?

Cuma saya bingung buktiinnya gimana. Kalo begini gimana?:...

setelah itu coba Anda... :) , yakni $ OA \times PB = OP \times AB + PA \times OB$
Iya, sudah saya gunakan dan dapat PB = 100.

Tapi yang saya tanyakan, ...

bener kok :) cuma sebaiknya kata "sisi OB" diperbaiki menjadi "busur OB"... saran aja hehe
Baik, terima kasih koreksinya.
Saya kira soal ini salah karena titik P harus pada persegi dgn sudut 45 hanya mungkin jika titik P adalah titik A atau C :-)

Awalnya saya juga mikir begitu. Tapi saya fikir P bisa juga di dalam, dasarnya karena $\angle OPB = \angle OAB = \frac{\pi}{4}$ dan sama2 menghadap busur OB

Busur OB ada dimana ya kan O itu titik pusat persegi?

Share this post


Link to post
Share on other sites

Untuk no 6, cara dapat titik $P$ bukannya bisa dengan gambar lingkaran luar OAB, terus ambil titik di lingkaran luar OAB yang ada di dalam persegi ya? Cmiiw

No 20 mungkin kalo masih bermasalah bakal dianulir. Mungkin lho ya :v

Edited by -_-

Share this post


Link to post
Share on other sites

Untuk no 6, cara dapat titik $P$ bukannya bisa dengan gambar lingkaran luar OAB, terus ambil titik di lingkaran luar OAB yang ada di dalam persegi ya? Cmiiw

No 20 mungkin kalo masih bermasalah bakal dianulir. Mungkin lho ya :v

Oke siip :-)

Share this post


Link to post
Share on other sites

4. Dari Vieta, bisa dilihat bahwa $rst=127, rs+st+tr=-1, r+s+t=0$. Jelas $r,s,t$ taknol.


    $(r+\frac{1}{s})(s+\frac{1}{t})(t+\frac{1}{r}) =(\frac{rs+1}{s})(\frac{st+1}{t})(\frac{tr+1}{r})  =\frac{[-(st+tr)][-(tr+rs)][-(rs+st)]}{rst}  =-(r+s)(s+t)(t+r)  =-(-t)(-r)(-s)=rst=127 \fbox{127}$


9. Perhatikan bahwa karena $ABCD$ siklis, lingkaran luar segitiga $ACD$ adalah lingkaran luar segitiga $BCD$. Dan juga, karena $EC$ garis singgung lingkaran luar $ABCD$, berdasar teorema Power of Point, $EC^2=EF\times DF=441. \fbox{441}$


15. Dengan mengesampingkan syarat "tidak ada pemain yang tidak terkalahkan", ada sebanyak $2^{\binom{6}{2}}$ kemungkinan hasil semua pertandingan di turnamen, karena ada sebanyak $\binom{6}{2}$ pertandingan, dan setiap pertandingan menghasilkan tepat $2$ kemungkinan.\\


Sekarang, akan dihitung banyaknya kemungkinan hasil semua pertandingan sehingga ada pemain yang tidak terkalahkan di turnamen ini. Jelas hanya ada maksimum $1$ pemain di turnamen ini yang tidak terkalahkan. Wlog pemain pertama adalah pemain yang dimaksud.\\

Jadi, hanya ada satu kemungkinan hasil pertandingan antara pemain pertama melawan $5$ pemain lainnya, yaitu pemain $1$ menang. Di sisi lain, tidak ada batasan dalam menentukan hasil pertandingan antar 5 pemain lain, jadi ada sebanyak $2^{\binom{5}{2}}$ cara menentukan hasil semua pertandingan antara $5$ pemain ini $\implies$ ada sebanyak $2^{\binom{5}{2}}$ kemungkinan hasil turnamen di kasus ini. Dengan menganalisis kasus pemain lain tidak terkalahkan, total ada sebanyak $6\times 2^{\binom{5}{2}}$ kemungkinan hasil semua pertandingan sehingga ada yang tidak terkalahkan.\\

