Leaderboard

The search index is currently processing. Leaderboard results may not be complete.

Popular Content

Showing content with the highest reputation since 01/06/2015 in all areas

  1. 4 points
    Karena 13 habis membagi 2x+3y, maka 13 juga habis membagi 8(2x+3y) Perhatikan juga bahwa 13 habis membagi 13x dan 26y Sehingga 13 habis membagi 8(2x+3y)-(13x+26y) 13 habis membagi 3x-2y terbukti
  2. 4 points
    Coba jawab: Bila ada kesalahan mohon dikoreksi.
  3. 4 points
    · Untuk sembarang lingkaran $ C$ dengan jari jari $ r>0$ , dipunyai $ z=r{{e}^{{i\theta }}}$, $ 0\le \theta \le 2\pi $ , $ dz=ir{{e}^{{i\theta }}}d\theta $. Sehingga $ \displaystyle \frac{1}{{2\pi i}}\oint_{C}{{\frac{{{{{\left( {1+z} \right)}}^{{2n}}}}}{{{{z}^{{n+1}}}}}dz}}=\frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{0}^{{2\pi }}{{\frac{{{{{\left( {1+r{{e}^{{i\theta }}}} \right)}}^{{2n}}}}}{{{{r}^{{n+1}}}{{e}^{{i\left( {n+1} \right)\theta }}}}}ir{{e}^{{i\theta }}}d\theta }}=\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{0}^{{2\pi }}{{\frac{1}{{{{r}^{n}}{{e}^{{in\theta }}}}}\sum\limits_{{k=0}}^{{2n}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2n} \\ k \end{array}} \right)}}{{r}^{k}}{{e}^{{ik\theta }}}d\theta }}$ $ \displaystyle =\frac{1}{{2\pi }}\sum\limits_{{k=0}}^{{2n}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2n} \\ k \end{array}} \right)}}{{r}^{{k-n}}}\int\limits_{0}^{{2\pi }}{{{{e}^{{i\left( {k-n} \right)\theta }}}d\theta }}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2n} \\ n \end{array}} \right)$ hasil terakhir diperoleh mengingat untuk $ k\ne n$, integral bernilai 0. · Karena hasil diatas berlaku untuk sembarang $ r>0$, kita dapat memilih lingkaran $ C$ dengan jari – jari $ r=1$ yaitu $ \left| z \right|=1$ . dari hasil diatas kita memiliki $ \displaystyle S=\sum\limits_{{n=0}}^{\infty }{{\frac{1}{{{{5}^{n}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2n} \\ n \end{array}} \right)}}=\frac{1}{{2\pi i}}\sum\limits_{{n=0}}^{\infty }{{\oint_{C}{{\frac{{{{{\left( {1+z} \right)}}^{{2n}}}}}{{{{5}^{n}}{{z}^{{n+1}}}}}dz}}}}=\frac{1}{{2\pi i}}\oint_{C}{{\sum\limits_{{n=0}}^{\infty }{{\frac{{{{{\left( {1+z} \right)}}^{{2n}}}}}{{{{5}^{n}}{{z}^{{n+1}}}}}}}dz}}$ kita dapat melakukan ini karena pada $ \left| z \right|=1$ deret konvegen (deret geometri dengan ratio $ \displaystyle \left| {\frac{{{{{\left( {1+z} \right)}}^{2}}}}{{5z}}} \right|\le \frac{{1+2\left| z \right|+{{{\left| z \right|}}^{2}}}}{{5\left| z \right|}}=\frac{4}{5}<1$ ) jadi kita punyai $ \displaystyle S=\frac{1}{{2\pi i}}\oint_{C}{{\frac{{\left( {{1}/{z}\;} \right)}}{{1-{{{{{\left( {1+z} \right)}}^{2}}}}/{{5z}}\;}}dz}}=\frac{1}{{2\pi i}}\oint_{C}{{\frac{{-10}}{{\left( {z-\left( {3+\sqrt{5}} \right)} \right)\left( {z-\left( {3-\sqrt{5}} \right)} \right)}}dz}}$ Dengan menggunakan teorema residu di $ z=3-\sqrt{5}$ diperoleh $ \displaystyle S=\frac{1}{{2\pi i}}\cdot 2\pi i\frac{{-10}}{{-2\sqrt{5}}}=\sqrt{5}$
  4. 4 points
  5. 3 points
    Diberikan $15$ titik berbeda pada segitiga $ABC$ sebagai berikut : tiga titik adalah titik $A$, $B$ dan $C$ ; $3$ titik lain pada sisi $AB$ ; $4$ titik lain pada sisi $BC$ ; dan $5$ titik lain pada sisi $CA$. Tentukan banyak segitiga dengan luas positif di mana $15$ titik tadi sebagai titik sudutnya. Jika $702$, $787$, dan $855$ masing-masing dibagi oleh suatu bilangan bulat positif $m$, sisa bagi positifnya adalah $r$. Jika $412$, $722$, dan $815$ masing-masing dibagi oleh suatu bilangan bulat positif $n$, sisa bagi positifnya adalah $s$, dengan $s \neq r$. Tentukan $m+n+r+s$. Untuk suatu bilangan bulat positif $n$, misalkan $d_{n}$ adalah digit satuan dari $1+2 +\dots+ n$. Tentukan sisanya jika $\sum_{n=1}^{2017} d_n$ dibagi oleh $1000$. Sebuah limas segitiga mempunyai panjang sisi alas $20$, $20$, dan $24$. Ketiga