Jump to content

Leaderboard

The search index is currently processing. Leaderboard results may not be complete.

Popular Content

Showing content with the highest reputation since 01/06/2015 in all areas

  1. 4 points
    Karena 13 habis membagi 2x+3y, maka 13 juga habis membagi 8(2x+3y) Perhatikan juga bahwa 13 habis membagi 13x dan 26y Sehingga 13 habis membagi 8(2x+3y)-(13x+26y) 13 habis membagi 3x-2y terbukti
  2. 4 points
    Coba jawab: Bila ada kesalahan mohon dikoreksi.
  3. 4 points
    · Untuk sembarang lingkaran $ C$ dengan jari jari $ r>0$ , dipunyai $ z=r{{e}^{{i\theta }}}$, $ 0\le \theta \le 2\pi $ , $ dz=ir{{e}^{{i\theta }}}d\theta $. Sehingga $ \displaystyle \frac{1}{{2\pi i}}\oint_{C}{{\frac{{{{{\left( {1+z} \right)}}^{{2n}}}}}{{{{z}^{{n+1}}}}}dz}}=\frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{0}^{{2\pi }}{{\frac{{{{{\left( {1+r{{e}^{{i\theta }}}} \right)}}^{{2n}}}}}{{{{r}^{{n+1}}}{{e}^{{i\left( {n+1} \right)\theta }}}}}ir{{e}^{{i\theta }}}d\theta }}=\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{0}^{{2\pi }}{{\frac{1}{{{{r}^{n}}{{e}^{{in\theta }}}}}\sum\limits_{{k=0}}^{{2n}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2n} \\ k \end{array}} \right)}}{{r}^{k}}{{e}^{{ik\theta }}}d\theta }}$ $ \displaystyle =\frac{1}{{2\pi }}\sum\limits_{{k=0}}^{{2n}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2n} \\ k \end{array}} \right)}}{{r}^{{k-n}}}\int\limits_{0}^{{2\pi }}{{{{e}^{{i\left( {k-n} \right)\theta }}}d\theta }}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2n} \\ n \end{array}} \right)$ hasil terakhir diperoleh mengingat untuk $ k\ne n$, integral bernilai 0. · Karena hasil diatas berlaku untuk sembarang $ r>0$, kita dapat memilih lingkaran $ C$ dengan jari – jari $ r=1$ yaitu $ \left| z \right|=1$ . dari hasil diatas kita memiliki $ \displaystyle S=\sum\limits_{{n=0}}^{\infty }{{\frac{1}{{{{5}^{n}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2n} \\ n \end{array}} \right)}}=\frac{1}{{2\pi i}}\sum\limits_{{n=0}}^{\infty }{{\oint_{C}{{\frac{{{{{\left( {1+z} \right)}}^{{2n}}}}}{{{{5}^{n}}{{z}^{{n+1}}}}}dz}}}}=\frac{1}{{2\pi i}}\oint_{C}{{\sum\limits_{{n=0}}^{\infty }{{\frac{{{{{\left( {1+z} \right)}}^{{2n}}}}}{{{{5}^{n}}{{z}^{{n+1}}}}}}}dz}}$ kita dapat melakukan ini karena pada $ \left| z \right|=1$ deret konvegen (deret geometri dengan ratio $ \displaystyle \left| {\frac{{{{{\left( {1+z} \right)}}^{2}}}}{{5z}}} \right|\le \frac{{1+2\left| z \right|+{{{\left| z \right|}}^{2}}}}{{5\left| z \right|}}=\frac{4}{5}<1$ ) jadi kita punyai $ \displaystyle S=\frac{1}{{2\pi i}}\oint_{C}{{\frac{{\left( {{1}/{z}\;} \right)}}{{1-{{{{{\left( {1+z} \right)}}^{2}}}}/{{5z}}\;}}dz}}=\frac{1}{{2\pi i}}\oint_{C}{{\frac{{-10}}{{\left( {z-\left( {3+\sqrt{5}} \right)} \right)\left( {z-\left( {3-\sqrt{5}} \right)} \right)}}dz}}$ Dengan menggunakan teorema residu di $ z=3-\sqrt{5}$ diperoleh $ \displaystyle S=\frac{1}{{2\pi i}}\cdot 2\pi i\frac{{-10}}{{-2\sqrt{5}}}=\sqrt{5}$
  4. 4 points
  5. 3 points
  6. 3 points
    Diberikan $15$ titik berbeda pada segitiga $ABC$ sebagai berikut : tiga titik adalah titik $A$, $B$ dan $C$ ; $3$ titik lain pada sisi $AB$ ; $4$ titik lain pada sisi $BC$ ; dan $5$ titik lain pada sisi $CA$. Tentukan banyak segitiga dengan luas positif di mana $15$ titik tadi sebagai titik sudutnya. Jika $702$, $787$, dan $855$ masing-masing dibagi oleh suatu bilangan bulat positif $m$, sisa bagi positifnya adalah $r$. Jika $412$, $722$, dan $815$ masing-masing dibagi oleh suatu bilangan bulat positif $n$, sisa bagi positifnya adalah $s$, dengan $s \neq r$. Tentukan $m+n+r+s$. Untuk suatu bilangan bulat positif $n$, misalkan $d_{n}$ adalah digit satuan dari $1+2 +\dots+ n$. Tentukan sisanya jika $\sum_{n=1}^{2017} d_n$ dibagi oleh $1000$. Sebuah limas segitiga mempunyai panjang sisi alas $20$, $20$, dan $24$. Ketiga sisi tegaknya mempunyai panjang $25$. Volume dari limas tersebut adalah $m\sqrt{n}$, dengan $m$ dan $n$ bilangan bulat positif, dan $n$ tidak habis dibagi oleh kuadrat dari suatu prima apapun. Tentukan $m+n$. Sebuah bilangan rasional jika ditulis dalam basis $8$ berbentuk $\overline{ab},\overline{cd}$ dengan digit-digitnya tidak ada yang bernilai $0$, dan berbentuk $\overline{bb},\overline{ba}$ jika ditulis dalam basis $12$. Tentukan bilangan desimal $\overline{abc}$. Diberikan sebuah segitiga sama kaki yang besar dua sudut yang sama besar masing-masing adalah $x$. Dipilih sebarang dua titik pada lingkaran luarnya. Peluang garis yang ditarik dari dua titik tersebut memotong segitiga adalah $\frac{14}{25}$. Tentukan selisih dari nilai terbesar $x$ dan nilai terkecil $x$ yang mungkin. Untuk suatu bilangan bulat non-negatif $a$ dan $b$ dengan $a+b \leq 6$, misalkan $T(a,b) = \left(\begin{array}{c} 6 \\ a \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} 6 \\ b \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} 6 \\ a+b \end{array}\right)$. Misalkan $S$ adalah jumlah dari semua nilai $T(a,b)$ yang mungkin, di mana $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat non-negatif dengan $a+b \leq 6$. Tentukan sisanya jika $S$ dibagi oleh $1000$. Sebarang dua bilangan real dipilih secara bersamaan dari interval $(0, 75)$. Misalkan $O$ dan $P$ dua titik pada bidang dengan $OP = 200$. Misalkan $Q$ dan $R$ adalah dua titik sehingga $\angle POQ$ dan $\angle POR$ berturut-turut sebesar $a$ dan $b$, dan $\angle OQP$ dan $\angle ORP$ keduanya siku-siku. Peluang bahwa $QR \leq 100$ adalah $\frac{m}{n}$, di mana $m$ dan $n$ keduanya bilangan bulat positif yang relatif prima. Tentukan $m+n$. Misalkan $a_{10} = 10$ dan untuk setiap bilangan bulat positif $n > 10$ berlaku $a_{n} = 100a_{n-1} + n$. Tentukan bilangan bulat positif terkecil $n > 10$ sehingga $a_n$ merupakan kelipatan $99$. Diberikan $z_1 = 18+3i$, $z_2 = 18+39i$, dan $z_3 = 78+99i$, dengan $i = \sqrt{-1}$. Misalkan $z$ adalah satu-satunya bilangan kompleks di mana $\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} . \frac{z - z_2}{z - z_3}$ adalah bilangan real dengan bagian imajiner dari $z$ bernilai sebesar mungkin. Tentukan bagian real dari $z$. Diberikan $9$ angka $1, 2, 3, ... ,9$ yang akan ditempatkan dalam suatu petak $3\times3$. Misalkan $a_1, a_2$, dan $a_3$ berturut-turut adalah median dari angka-angka pada baris pertama, kedua, dan ketiga, dan $m$ adalah median dari $\{a_1, a_2, a_3\}$. Misalkan $Q$ adalah banyak kemungkinan yang mungkin saat $m = 5$. Tentukan sisanya jika $Q$ dibagi oleh $1000$. Suatu himpunan $S$ disebut bebas-kali jika tidak ada $a, b, c \in S$ ($a, b, c$ tidak harus berbeda) sehingga $ab = c$. Sebagai contoh, himpunan kosong dan himpunan $\{16,20\}$ adalah himpunan bebas-kali, sedangkan himpunan $\{4,16\}$ dan $\{2,8,16\}$ bukan himpunan bebas-kali. Tentukan banyaknya himpunan bagian yang bebas-kali dari himpunan $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$. Untuk setiap $m \geq 2$, misalkan $Q(m)$ adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga untuk setiap $n \geq Q(m)$, selalu ada bilangan kubik sempurna $k^3$ yang memenuhi $n < k^3 < mn$. Tentukan sisanya jika $\sum_{m=2}^{2017} Q(m)$ dibagi oleh $1000$. Diberikan $a > 1$ dan $x > 1$ yang memenuhi $\log_{a}(\log_{a}(\log_{a} 2) + \log_{a} 24 + 128)$ dan $\log_{a} (\log_{a} x) = 256$. Tentukan sisanya jika $x$ dibagi oleh $1000$. Pada gambar, luas terkecil dari segitiga sama sisi yang sisi-sisinya terletak pada segitiga siku-siku yang panjanganya $2\sqrt{3}$, $5$, dan $\sqrt{37}$ adalah $\frac{m \sqrt{p}}{n}$, dengan $m$, $n$, dan $p$ adalah bilangan bulat positif, $m$ dan $n$ relatif prima, dan $p$ tidak habis dibagi oleh kuadrat dari prima apapun. Tentukan $m+n+p$.