Oleh karena itu, banyaknya kemungkinan hasil semua pertandingan sehingga tidak ada pemain yang tak terkalahkan adalah $2^{\binom{6}{2}}-6\times 2^{\binom{5}{2}}=2^{15}-6\times 2^{10}=32768-6144=26624=624(mod 1000)\fbox{624}$


Edited by -_-

Share this post


Link to post
Share on other sites

 

18. 1,11,111,3,dan 9

ada 5 bilangan kuat

cmiiw

7, 49, juga termasuk bilangan kuat, dan masih ada bilangan kuat lainnya

 

37 juga bisa, 27 juga bisa, 81, 243 , 729 pun bisa

Share this post


Link to post
Share on other sites

10. Misalkan x merupakan bilangan real sehingga 2^x+4^x+8^x=1.tentukan nilai dari 2^(x+1)-2^4x.

Karena 2^x>0,dan 4^x>0 ,dan 8^x>0

, maka dengan AM-GM diperoleh

2^x+4^x+8^x≥3∛(4^3x )

2^x+4^x+8^x≥3×4^x

1≥3×4^x

4^x≤1/3

2^2x≤1/3

2^x≤1/√3

1/√3+1/3+(1/√3)^3=1/3+√3/3+1/3×√3/3=1/3+3×√3/9+√3/9=1/3+4×√3/9>1

cmiiw

saya jawab satu wkwk

Share this post


Link to post
Share on other sites

 

4. Misal p(x)=a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0

Merujuk kepolinom yang diberikan diperoleh a_3=1, a_2=0, a_1=-1 dan a_0=-127

Karena r,s,t akar-akar dari p(x),maka

r+s+t=-a_2/a_3 =-0/1=0

st+rt+rs=a_1/a_3 =-1/1=-1

rst=-a_0/a_3 =-(-127)/1=127

Sekarang perhatikan bahwa

(r+1/s)(s+1/t)(t+1/r)=(rs+r/t+1+1/st)(t+1/r)

=rst+r+t+1/s+s+1/t+1/r+1/rst

=r+s+t+rst+1/r+1/s+1/t

=r+s+t+rst+(st+rt+rs)/rst

=0+127+(-1)/127

=((127)^2-1)/127

Kak, dari baris 9 ke baris 10 $\frac{1}{rst}$ hilang.

 

kalau nda salah jawaban saya 127 

Share this post


Link to post
Share on other sites

 

10. Misalkan x merupakan bilangan real sehingga 2^x+4^x+8^x=1.tentukan nilai dari 2^(x+1)-2^4x.

Karena 2^x>0,dan 4^x>0 ,dan 8^x>0

, maka dengan AM-GM diperoleh

2^x+4^x+8^x≥3∛(4^3x )

2^x+4^x+8^x≥3×4^x

1≥3×4^x

4^x≤1/3

2^2x≤1/3

2^x≤1/√3

1/√3+1/3+(1/√3)^3=1/3+√3/3+1/3×√3/3=1/3+3×√3/9+√3/9=1/3+4×√3/9>1

cmiiw

saya jawab satu wkwk

 

jawabannya memang 1 . mungkin yang diatas sedikit keliru :nod:

Share this post


Link to post
Share on other sites

 

 

4. Misal p(x)=a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0

Merujuk kepolinom yang diberikan diperoleh a_3=1, a_2=0, a_1=-1 dan a_0=-127

Karena r,s,t akar-akar dari p(x),maka

r+s+t=-a_2/a_3 =-0/1=0

st+rt+rs=a_1/a_3 =-1/1=-1

rst=-a_0/a_3 =-(-127)/1=127

Sekarang perhatikan bahwa

(r+1/s)(s+1/t)(t+1/r)=(rs+r/t+1+1/st)(t+1/r)

=rst+r+t+1/s+s+1/t+1/r+1/rst

=r+s+t+rst+1/r+1/s+1/t

=r+s+t+rst+(st+rt+rs)/rst

=0+127+(-1)/127

=((127)^2-1)/127

Kak, dari baris 9 ke baris 10 $\frac{1}{rst}$ hilang.

 

kalau nda salah jawaban saya 127 

 

jawabannya memang 127. pakai vieta aja...

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now