sisi tegaknya mempunyai panjang $25$. Volume dari limas tersebut adalah $m\sqrt{n}$, dengan $m$ dan $n$ bilangan bulat positif, dan $n$ tidak habis dibagi oleh kuadrat dari suatu prima apapun. Tentukan $m+n$. Sebuah bilangan rasional jika ditulis dalam basis $8$ berbentuk $\overline{ab},\overline{cd}$ dengan digit-digitnya tidak ada yang bernilai $0$, dan berbentuk $\overline{bb},\overline{ba}$ jika ditulis dalam basis $12$. Tentukan bilangan desimal $\overline{abc}$. Diberikan sebuah segitiga sama kaki yang besar dua sudut yang sama besar masing-masing adalah $x$. Dipilih sebarang dua titik pada lingkaran luarnya. Peluang garis yang ditarik dari dua titik tersebut memotong segitiga adalah $\frac{14}{25}$. Tentukan selisih dari nilai terbesar $x$ dan nilai terkecil $x$ yang mungkin. Untuk suatu bilangan bulat non-negatif $a$ dan $b$ dengan $a+b \leq 6$, misalkan $T(a,b) = \left(\begin{array}{c} 6 \\ a \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} 6 \\ b \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} 6 \\ a+b \end{array}\right)$. Misalkan $S$ adalah jumlah dari semua nilai $T(a,b)$ yang mungkin, di mana $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat non-negatif dengan $a+b \leq 6$. Tentukan sisanya jika $S$ dibagi oleh $1000$. Sebarang dua bilangan real dipilih secara bersamaan dari interval $(0, 75)$. Misalkan $O$ dan $P$ dua titik pada bidang dengan $OP = 200$. Misalkan $Q$ dan $R$ adalah dua titik sehingga $\angle POQ$ dan $\angle POR$ berturut-turut sebesar $a$ dan $b$, dan $\angle OQP$ dan $\angle ORP$ keduanya siku-siku. Peluang bahwa $QR \leq 100$ adalah $\frac{m}{n}$, di mana $m$ dan $n$ keduanya bilangan bulat positif yang relatif prima. Tentukan $m+n$. Misalkan $a_{10} = 10$ dan untuk setiap bilangan bulat positif $n > 10$ berlaku $a_{n} = 100a_{n-1} + n$. Tentukan bilangan bulat positif terkecil $n > 10$ sehingga $a_n$ merupakan kelipatan $99$. Diberikan $z_1 = 18+3i$, $z_2 = 18+39i$, dan $z_3 = 78+99i$, dengan $i = \sqrt{-1}$. Misalkan $z$ adalah satu-satunya bilangan kompleks di mana $\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} . \frac{z - z_2}{z - z_3}$ adalah bilangan real dengan bagian imajiner dari $z$ bernilai sebesar mungkin. Tentukan bagian real dari $z$. Diberikan $9$ angka $1, 2, 3, ... ,9$ yang akan ditempatkan dalam suatu petak $3\times3$. Misalkan $a_1, a_2$, dan $a_3$ berturut-turut adalah median dari angka-angka pada baris pertama, kedua, dan ketiga, dan $m$ adalah median dari $\{a_1, a_2, a_3\}$. Misalkan $Q$ adalah banyak kemungkinan yang mungkin saat $m = 5$. Tentukan sisanya jika $Q$ dibagi oleh $1000$. Suatu himpunan $S$ disebut bebas-kali jika tidak ada $a, b, c \in S$ ($a, b, c$ tidak harus berbeda) sehingga $ab = c$. Sebagai contoh, himpunan kosong dan himpunan $\{16,20\}$ adalah himpunan bebas-kali, sedangkan himpunan $\{4,16\}$ dan $\{2,8,16\}$ bukan himpunan bebas-kali. Tentukan banyaknya himpunan bagian yang bebas-kali dari himpunan $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$. Untuk setiap $m \geq 2$, misalkan $Q(m)$ adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga untuk setiap $n \geq Q(m)$, selalu ada bilangan kubik sempurna $k^3$ yang memenuhi $n < k^3 < mn$. Tentukan sisanya jika $\sum_{m=2}^{2017} Q(m)$ dibagi oleh $1000$. Diberikan $a > 1$ dan $x > 1$ yang memenuhi $\log_{a}(\log_{a}(\log_{a} 2) + \log_{a} 24 + 128)$ dan $\log_{a} (\log_{a} x) = 256$. Tentukan sisanya jika $x$ dibagi oleh $1000$. Pada gambar, luas terkecil dari segitiga sama sisi yang sisi-sisinya terletak pada segitiga siku-siku yang panjanganya $2\sqrt{3}$, $5$, dan $\sqrt{37}$ adalah $\frac{m \sqrt{p}}{n}$, dengan $m$, $n$, dan $p$ adalah bilangan bulat positif, $m$ dan $n$ relatif prima, dan $p$ tidak habis dibagi oleh kuadrat dari prima apapun. Tentukan $m+n+p$.