  7. 3 points
  8. 3 points
  9. 2 points
    Tentukan nilai dari $\frac{3}{1!2!3!}+\frac{4}{2!3!4!}+...+\frac{2016}{2014!2015!2016!}$
  10. 2 points
    $f(10^n )=f(10^n-1)+1$ $10^n-1$ pasti dalam bentuk $\underbrace{99\cdots9}_{n}$ Logikanya seperti ini, untuk mencari $f(10^n-1)$, kita harus mencari berapa banyak bilangan dengan banyak digit n dan angka $1$ mulai dari digit bilangan bagian kiri sampai kanan, lalu hasilnya ditambah. Misalnya untuk mencari $f(999)$, kita cari berapa banyak bilangan dengan angka $1$ yang muncul dalam $\overline{abc}$ mulai dari $a$ sampai $c$, seperti $\overline{1bc}$ , $\overline{a1c}$, dan $\overline{ab1}$. Tetapi kita juga harus mencari banyak bilangan dengan angka $1$ yang muncul dalam $\overline{de}$ dan $\overline{f}$ Agar mempermudah mencari $f(999)$ tanpa perlu mencari banyak bilangan tersebut, anggap bahwa $\overline{0a} =\overline{a}$ atau $\overline{0a0}= \overline{a0}$. Dengan demikian, kita juga dapat mencari $f(10^n-1)$. $f(10^n-1)= \underbrace{10^{n-1}+10^{n-1}+\cdots+10^{n-1}}_{n}=n(10^{n-1})$ Dimana $10^{n-1}$ adalah banyak bilangan dengan angka $1$ di semua tempat dan $n$ adalah banyak $10^{n-1}$. Maka $f(10^n )=n(10^{n-1} )+1$ (Terbukti)
  11. 2 points
    Kasus 1 : $pq, qr\ dan\ rp$ rasional, jelas bahwa $\frac{pr}{rq}$ juga rasional, sehingga $\frac{pr}{rq}=\frac{p}{q}$ juga rasional Kasus 2 : jika salah satu dari $pq, qr\ dan\ rp$ irasional, rasional + rasional + irasional jelas akan menghasilkan irasional, maka tidak dapat dibentuk $pq + qr + rp$ bilangan rasional Kasus 3 : jika dua diantara $pq,qr\ dan\ rp$ irasional, rasional + irasional + irasional, maka jumlah dari kedua bilangan irasional harus menghasilkan bilangan rasional, misalkan bilangan irasional pertama = $x$ dan bilangan irasional kedua = $y$, maka $x + y =\frac{a}{b}$, haruslah ada bilangan $b$ sehingga $b(x+y)=a$, dapat dilihat jika $x+y$ tidak sama dengan 0, maka $a$ tidak rasional, sehingga $x+y$ bernilai 0 atau $x=-y$, sedangkan jika $x$ merupakan jumlah bilangan rasional dan irasional dengan $x=m+n$, $m$ rasional dan $n$ irasional, $x+y=m+n+y=\frac{a}{b}$, dengan demikian haruslah $n=-y$, tanpa mengurangi keumuman, jika $pq\ dan\ qr$ merupakan bilangan irasional dan $rp$ bilangan rasional, sehingga $pq=-qr$, maka $p=-r$, dengan $pr=-r^2$, suatu kontradiksi karena $p,q,r$ merupakan anggota bilangan real positif maka $pq,qr\ dan\ rp$ harus benilai positif, jika $pq=x+y$, dengan $x$ rasional dan $y$ irasional, maka $qr=-y$, juga merupakan suatu kontradiksi karena $qr$ haruslah positif. Kasus 4 : jika $pq,qr\ dan\ rp$ irasional, irasional + irasional + irasional, maka akan menghasilkan bilangan irasional, sehingga tidak dapat dibentuk $pq+rq+rp$ bilangan rasional Jadi, $pq,qr\ dan\ rp$ haruslah rasional, sehingga $\frac{pr}{rq}=\frac{p}{q}$ juga rasional, untuk setiap $p,q\in X$ $$CMIIW$$
  12. 2 points
    Himpunan $\{ \sqrt{2},2\sqrt{2},3\sqrt{2} \}$ memenuhi persyaratan di soal, tapi semua elemennya irrasional
  13. 2 points
    Itu nomor 1 kyk gini ya ? Banyak cara menghubungkan ke-15 titik adalah \(\frac{15!}{3! \times 12!} = 455 \) cara. Banyak cara menghubungkan ke-5 titik pada sisi \(AB\) (mereka membentuk segitiga dengan luas 0) adalah \(\frac{5!}{3! \times 2!} = 10\) cara. Banyak cara menghubungkan ke-6 titik pada sisi \(BC\) (mereka membentuk segitiga dengan luas 0) adalah \(\frac{6!}{3! \times 3!} = 20\) cara. Banyak cara menghubungkan ke-7 titik pada sisi \(CA\) (mereka membentuk segitiga dengan luas 0) adalah \(\frac{7!}{3! \times 4!} = 7\) cara. Maka jawabannya adalah \( 455 - 10 - 20 - 7 = 418 \) cara.