  6. 3 points
    Selamat menikmati
  7. 3 points
  8. 3 points
  9. 2 points
    Tentukan nilai dari $\frac{3}{1!2!3!}+\frac{4}{2!3!4!}+...+\frac{2016}{2014!2015!2016!}$
  10. 2 points
    $f(10^n )=f(10^n-1)+1$ $10^n-1$ pasti dalam bentuk $\underbrace{99\cdots9}_{n}$ Logikanya seperti ini, untuk mencari $f(10^n-1)$, kita harus mencari berapa banyak bilangan dengan banyak digit n dan angka $1$ mulai dari digit bilangan bagian kiri sampai kanan, lalu hasilnya ditambah. Misalnya untuk mencari $f(999)$, kita cari berapa banyak bilangan dengan angka $1$ yang muncul dalam $\overline{abc}$ mulai dari $a$ sampai $c$, seperti $\overline{1bc}$ , $\overline{a1c}$, dan $\overline{ab1}$. Tetapi kita juga harus mencari banyak bilangan dengan angka $1$ yang muncul dalam $\overline{de}$ dan $\overline{f}$ Agar mempermudah mencari $f(999)$ tanpa perlu mencari banyak bilangan tersebut, anggap bahwa $\overline{0a} =\overline{a}$ atau $\overline{0a0}= \overline{a0}$. Dengan demikian, kita juga dapat mencari $f(10^n-1)$. $f(10^n-1)= \underbrace{10^{n-1}+10^{n-1}+\cdots+10^{n-1}}_{n}=n(10^{n-1})$ Dimana $10^{n-1}$ adalah banyak bilangan dengan angka $1$ di semua tempat dan $n$ adalah banyak $10^{n-1}$. Maka $f(10^n )=n(10^{n-1} )+1$ (Terbukti)
  11. 2 points
    Kasus 1 : $pq, qr\ dan\ rp$ rasional, jelas bahwa $\frac{pr}{rq}$ juga rasional, sehingga $\frac{pr}{rq}=\frac{p}{q}$ juga rasional Kasus 2 : jika salah satu dari $pq, qr\ dan\ rp$ irasional, rasional + rasional + irasional jelas akan menghasilkan irasional, maka tidak dapat dibentuk $pq + qr + rp$ bilangan rasional Kasus 3 : jika dua diantara $pq,qr\ dan\ rp$ irasional, rasional + irasional + irasional, maka jumlah dari kedua bilangan irasional harus menghasilkan bilangan rasional, misalkan bilangan irasional pertama = $x$ dan bilangan irasional kedua = $y$, maka $x + y =\frac{a}{b}$, haruslah ada bilangan $b$ sehingga $b(x+y)=a$, dapat dilihat jika $x+y$ tidak sama dengan 0, maka $a$ tidak rasional, sehingga $x+y$ bernilai 0 atau $x=-y$, sedangkan jika $x$ merupakan jumlah bilangan rasional dan irasional dengan $x=m+n$, $m$ rasional dan $n$ irasional, $x+y=m+n+y=\frac{a}{b}$, dengan demikian haruslah $n=-y$, tanpa mengurangi keumuman, jika $pq\ dan\ qr$ merupakan bilangan irasional dan $rp$ bilangan rasional, sehingga $pq=-qr$, maka $p=-r$, dengan $pr=-r^2$, suatu kontradiksi karena $p,q,r$ merupakan anggota bilangan real positif maka $pq,qr\ dan\ rp$ harus benilai positif, jika $pq=x+y$, dengan $x$ rasional dan $y$ irasional, maka $qr=-y$, juga merupakan suatu kontradiksi karena $qr$ haruslah positif. Kasus 4 : jika $pq,qr\ dan\ rp$ irasional, irasional + irasional + irasional, maka akan menghasilkan bilangan irasional, sehingga tidak dapat dibentuk $pq+rq+rp$ bilangan rasional Jadi, $pq,qr\ dan\ rp$ haruslah rasional, sehingga $\frac{pr}{rq}=\frac{p}{q}$ juga rasional, untuk setiap $p,q\in X$ $$CMIIW$$
  12. 2 points
    Himpunan $\{ \sqrt{2},2\sqrt{2},3\sqrt{2} \}$ memenuhi persyaratan di soal, tapi semua elemennya irrasional
  13. 2 points
    Itu nomor 1 kyk gini ya ? Banyak cara menghubungkan ke-15 titik adalah \(\frac{15!}{3! \times 12!} = 455 \) cara. Banyak cara menghubungkan ke-5 titik pada sisi \(AB\) (mereka membentuk segitiga dengan luas 0) adalah \(\frac{5!}{3! \times 2!} = 10\) cara. Banyak cara menghubungkan ke-6 titik pada sisi \(BC\) (mereka membentuk segitiga dengan luas 0) adalah \(\frac{6!}{3! \times 3!} = 20\) cara. Banyak cara menghubungkan ke-7 titik pada sisi \(CA\) (mereka membentuk segitiga dengan luas 0) adalah \(\frac{7!}{3! \times 4!} = 7\) cara. Maka jawabannya adalah \( 455 - 10 - 20 - 7 = 418 \) cara.
  14. 2 points
  15. 2 points
    Nomor 1 Nomor 2 Nomor 3 Nomor 5 Nomor 7 Nomor 8 Nomor 9
  16. 2 points
    Biasalnya OSK no.1 gampang.. Ini "agak" susah no.1 Misalkan $n^2 + n + 2010 = m^2$ Maka diperoleh $n^2 + n + 2010 - m^2 = 0$ Lalu digunakan rumus abc dengan $a = 1$, $b = 1$, dan $c=2010 - m^2$ $n_{(1,2)} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ $n_{(1,2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(2010-m^2)}}{2(1)}$ $n_{(1,2)} = \frac{-1\pm \sqrt{m^2 - 8039}}{2}$ Lalu perhatikan pula bahwa $n$ adalah bilangan asli maka $m^2 - 8039$ haruslah kuadrat sempurna.. Misalkan lagi $m^2 - 8039 = k^2$ persamaan tersebut ekuivalen dengan $m^2 -k^2 = 8039$. Diketahui juga fakta bahwa $8039$ adalah bilangan prima jadi perkalian dua bilangan yang menghasilkan $8039$ adalah $8039 \times 1$ $(m+k)(m-k) = 8039 \times 1$ karena $m+k > m-k$ maka $m+k = 8039$ dan $m-k = 1$ diperoleh $m = 4020$ dan $k = 4019$ Oke sekarang kita punya $n_{(1,2)} = \frac{-1\pm \sqrt{m^2 - 8039}}{2}$ $n_{(1,2)} = \frac{-1\pm \sqrt{k^2}}{2}$ $n_{(1,2)} = \frac{-1\pm 4019}{2}$ $n_1 = \frac{-1 + 4019}{2}$ dan $n_2 = \frac{-1 - 4019}{2}$ diperoleh $n_1 = 2009$ dan $n_2 = -2010$ Karena $n$ bilangan asli maka nilai $n$ yang memenuhi adalah $2009$
  17. 2 points
    Tentukan banyaknya bilangan asli $N$ yang kurang dari 1000 sehingga $x^{\floor{x}} = N$ memiliki sebuah solusi untuk $x$?
  18. 2 points
    Perhatikan bahwa fungsi $f(x) = x^{\lfloor x \rfloor}$ bersifat monoton naik untuk $x > 1$. Perhatikan bahwa $f(5) = 5^5 = 3125 > 1000$. Akibatnya, kita dapatkan bahwa $1 \leq x < 5$ dan $\lfloor x \rfloor$ hanya dapat bernilai 1, 2, 3 atau 4. Kita bagi kasus: a) $\lfloor x \rfloor = 1$ maka $1 \leq x < 2$ dan $1 \leq f(x) < 2$. Ada 1 kemungkinan nilai dari $f(x)$, yaitu 1. b) $\lfloor x \rfloor = 2$ maka $2 \leq x < 3$ dan $4 \leq f(x) < 9$. Ada 4 kemungkinan nilai dari $f(x)$, yaitu dari 4 sampai 8. c) $\lfloor x \rfloor = 3$ maka $3 \leq x < 4$ dan $27 \leq f(x) < 64$. Ada 37 kemungkinan nilai dari $f(x)$, yaitu dari 27 sampai 63. d) $\lfloor x \rfloor = 4$ maka $4 \leq x < 5$ dan $256 \leq f(x) < 625$. Ada 369 kemungkinan nilai dari $f(x)$, yaitu 256 sampai 624. Kita dapatkan bahwa banyaknya bilangan asli $N$ kurang dari 1000 sehingga persamaan diatas punya solusi adalah $1 + 4 + 37 + 369 = 411$.
  19. 2 points
    Delapan orang penyanyi dijadwalkan tampil pada konser-konser. Satu kali konser, tampil 4 orang penyanyi. Tentukan berapakah banyaknya konser min- imal agar masing-masing penyanyi tepat bertemu dengan penyanyi lain dalam jumlah yang sama!
  20. 2 points
  21. 2 points
    Apa bisa seperti ini Misalkan $\omega$ menyinggung $BC$ dan lingkaran luar segitiga $ABC$ berturut-turut di $D$ dan $E$. Perhatikan bahwa homothety dengan pusat $E$ dan rasio $\frac{R}{r}$ (definisi $r$ dan $R$ seperti punyanya mas Erwin di atas) memetakan $D$ ke $A$ sehingga $A,D,E$ segaris. Selain itu, $\angle ABD=\angle ACB=\angle DEB$. Akibatnya $ABD$ sebangun dengan $AEB$. Sehingga diperoleh \[ \frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}\Leftrightarrow AB^2=AD\times AE \] Namun dengan Power of Point diperoleh pula $AN^2=AD\times AE$. Jadi, $AB^2=AN^2$. Dengan demikian $AB=AN$
  22. 2 points
    maaf belum lancar pakek latex, jadinya kayak gini. mohon koreksinya Penyelesaian.docx
  23. 2 points
    Lihat ada 900 buah palindrom, pasangkan palindrom ABCBA dengan (10-A)(9-B)(9-C)(9-B)(10-A). lihat bahwa semua palindrom punya pasangan sendiri. Lihat jumlah 1 pasang 110000 . Ada 450 pasang (900/2). maka jumlahnya 450 *110000 = 49500000 , jumlah digitnya 18
  24. 1 point
    1. Buktikan bahwa \[16 < \sum_{k=1}^{80} \frac{1}{\sqrt{k}} < 17\] 2. Diberikan $a,b,c$ dan $d$ merupakan solusi dari \[x^{2018}-11x+10=0\] Tentukan \[\sum_{n=1}^{2017} ((a^n-b^n)+(c^n+d^n))\] 3. Tentukan nilai dari \[\frac{1}{2} + \frac{1}{2+4} +\frac{1}{2+4+6}+...+\frac{1}{2+4+6+...+4034}\] 4. Tentukan nilai dari \[\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+...+\frac{2017}{2015!+2016!+2017!}\] 5. Tentukan nilai dari \[\sum_{k=1}^{2017} \frac{1}{(k+1)\sqrt{k} + k\sqrt{k+1}}\] 6. Tentukan nilai dari \[\sum_{k=1}^{2017} \frac{1}{\sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k} + \frac{1}{...}}}\] 7. Buktikan jika $a > b > 0$ dan \[x=\frac{1+a+a^2+a^3+...+a^{n-1}}{1+a+a^2+a^3+...+a^n}\] \[y=\frac{1+b+b^2+b^3+...+b^{n-1}}{1+b+b^2+b^3+...+b^n}\] maka $x < y$. 8. Diberikan $a_n = \frac{n}{2017}$ untuk $n \in \mathbb{N}$. Tentukan nilai dari \[\sum_{k=1}^{2017} \frac{a_k^5}{1 + 5a_k^4 - 10a_k^3 + 10a_k^2 - 5a_k}\] 9. Diberikan fungsi $f: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}_0$ dimana $\mathbb{N}_0=\mathbb{N} \cup \{0\}$. Jika $f(m+1,n) = f(m,n) + m$ dan $f(m,n+1)=f(m,n) + n$ dimana $m,n \in \mathbb{N}$ serta $f(1,1)=0$, tentukan semua pasangan $(p,q)$ yang memenuhi $f(p,q)=2017$. 10.Diberikan $\triangle ABC$, ditarik garis lurus beruturut-turut dari titik $A,B,C$ dan memotong sisi dihadapannya di titik $F,D,E$ serta ketiga garis tersebut berpotongan di titik $G$. Jika panjang $DG=GF=GE$ dan $AG+BG+CG=43$, tentukan $AG \cdot BG \cdot CG$.