  14. 2 points
  15. 2 points
    Nomor 1 Nomor 2 Nomor 3 Nomor 5 Nomor 7 Nomor 8 Nomor 9
  16. 2 points
    Biasalnya OSK no.1 gampang.. Ini "agak" susah no.1 Misalkan $n^2 + n + 2010 = m^2$ Maka diperoleh $n^2 + n + 2010 - m^2 = 0$ Lalu digunakan rumus abc dengan $a = 1$, $b = 1$, dan $c=2010 - m^2$ $n_{(1,2)} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ $n_{(1,2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(2010-m^2)}}{2(1)}$ $n_{(1,2)} = \frac{-1\pm \sqrt{m^2 - 8039}}{2}$ Lalu perhatikan pula bahwa $n$ adalah bilangan asli maka $m^2 - 8039$ haruslah kuadrat sempurna.. Misalkan lagi $m^2 - 8039 = k^2$ persamaan tersebut ekuivalen dengan $m^2 -k^2 = 8039$. Diketahui juga fakta bahwa $8039$ adalah bilangan prima jadi perkalian dua bilangan yang menghasilkan $8039$ adalah $8039 \times 1$ $(m+k)(m-k) = 8039 \times 1$ karena $m+k > m-k$ maka $m+k = 8039$ dan $m-k = 1$ diperoleh $m = 4020$ dan $k = 4019$ Oke sekarang kita punya $n_{(1,2)} = \frac{-1\pm \sqrt{m^2 - 8039}}{2}$ $n_{(1,2)} = \frac{-1\pm \sqrt{k^2}}{2}$ $n_{(1,2)} = \frac{-1\pm 4019}{2}$ $n_1 = \frac{-1 + 4019}{2}$ dan $n_2 = \frac{-1 - 4019}{2}$ diperoleh $n_1 = 2009$ dan $n_2 = -2010$ Karena $n$ bilangan asli maka nilai $n$ yang memenuhi adalah $2009$
  17. 2 points
    Tentukan banyaknya bilangan asli $N$ yang kurang dari 1000 sehingga $x^{\floor{x}} = N$ memiliki sebuah solusi untuk $x$?
  18. 2 points
    Perhatikan bahwa fungsi $f(x) = x^{\lfloor x \rfloor}$ bersifat monoton naik untuk $x > 1$. Perhatikan bahwa $f(5) = 5^5 = 3125 > 1000$. Akibatnya, kita dapatkan bahwa $1 \leq x < 5$ dan $\lfloor x \rfloor$ hanya dapat bernilai 1, 2, 3 atau 4. Kita bagi kasus: a) $\lfloor x \rfloor = 1$ maka $1 \leq x < 2$ dan $1 \leq f(x) < 2$. Ada 1 kemungkinan nilai dari $f(x)$, yaitu 1. b) $\lfloor x \rfloor = 2$ maka $2 \leq x < 3$ dan $4 \leq f(x) < 9$. Ada 4 kemungkinan nilai dari $f(x)$, yaitu dari 4 sampai 8. c) $\lfloor x \rfloor = 3$ maka $3 \leq x < 4$ dan $27 \leq f(x) < 64$. Ada 37 kemungkinan nilai dari $f(x)$, yaitu dari 27 sampai 63. d) $\lfloor x \rfloor = 4$ maka $4 \leq x < 5$ dan $256 \leq f(x) < 625$. Ada 369 kemungkinan nilai dari $f(x)$, yaitu 256 sampai 624. Kita dapatkan bahwa banyaknya bilangan asli $N$ kurang dari 1000 sehingga persamaan diatas punya solusi adalah $1 + 4 + 37 + 369 = 411$.
  19. 2 points
    Delapan orang penyanyi dijadwalkan tampil pada konser-konser. Satu kali konser, tampil 4 orang penyanyi. Tentukan berapakah banyaknya konser min- imal agar masing-masing penyanyi tepat bertemu dengan penyanyi lain dalam jumlah yang sama!
  20. 2 points
  21. 2 points
    Apa bisa seperti ini Misalkan $\omega$ menyinggung $BC$ dan lingkaran luar segitiga $ABC$ berturut-turut di $D$ dan $E$. Perhatikan bahwa homothety dengan pusat $E$ dan rasio $\frac{R}{r}$ (definisi $r$ dan $R$ seperti punyanya mas Erwin di atas) memetakan $D$ ke $A$ sehingga $A,D,E$ segaris. Selain itu, $\angle ABD=\angle ACB=\angle DEB$. Akibatnya $ABD$ sebangun dengan $AEB$. Sehingga diperoleh \[ \frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}\Leftrightarrow AB^2=AD\times AE \] Namun dengan Power of Point diperoleh pula $AN^2=AD\times AE$. Jadi, $AB^2=AN^2$. Dengan demikian $AB=AN$
  22. 2 points
    maaf belum lancar pakek latex, jadinya kayak gini. mohon koreksinya Penyelesaian.docx
  23. 2 points
    Lihat ada 900 buah palindrom, pasangkan palindrom ABCBA dengan (10-A)(9-B)(9-C)(9-B)(10-A). lihat bahwa semua palindrom punya pasangan sendiri. Lihat jumlah 1 pasang 110000 . Ada 450 pasang (900/2). maka jumlahnya 450 *110000 = 49500000 , jumlah digitnya 18
  24. 1 point
    Tentukan sisa pembagian dari 132011 oleh 10.