  25. 1 point
    Bagian A 3. Hitunglah \(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{sin x} - \frac{1}{tan x}\)
  26. 1 point
    Jika \(w = t^{2} - t \: \; tan \, s \) , \(t = x\) dan \(s = \pi x\), tentukan \(\frac{dw}{dx}\) ketika \(x= \frac{1}{4}\)
  27. 1 point
    Pada suatu papan catur berukuran $2017 \times n$, Ani dan Banu melakukan permainan. Pemain pertama memilih suatu persegi dan kemudian mewarnainya dengan warna merah. Pemain berikutnya memilih suatu persegi dari daerah yang belum diberi warna merah dan kemudian mewarnainya dengan warna merah. Persegi yang dipilih boleh sebarang ukuran namun harus tepat menutup sejumlah persegi satuan pada papan catur. Kemudian kedua pemain bergantian melakukan hal tersebut. Seorang pemain dikatakan menang, jika pemain berikutnya tidak bisa lagi melanjutkan permainan. Jika Ani mendapat giliran pertama, tentukan semua nilai $n \geq 2017$ sehingga Ani mempunyai strategi untuk memenangkan permainan.
  28. 1 point
    Saya pake Teorema Sisa Cina KTO MTK no 7.docx
  29. 1 point
    Diketahui $x-y=10$ dan $xy=10$. Nilai $x^4 +y^4$ adalah... Empat siswa Adi, Budi, Cokro, dan Dion bertanding balap sepeda. Kita juga diberikan sebagian informasi sebagai berikut: Setiap siswa sampai di garis finish pada waktu yang berlainan Adi bukan juara pertama Cokro kalah dari Budi Dengan hanya mengetahui informasi ini saja, banyaknya susunan juara pertama, kedua, ketiga, dan keempat adalah... Banyaknya bilangan asli $k$ yang memenuhi $k|(n^7-n)$ untuk semua bilangan asli $n$ adalah... Pada sebuah lingkaran dengan pusat O, talibusur AB berjarak 5 dari titik O dan talibusur AC berjarak $5\sqrt{2}$ dari titik O. Jika panjang jari-jari lingkaran 10, maka kuadrat dari panjang BC adalah... Jika $\frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(d-a)}=-\frac{4}{7}$, maka nilai dari $\frac{(a-c)(b-d)}{(a-b)(c-d)}$ adalah... Pada suatu kotak ada sekumpulan bola berwarna merah dan hitam yang secara keseluruhannya kurang dari 1000 bola. Misalkan diambil dua bola. Peluang terambilnya dua bola merah adalah $p$ dan peluang terambilnya dua bola hitam adalah $q$ dengan $p-q=\frac{23}{37}$. Selisih terbesar yang mungkin dari banyaknya bola merah dan hitam adalah... Misalkan $s(n)$ menyatakan faktor prima terbesar dari $n$ dan $t(n)$ menyatakan faktor prima terkecil dari $n$. Banyaknya bilangan asli $n$ anggota ${1,2,...,100}$ sehingga $t(n)+1=s(n)$ adalah... Semua titik sudut suatu persegi dengan panjang sisi s terletak pada batas dari juring lingkaran berjari-jari $r$ yang sudut pusatnya $60$ derajat. Jika persegi diletakkan secara simetris di dalam juring, maka nilai $\frac{r^2}{s^2}$ adalah... Misalkan $a,b,c$ bilangan real positif yang memenuhi $a+b+c=1$. Nilai minimum dari $\frac{a+b}{abc}$ adalah... Sebuah hotel mempunyai kamar bernomor 000 sampai dengan 999. Hotel tersebut menerapkan aturan aneh sebagai berikut: jika suatu kamar berisi tamu dan sembarang dua digit nomor kamar tersebut dipertukarkan, maka diperoleh nomor kamar yang sama atau nomor kamar yang tidak berisi tamu. Maksimal banyaknya kamar yang terisi tamu adalah... Fungsi $f$ memetakan himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan bulat tak negatif. Fungsi tersebut memenuhi $f(1)=0$ dan untuk setiap bilangan asli berbeda $m,n$ dengan $m|n$, berlaku $f(m)<f(n)$. Jika diketahui $f(8!)=11$, maka nilai dari $f(2016)$ adalah... Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AC=\frac{1}{2}(AB+BC)$. Misalkan $K$ dan $M$ berturut-turut titik tengah $AB$ dan $BC$. Titik $L$ terletak pada sisi $AC$ sehingga $BL$ adalah garis bagi sudut $ABC$. Jika $\angle{ABC}=72$ derajat, maka besarnya sudut $KLM$ sama dengan... Misalkan $P(x)$ suatu polinom berderajat 4 yang memiliki nilai maksimum 2018 di $x=0$ dan $x=2$. Jika $P(1)=2017$, maka nilai $P(3)$ adalah... Terdapat enam anak A,B,C,D,E dan F akan saling bertukar kado. Tidak ada yang menerima kadonya sendiri, dan kado dari A diberikan kepada B. Banyaknya cara membagikan kado dengan cara demikian adalah... Bilangan asli terbesar $n$ sehingga $n!$ dapat dinyatakan sebagai hasil kali perkalian dari $n-4$ bilangan asli berurutan adalah... Pada segitiga ABC titik K dan L berturut-turut adalah titik tengah AB dan AC. Jika CK dan BL saling tegak lurus, maka nilai minimum dari cot B + cot C adalah... Misalkan $a,b,c$ dan $d$ bilangan-bilangan bulat positif. Jajar genjang yang dibatasi oleh garis $y=ax+c,y=ax+d,y=bx+c,y=bx+d$ memiliki luas $18$. Jajar genjang yang dibatasi oleh garis $y=ax+c,y=ax-d,y=bx+c,y=bx-d$ memiliki luas $72$. Nilai terkecil yang mungkin untuk $a+b+c+d$ adalah... Seratus bilangan bulat disusun mengelilingi lingkaran sedemikian sehingga (menurut arah jarum jam) setiap bilangan lebih besar daripada hasil penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Maksimal banyaknya bilangan bulat positif yang terdapat pada lingkaran itu adalah... Untuk sebarang bilangan asli $n$, misalkan $S(n)$ adalah jumlah digit-digit dari $n$ dalam penulisan desimal. Jika $S(n)=5$, maka nilai maksimum dari $S(n^5)$ adalah... Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB=12,BC=5$ dan $AC=13$. Misalkan $P$ suatu titik pada garis bagi $\angle A$ yang terletak di dalam $ABC$ dan misalkan $M$ suatu titik pada sisi $AB$ (dengan $A\neq M\neq B$). Garis $AP$ dan $MP$ memotong $BC$ dan $AC$ berturut-turut di $D$ dan $N$, Jika $\angle MPB=\angle PCN$ dan $\angle NPC = \angle MBP$, maka nilai $\frac{AP}{PD}$ adalah...
  30. 1 point
    Misalkan a dan b bilangan real positif berbeda sehingga a+$\sqrt[]{ab} $ dan b+$\sqrt[]{ab} $ merupakan bilangan rasional. Buktikan bahwa a dan b merupakan bilangan rasional
  31. 1 point
    1. 14200 2. 9 3. 8 4. 200 + 100√ 3 5. 11/4 6. 621 7. 9 8. 2 + √ 3 9. 16 10. 460 11. 8 12. 54 13. 2009 14. 53 15. 119 16. 2/3 17. 16 18. 49 19. 398 20. 5
  32. 1 point
    Hitunglah : \(\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x}}{1+x} dx\)
  33. 1 point
    solusi osk mtk 2017 no 1.docx
  34. 1 point
    Diskusi dan pembahasan soal dapat dibahas di sini Diketahui $x-y=10$ dan $xy=10$. Nilai $x^4 +y^4$ adalah... Empat siswa Adi, Budi, Cokro, dan Dion bertanding balap sepeda. Kita juga diberikan sebagian informasi sebagai berikut: Setiap siswa sampai di garis finish pada waktu yang berlainan Adi bukan juara pertama Cokro kalah dari Budi Dengan hanya mengetahui informasi ini saja, banyaknya susunan juara pertama, kedua, ketiga, dan keempat adalah... Banyaknya bilangan asli $k$ yang memenuhi $k|(n^7-n)$ untuk semua bilangan asli $n$ adalah... Pada sebuah lingkaran dengan pusat O, talibusur AB berjarak 5 dari titik O dan talibusur AC berjarak $5\sqrt{2}$ dari titik O. Jika panjang jari-jari lingkaran 10, maka kuadrat dari panjang BC adalah... Jika $\frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(d-a)}=-\frac{4}{7}$, maka nilai dari $\frac{(a-c)(b-d)}{(a-b)(c-d)}$ adalah... Pada suatu kotak ada sekumpulan bola berwarna merah dan hitam yang secara keseluruhannya kurang dari 1000 bola. Misalkan diambil dua bola. Peluang terambilnya dua bola merah adalah $p$ dan peluang terambilnya dua bola hitam adalah $q$ dengan $p-q=\frac{23}{37}$. Selisih terbesar yang mungkin dari banyaknya bola merah dan hitam adalah... Misalkan $s(n)$ menyatakan faktor prima terbesar dari $n$ dan $t(n)$ menyatakan faktor prima terkecil dari $n$. Banyaknya bilangan asli $n$ anggota ${1,2,...,100}$ sehingga $t(n)+1=s(n)$ adalah... Semua titik sudut suatu persegi dengan panjang sisi s terletak pada batas dari juring lingkaran berjari-jari $r$ yang sudut pusatnya $60$ derajat. Jika persegi diletakkan secara simetris di dalam juring, maka nilai $\frac{r^2}{s^2}$ adalah... Misalkan $a,b,c$ bilangan real positif yang memenuhi $a+b+c=1$. Nilai minimum dari $\frac{a+b}{abc}$ adalah... Sebuah hotel mempunyai kamar bernomor 000 sampai dengan 999. Hotel tersebut menerapkan aturan aneh sebagai berikut: jika suatu kamar berisi tamu dan sembarang dua digit nomor kamar tersebut dipertukarkan, maka diperoleh nomor kamar yang sama atau nomor kamar yang tidak berisi tamu. Maksimal banyaknya kamar yang terisi tamu adalah... Fungsi $f$ memetakan himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan bulat tak negatif. Fungsi tersebut memenuhi $f(1)=0$ dan untuk setiap bilangan asli berbeda $m,n$ dengan $m|n$, berlaku $f(m)<f(n)$. Jika diketahui $f(8!)