  25. 1 point
    1. Buktikan bahwa \[16 < \sum_{k=1}^{80} \frac{1}{\sqrt{k}} < 17\] 2. Diberikan $a,b,c$ dan $d$ merupakan solusi dari \[x^{2018}-11x+10=0\] Tentukan \[\sum_{n=1}^{2017} ((a^n-b^n)+(c^n+d^n))\] 3. Tentukan nilai dari \[\frac{1}{2} + \frac{1}{2+4} +\frac{1}{2+4+6}+...+\frac{1}{2+4+6+...+4034}\] 4. Tentukan nilai dari \[\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+...+\frac{2017}{2015!+2016!+2017!}\] 5. Tentukan nilai dari \[\sum_{k=1}^{2017} \frac{1}{(k+1)\sqrt{k} + k\sqrt{k+1}}\] 6. Tentukan nilai dari \[\sum_{k=1}^{2017} \frac{1}{\sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k} + \frac{1}{...}}}\] 7. Buktikan jika $a > b > 0$ dan \[x=\frac{1+a+a^2+a^3+...+a^{n-1}}{1+a+a^2+a^3+...+a^n}\] \[y=\frac{1+b+b^2+b^3+...+b^{n-1}}{1+b+b^2+b^3+...+b^n}\] maka $x < y$. 8. Diberikan $a_n = \frac{n}{2017}$ untuk $n \in \mathbb{N}$. Tentukan nilai dari \[\sum_{k=1}^{2017} \frac{a_k^5}{1 + 5a_k^4 - 10a_k^3 + 10a_k^2 - 5a_k}\] 9. Diberikan fungsi $f: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}_0$ dimana $\mathbb{N}_0=\mathbb{N} \cup \{0\}$. Jika $f(m+1,n) = f(m,n) + m$ dan $f(m,n+1)=f(m,n) + n$ dimana $m,n \in \mathbb{N}$ serta $f(1,1)=0$, tentukan semua pasangan $(p,q)$ yang memenuhi $f(p,q)=2017$. 10.Diberikan $\triangle ABC$, ditarik garis lurus beruturut-turut dari titik $A,B,C$ dan memotong sisi dihadapannya di titik $F,D,E$ serta ketiga garis tersebut berpotongan di titik $G$. Jika panjang $DG=GF=GE$ dan $AG+BG+CG=43$, tentukan $AG \cdot BG \cdot CG$.
  26. 1 point
  27. 1 point
  28. 1 point
    Bagian A 3. Hitunglah \(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{sin x} - \frac{1}{tan x}\)
  29. 1 point
    Pada suatu papan catur berukuran $2017 \times n$, Ani dan Banu melakukan permainan. Pemain pertama memilih suatu persegi dan kemudian mewarnainya dengan warna merah. Pemain berikutnya memilih suatu persegi dari daerah yang belum diberi warna merah dan kemudian mewarnainya dengan warna merah. Persegi yang dipilih boleh sebarang ukuran namun harus tepat menutup sejumlah persegi satuan pada papan catur. Kemudian kedua pemain bergantian melakukan hal tersebut. Seorang pemain dikatakan menang, jika pemain berikutnya tidak bisa lagi melanjutkan permainan. Jika Ani mendapat giliran pertama, tentukan semua nilai $n \geq 2017$ sehingga Ani mempunyai strategi untuk memenangkan permainan.
  30. 1 point
    Saya pake Teorema Sisa Cina KTO MTK no 7.docx
  31. 1 point
    Hmm mungkin bisa difaktor kan stiap sukunya? Kayak $n^3 - 1 = (n - 1)(n^2 + n + 1)$ sama $n^3 + 1 = (n + 1)(n^2 - n + 1)$?
  32. 1 point
    periksa kekonvergenan dari \(\int_{-2}^{2} \frac{ln|x|}{x}\)
  33. 1 point
    Misal deret \(\sum a_n(x-1)^n \) memiliki jari-jari kekonvergenan 6, sedangkan deret \(\sum b_n(x-1)^n \) memiliki jari-jari kekonvergenan 4. Apakah deret \(\sum (a_n(x-1)^n +b_n(x+1)^n)\) konvergen di \(x = -4\)dan \(x = 8\)? Jelaskan !