=11$, maka nilai dari $f(2016)$ adalah... Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AC=\frac{1}{2}(AB+BC)$. Misalkan $K$ dan $M$ berturut-turut titik tengah $AB$ dan $BC$. Titik $L$ terletak pada sisi $AC$ sehingga $BL$ adalah garis bagi sudut $ABC$. Jika $\angle{ABC}=72$ derajat, maka besarnya sudut $KLM$ sama dengan... Misalkan $P(x)$ suatu polinom berderajat 4 yang memiliki nilai maksimum 2018 di $x=0$ dan $x=2$. Jika $P(1)=2017$, maka nilai $P(3)$ adalah... Terdapat enam anak A,B,C,D,E dan F akan saling bertukar kado. Tidak ada yang menerima kadonya sendiri, dan kado dari A diberikan kepada B. Banyaknya cara membagikan kado dengan cara demikian adalah... Bilangan asli terbesar $n$ sehingga $n!$ dapat dinyatakan sebagai hasil kali perkalian dari $n-4$ bilangan asli berurutan adalah... Pada segitiga ABC titik K dan L berturut-turut adalah titik tengah AB dan AC. Jika CK dan BL saling tegak lurus, maka nilai minimum dari cot B + cot C adalah... Misalkan $a,b,c$ dan $d$ bilangan-bilangan bulat positif. Jajar genjang yang dibatasi oleh garis $y=ax+c,y=ax+d,y=bx+c,y=bx+d$ memiliki luas $18$. Jajar genjang yang dibatasi oleh garis $y=ax+c,y=ax-d,y=bx+c,y=bx-d$ memiliki luas $72$. Nilai terkecil yang mungkin untuk $a+b+c+d$ adalah... Seratus bilangan bulat disusun mengelilingi lingkaran sedemikian sehingga (menurut arah jarum jam) setiap bilangan lebih besar daripada hasil penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Maksimal banyaknya bilangan bulat positif yang terdapat pada lingkaran itu adalah... Untuk sebarang bilangan asli $n$, misalkan $S(n)$ adalah jumlah digit-digit dari $n$ dalam penulisan desimal. Jika $S(n)=5$, maka nilai maksimum dari $S(n^5)$ adalah... Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB=12,BC=5$ dan $AC=13$. Misalkan $P$ suatu titik pada garis bagi $\angle A$ yang terletak di dalam $ABC$ dan misalkan $M$ suatu titik pada sisi $AB$ (dengan $A\neq M\neq B$). Garis $AP$ dan $MP$ memotong $BC$ dan $AC$ berturut-turut di $D$ dan $N$, Jika $\angle MPB=\angle PCN$ dan $\angle NPC = \angle MBP$, maka nilai $\frac{AP}{PD}$ adalah...
  35. 1 point
    Misalkan $x$ dan $y$ bilangan real yang memenuhi $x^2 − 2xy + 2y^2 − 4y + 4 = 0$. Tentukan nilai dari $x^4 + y^4$. Pada sebuah papan berukuran $3 \times 3$, dua kotak diwarnai biru dan dua kotak lainnya diwarnai merah demikian sehingga dua kotak yang sama warna selalu tidak sekolom maupun sebaris. Tentukan banyak pewarnaan yang demikian. Tentukanlah banyaknya permutasi $(a_1, a_2, \dotsc, a_{10})$ dari $1, 2, 3, \dotsc, 10$ yang memenuhi $$|a_1 - 1| + |a_2 - 2| + \dotsb + |a_{10} - 10| = 4.$$ Pada segitiga $ABC$, $M$ adalah titik tengah $BC$ dan $G$ adalah titik berat segitiga $ABC$. Sebuah garis $l$ melalui $G$ memotong ruas garis $AB$ di $P$ dan ruas garis $AC$ di $Q$, dimana $P\neq B$ dan $Q\neq C$. JIka $[XYZ]$ menyatakan luas segitiga $XYZ$, tunjukkan bahwa $$\frac{[BGM]}{[PAG]}+\frac{[CMG]}{[QGA]}=\frac{3}{2}$$ Untuk $a,b,c,d,e$ bil real non negatif yang mmnuhi $\frac{1}{4+a}+\cdots+\frac{1}{4+e}=1$. Buktikan bahwa $\frac{a}{4+a^2}+\cdots+\frac{e}{4+e^2}\le1$
  36. 1 point
    kok random sih tiba" ganti $\ln (x+1)$ jadi $\ln (xy+1)$. Intuisinya apa? (kaya waktu diganti bentuk gitu pengennya apa?)
  37. 1 point
    Ketemu sih cara lain yang ga trigon. Masalahnya gini, buat soal ginian itu cara trigon itu cara yang "pasti dapet" setelah beberapa saat (karena persamaan trigon yangkita punya itu "lengkap"). Jadi kalau bisa belajar trigon aja anyway Untuk cara non-trigon buat soal tipe ginian, mendapatkan klaim sudut yang benar itu sangat penting, karena kalau kita mau "jalan mundur" itu kita bisa menggunakan properti sudutnya. Jadi saya klaim sudutnya $30^{\circ}$ Jawaban + motivasi: Teknik memisalkan sebuah titik $P'$ itu punya sifat $X$, terus membuktikan kalau $P=P'$ yang mengakibatkan titik $P$ untuk punya sifat $X$ itu namanya teknik phantom of a point.