  34. 1 point
    Diskusi dan pembahasan soal dapat dibahas di sini Diketahui $x-y=10$ dan $xy=10$. Nilai $x^4 +y^4$ adalah... Empat siswa Adi, Budi, Cokro, dan Dion bertanding balap sepeda. Kita juga diberikan sebagian informasi sebagai berikut: Setiap siswa sampai di garis finish pada waktu yang berlainan Adi bukan juara pertama Cokro kalah dari Budi Dengan hanya mengetahui informasi ini saja, banyaknya susunan juara pertama, kedua, ketiga, dan keempat adalah... Banyaknya bilangan asli $k$ yang memenuhi $k|(n^7-n)$ untuk semua bilangan asli $n$ adalah... Pada sebuah lingkaran dengan pusat O, talibusur AB berjarak 5 dari titik O dan talibusur AC berjarak $5\sqrt{2}$ dari titik O. Jika panjang jari-jari lingkaran 10, maka kuadrat dari panjang BC adalah... Jika $\frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(d-a)}=-\frac{4}{7}$, maka nilai dari $\frac{(a-c)(b-d)}{(a-b)(c-d)}$ adalah... Pada suatu kotak ada sekumpulan bola berwarna merah dan hitam yang secara keseluruhannya kurang dari 1000 bola. Misalkan diambil dua bola. Peluang terambilnya dua bola merah adalah $p$ dan peluang terambilnya dua bola hitam adalah $q$ dengan $p-q=\frac{23}{37}$. Selisih terbesar yang mungkin dari banyaknya bola merah dan hitam adalah... Misalkan $s(n)$ menyatakan faktor prima terbesar dari $n$ dan $t(n)$ menyatakan faktor prima terkecil dari $n$. Banyaknya bilangan asli $n$ anggota ${1,2,...,100}$ sehingga $t(n)+1=s(n)$ adalah... Semua titik sudut suatu persegi dengan panjang sisi s terletak pada batas dari juring lingkaran berjari-jari $r$ yang sudut pusatnya $60$ derajat. Jika persegi diletakkan secara simetris di dalam juring, maka nilai $\frac{r^2}{s^2}$ adalah... Misalkan $a,b,c$ bilangan real positif yang memenuhi $a+b+c=1$. Nilai minimum dari $\frac{a+b}{abc}$ adalah... Sebuah hotel mempunyai kamar bernomor 000 sampai dengan 999. Hotel tersebut menerapkan aturan aneh sebagai berikut: jika suatu kamar berisi tamu dan sembarang dua digit nomor kamar tersebut dipertukarkan, maka diperoleh nomor kamar yang sama atau nomor kamar yang tidak berisi tamu. Maksimal banyaknya kamar yang terisi tamu adalah... Fungsi $f$ memetakan himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan bulat tak negatif. Fungsi tersebut memenuhi $f(1)=0$ dan untuk setiap bilangan asli berbeda $m,n$ dengan $m|n$, berlaku $f(m)<f(n)$. Jika diketahui $f(8!)=11$, maka nilai dari $f(2016)$ adalah... Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AC=\frac{1}{2}(AB+BC)$. Misalkan $K$ dan $M$ berturut-turut titik tengah $AB$ dan $BC$. Titik $L$ terletak pada sisi $AC$ sehingga $BL$ adalah garis bagi sudut $ABC$. Jika $\angle{ABC}=72$ derajat, maka besarnya sudut $KLM$ sama dengan... Misalkan $P(x)$ suatu polinom berderajat 4 yang memiliki nilai maksimum 2018 di $x=0$ dan $x=2$. Jika $P(1)=2017$, maka nilai $P(3)$ adalah... Terdapat enam anak A,B,C,D,E dan F akan saling bertukar kado. Tidak ada yang menerima kadonya sendiri, dan kado dari A diberikan kepada B. Banyaknya cara membagikan kado dengan cara demikian adalah... Bilangan asli terbesar $n$ sehingga $n!$ dapat dinyatakan sebagai hasil kali perkalian dari $n-4$ bilangan asli berurutan adalah... Pada segitiga ABC titik K dan L berturut-turut adalah titik tengah AB dan AC. Jika CK dan BL saling tegak lurus, maka nilai minimum dari cot B + cot C adalah... Misalkan $a,b,c$ dan $d$ bilangan-bilangan bulat positif. Jajar genjang yang dibatasi oleh garis $y=ax+c,y=ax+d,y=bx+c,y=bx+d$ memiliki luas $18$. Jajar genjang yang dibatasi oleh garis $y=ax+c,y=ax-d,y=bx+c,y=bx-d$ memiliki luas $72$. Nilai terkecil yang mungkin untuk $a+b+c+d$ adalah... Seratus bilangan bulat disusun mengelilingi lingkaran sedemikian sehingga (menurut arah jarum jam) setiap bilangan lebih besar daripada hasil penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Maksimal banyaknya bilangan bulat positif yang terdapat pada lingkaran itu adalah... Untuk sebarang bilangan asli $n$, misalkan $S(n)$ adalah jumlah digit-digit dari $n$ dalam penulisan desimal. Jika $S(n)=5$, maka nilai maksimum dari $S(n^5)$ adalah... Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB=12,BC=5$ dan $AC=13$. Misalkan $P$ suatu titik pada garis bagi $\angle A$ yang terletak di dalam $ABC$ dan misalkan $M$ suatu titik pada sisi $AB$ (dengan $A\neq M\neq B$). Garis $AP$ dan $MP$ memotong $BC$ dan $AC$ berturut-turut di $D$ dan $N$, Jika $\angle MPB=\angle PCN$ dan $\angle NPC = \angle MBP$, maka nilai $\frac{AP}{PD}$ adalah...
  35. 1 point
    Misalkan $x$ dan $y$ bilangan real yang memenuhi $x^2 − 2xy + 2y^2 − 4y + 4 = 0$. Tentukan nilai dari $x^4 + y^4$. Pada sebuah papan berukuran $3 \times 3$, dua kotak diwarnai biru dan dua kotak lainnya diwarnai merah demikian sehingga dua kotak yang sama warna selalu tidak sekolom maupun sebaris. Tentukan banyak pewarnaan yang demikian. Tentukanlah banyaknya permutasi $(a_1, a_2, \dotsc, a_{10})$ dari $1, 2, 3, \dotsc, 10$ yang memenuhi $$|a_1 - 1| + |a_2 - 2| + \dotsb + |a_{10} - 10| = 4.$$ Pada segitiga $ABC$, $M$ adalah titik tengah $BC$ dan $G$ adalah titik berat segitiga $ABC$. Sebuah garis $l$ melalui $G$ memotong ruas garis $AB$ di $P$ dan ruas garis $AC$ di $Q$, dimana $P\neq B$ dan $Q\neq C$. JIka $[XYZ]$ menyatakan luas segitiga $XYZ$, tunjukkan bahwa $$\frac{[BGM]}{[PAG]}+\frac{[CMG]}{[QGA]}=\frac{3}{2}$$ Untuk $a,b,c,d,e$ bil real non negatif yang mmnuhi $\frac{1}{4+a}+\cdots+\frac{1}{4+e}=1$. Buktikan bahwa $\frac{a}{4+a^2}+\cdots+\frac{e}{4+e^2}\le1$
  36. 1 point
    Mudah diperiksa dengan partial fraction (gunakan cover up rule) bahwa $\displaystyle S=\prod\limits_{{k=0}}^{n}{{\frac{1}{{x+k}}}}=\frac{1}{{n!}}\sum\limits_{{k=0}}^{n}{{{{{\left( {-1} \right)}}^{k}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ k \end{array}} \right)\frac{1}{{x+k}}}}$ Jadi $\displaystyle \int{{Sdx}}=\frac{1}{{n!}}\sum\limits_{{k=0}}^{n}{{{{{\left( {-1} \right)}}^{k}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ k \end{array}} \right)\int{{\frac{{dx}}{{x+k}}}}}}=\frac{1}{{n!}}\sum\limits_{{k=0}}^{n}{{{{{\left( {-1} \right)}}^{k}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ k \end{array}} \right)\ln \left( {x+k} \right)}}+c$
  37. 1 point
    No 3. \(\begin{align*} x^2 -2xy + 2y^2 - 4y + 4 &= 0\\ x^2 -2xy + y^2 + y^2 - 4y +4 &= 0\\ (x-y)^2 + (y-2)^2 &= 0 \end{align*}\) Dipenuhi bila \(x = y\) dan \(y = 2\) sehingga \(x = 2\) dan \(x^4 + y^4 = 32\)
  38. 1 point
    No. 4, saya cuma nguli aja alias brute force, nguli gak profesional, begini: Jika n adalah bilangan 2 angka, maka terdapat puluhan dan satuan, sebut saja n=ab, di mana a sebagai puluhan dan b sebagai satuan, maka p (n)+s (n) +n=69 a.b+(a+b)+(10a+b)=69 a.b+11a+2b=69 Ambil a=1, maka 3b=58, tidak memenuhi. Ambil a=2, maka 4b=47, tidak memenuhi. ... Ambil a=5, maka 7b=14, memenuhi. Sehingga a=5 dan b=2 Didapatlah n=52 Horeeee
  39. 1 point
    1. Misalkan $ABCD$ adalah persegi panjang dengan $AB = 12$ dan $AD = 14$. Misalkan $M$ adalah titik tengah $AD$ dan $N$ adalah titik tengah $CD$. Tentukan luas $BCNM$. 2. Diberikan dua polinomial $P(x)=x^4+x^3-11x^2-30x-24$ dan $Q(x)=x^3-x^2-14x+8$. Katakan sebuah akar real dari $P(x)$ atau $Q(x)$ \textit{unik} bila akar tersebut hanya dimiliki oleh tepat satu dari $P(x)$ dan $Q(x)$. Tentukan hasil kali semua akar unik dari $P(x)$ dan $Q(x)$. 3. Adi memiliki sebuah kotak ajaib. Jika suatu bilangan dua-angka dimasukkan ke dalam kotak tersebut, kotak tersebut akan mengubah bilangan tersebut dengan cara meletakkan angka 0 di antara angka puluhan dan satuan bilangan tersebut. Sebagai contoh, ketika dimasukkan angka 18, kotak ajaib tersebut akan mengeluarkan angka 108. Sebuah bilangan dimasukkan ke dalam kotak ajaib. Diketahui bahwa jumlah bilangan yang dimasukkan dan bilangan yang keluar adalah 666. Tentukan bilangan yang dimasukan ke dalam kotak ajaib. 4. Misalkan $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$. Definisikan $m$ sebagai banyaknya himpunan bagian tak-kosong dari $A$ yang hasil penjumlahan setiap elemennya adalah bilangan genap dan $n$ adalah banyaknya himpunan bagian tak-kosong dari $A$ yang hasil perkalian setiap elemennya adalah bilangan genap. Tentukan nilai dari $m+ n$. 5. Diberikan tiga bilangan real $x$, $y$, dan $z$ yang memenuhi persamaan $$\frac{x}{3y-2z}=\frac{x+y}{z}=\frac{y}{3x}=r,$$ di mana $r$ adalah bilangan real positif. Tentukan jumlah semua nilai yang mungkin untuk $r$. 6. Titik $D$, $E$, dan $F$ terletak pada sisi $BC$, $CA$, dan $AB$ dari $\triangle ABC$, berturut-turut, sehingga $AD$, $BE$, dan $CF$ adalah garis berat. Titik $X$, $Y$, dan $Z$ terletak pada segmen $AD$, $BE$, dan $CF$, berturut-turut, sehingga $AX:XD=1:1$, $AY:YE=1:3$, dan $AZ:ZF=1:4$. Misalkan \[\frac{\text{luas }\triangle ABC}{\text{luas }\triangle XYZ}=\frac{m}{n},\] dengan $m$ dan $n$ adalah bilangan asli yang relatif prima. Tentukan nilai dari $m+n$. 7. Seseorang ingin membagikan 20 buah buku identik kepada keempat anaknya sehingga setiap anak memeproleh minimal 1 buah buku dan setiap anak memperoleh jumlah buku yang berbeda. Tentukan banyaknya cara untuk membagikan kedua puluh buku tersebut. 8. Sebanyak 100 bilangan asli yang semuanya berbeda memiliki jumlah 8064. Misalkan $m$ dan $n$ berturut-turut menyatakan banyak maksimum dan minimum bilangan ganjil yang mungkin dari 100 bilangan tersebut. Tentukan nilai dari $m-n$. 9. Misalkan $x$, $y$, dan $z$ adalah bilangan real taknol yang memenuhi kedua persamaan berikut: \[(x+y)(y+z)(z+x)=24xyz, (x+2y)(y+2z)(z+2x)=60xyz \] Jika $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=\frac{m}{n}$ untuk bilangan asli $m$ dan $n$ yang relatif prima, tentukan nilai dari $m+n$. 10. Misalkan $S$ adalah hasil penjumlahan semua bilangan berbentuk $2^x3^y5^z$ dengan $x$, $y$, dan $z$ adalah bilangan bulat taknegatif yang memenuhi persamaan $x+y+z=20$. Tentukan sisa pembagian $S$ oleh 1001. 11. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $D$ titik tengah $BC$. Jika panjang $AC = 12$, $\angle{DAC} = 78^{\circ}$ dan $\angle{DAB} = 51^{\circ}$, tentukan panjang $AD$. 12. Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan real yang memenuhi persamaan $x+y=2$. Jika nilai minimum dari $\sqrt{16+3x^2}+2\sqrt{73+3y^2}$ adalah $m$, tentukan nilai dari $m^2$. 13. Misalkan titik $D$ adalah titik tengah busur $BC$ yang memuat titik $A$ di lingkaran luar $\triangle ABC$. Misalkan $\angle ABC=2\angle ACB$ pada $\triangle ABC$. Misalkan juga garis tegak lurus $AC$ yang melewati titik $D$ memotong $AC$ di titik $E$. Diketahui panjang $CE=100$ dan $\sin \angle ACB=\frac13$. Jika panjang jari-jari lingkaran luar $\triangle ABC$ dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{1}{23}\left(a\sqrt{2}-b\right)$ dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli, tentukan nilai dari $a+b$. 14. Misalkan $x$, $y$, dan $z$ adalah bilangan asli sehingga \[(x^2+2)(y^2+3)(z^2+21)=120xyz.\] Misalkan $S$ adalah himpunan semua nilai $xyz$ yang mungkin Tentukan hasil penjumlahan semua anggota $S$.
  40. 1 point
  41. 1 point
  42. 1 point
  43. 1 point
    Misalkan penyanyi tersebut dinotasikan sebagai $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$. Perhatikan bahwa ada $_8C_2 = 28$ pasang penyanyi. Setiap kali diadakan sebuah konser, ada tepat $_4C_2 = 6$ pasang penyanyi yang bertemu di konser yang sama. Misalkan setelah semua konser selesai dilaksanakan, setiap pasang penyanyi bertemu tepat $k$ kali. Akibatnya $6$ harus membagi $28k$. Kita dapatkan bahwa $k$ harus kelipatan $3$. Misalkan $k = 3m$, maka $6$ harus membagi $84m$. Dari observasi ini, kita dapat bahwa diperlukan minimal $84 / 6 = 14$ konser, untuk setidaknya setiap pasang penyanyi bertemu dalam jumlah yang sama (3 kali). Ternyata ada konfigurasi $14$ konser yang memenuhi syarat soal, yakni: 1235, 4678 1346, 5782 1457, 6823 1568, 7234 1672, 8345 1783, 2456 1824, 3567 Dapat kita simpulkan bahwa diperlukan minimal $14$ konser agar setiap pasang penyanyi bertemu dalam jumlah konser yang sama. N.B. : Pertanyaan Anda selanjutnya mungkin: bagaimana bisa didapatkan konfigurasi seperti di atas? Apa motivasinya? Biarkan itu dibahas untuk waktu yang akan datang.
  44. 1 point
  45. 1 point
    Hanya X = 1/3 , y= 1/3 dan z= 1/3 yg memenuhi Pake AM -GM
  46. 1 point
    Kalo nomor 5 aku..... 9x4=36 Karena setiap soal dikerjain 7 orang, maka orang terakhir harus mengerjakan soal yang mengakibatkan jumlah soal yang total mereka kerjakan habis dibagi 7. Karena dah ada 36, maka orang terakhir ngerjain 6 biar jadi 42 Jawabanku 6 Btw 36≡1(mod 7)
  47. 1 point
    Sepertinya jika koin diletakkan di salah satu warna pada persegi di papan catur, keempat soal tersebut bisa dipecahkan lebih lanjut dengan mudah. Semua tersebut terbukti. Dan nomor 4 jawabannya m=33
  48. 1 point
  49. 1 point
  50. 1 point
×