  38. 1 point
    hmm kalau mau pake cara yang ga elegan mungkin hint ini bisa membantu
  39. 1 point
  40. 1 point
  41. 1 point
    1. Albert, Bernard dan Cheryl sedang bermain kelereng. Di awal permainan, masing-masing membawa 5 kelereng merah, 7 kelereng hijau dan 13 kelereng biru, sedangkan di kotak kelereng ada tak berhingga banyaknya kelereng. Pada satu langkah setiap anak diberi kebebasan membuang dua kelereng yang berbeda warna, kemudian menggantinya dengan dua kelereng dengan warna ketiga. Sebagai contoh, satu kelereng hijau dan satu kelereng merah dibuang, kemudian dua kelereng biru diambil dari kotak. Setelah serangkaian langkah (banyaknya langkah yang dilakukan masing-masing anak boleh berbeda) terjadilah percakapan berikut. Albert: "Saya hanya membawa kelereng berwarna merah." Bernard: "Saya hanya membawa kelereng berwarna biru." Cheryl: "Saya hanya membawa kelereng berwarna hijau." Siapa sajakah yang pasti berbohong? 2. Untuk setiap bilangan asli $a$ dan $b$ notasikan dengan $[a,b]$ kelipatan persekutuan terkecil dari $a$ dan $b$ dan notasikan dengan $(a,b)$ faktor persekutuan terkecil dari $a$ dan $b$. Tentukan semua bilangan asli $n$ yang memenuhi $$4\sum_{k=1}^{n}[n,k] = 1 + \sum_{k=1}^{n}(n,k) + 2n^{2}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n,k)}.$$ 3. Diberikan segitiga lancip ABC. Lingkaran $\Gamma_B$ adalah lingkaran yang melewati $AB$ dan menyinggung $AC$ pada $A$ dan berpusat di $O_B$. Definisikan yang serupa untuk $\Gamma_C$ dan $O_C$. Misalkan garis tinggi segitiga $ABC$ dari $B$ dan $C$ memotong lingkaran luar segitiga $ABC$ pada $X$ dan $Y$. Buktikan $A$, titik tengah $XY$, dan titik tengah $O_BO_C$ segaris. 4. Misalkan pasangan fungsi $f, g: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ memenuhi persamaan fungsi $$f(g(x)y+f(x))=(y+2015)f(x)$$ untuk setiap $x, y \in \mathbb{R}^+$. a. Buktikan bahwa $f(x)=2015g(x)$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}^+$. b. Berikan sebuah contoh pasangan fungsi yang memenuhi persamaan di atas dan $f(x), g(x) \ge 1$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}^+$. 5. Misalkan $a,b,c,d$ adalah bilangan asli sehingga $a|c^d$ dan $b|d^c$ buktikan bahwa $$ab|(cd)^{maks\{a,b\}}$$ Catatan : $maks\{a,b\}$ menyatakan nilai terbesar $a$ atau $b$. 6. Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan titik pusat lingkaran luar $O$. Garis $AO$ memotong lingkaran luar segitiga $ABC$ lagi di titik $D$. Misalkan $P$ titik pada sisi $BC$. Garis melalui $P$ yang tegak lurus $AP$ memotong garis $DB$ dan $DC$ berturut-turut di titik $E$ dan $F$. Garis melalui $D$ tegak lurus $BC$ memotong $EF$ di titik $Q$. Buktikan bahwa $EQ = FQ$ jika dan hanya jika $BP = CP$. 7. Untuk $a,b,c$ bilangan real positif, buktikan ketaksamaan $$\sqrt{\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}} + \sqrt{\frac{c}{a+b} +\frac{a}{b+c}} \geq 3$$ 8. Diketahui ada 3 gedung berbentuk sama yang lokasinya membentuk segitiga sama sisi. Masing-masing gedung memiliki 2015 lantai dengan setiap lantainya tepat memiliki 1 jendela. Di semua gedung tersebut, setiap lantainya tepat mempunyai satu penghuni kecuali lantai 1 yang tidak berpenghuni. Semua kusen jendela ini akan diwarnai dengan salah satu dari merah, hijau, atau biru. Dari setiap lantai, sang penghuni dapat melihat warna jendela kedua gedung lainnya untuk lantai yang sama dan satu lantai tepat di bawahnya. Misalnya, penghuni lantai 10 dapat melihat jendela lantai 9 dan 10 untuk kedua gedung lainnya, sehingga totalnya 4 jendela. Tetapi, sang penghuni tidak dapat melihat warna jendelanya sendiri maupun jendela lantai lain di gedungnya sendiri. Kita ingin mewarnai jendela-jendela tersebut agar setiap penghuni dapat melihat paling sedikit 1 jendela dari setiap warna. Ada berapa cara mewarnai jendela tersebut?
  42. 1 point
    $x=/frac{1}{3}$ lagi latihan latex nih
  43. 1 point
  44. 1 point
    Misalkan $a$ dan $b$ bilangan real positif berbeda, sehingga $a + \sqrt{ab}$ dan $b + \sqrt{ab}$ merupakan suatu bilangan rasional. Buktikan bahwa $a$ dan $b$ adalah bilangan rasional
  45. 1 point
    Secara mudah dapat dikatakan bahwa banyaknya kemungkinan yang dapat terjadi adalah 2 kali barisan fibonacci.... Ini fibonacci 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,.... Dan ini banyaknya kemungkinan(2 kalinya) 2,4,6,10,16,26,42,68,110,178,288....
  46. 1 point
    Henry, Ilhan, Johan, dan empat orang lainnya mengikuti suatu perlombaan. Pada akhir perlombaan, masing-masing dari ketujuh orang tersebut diberi peringkat dari $1,2,\ldots,$ sampai $7$. Jika diketahui bahwa peringkat Johan lebih tinggi daripada peringkat Ilhan, dan peringkat Ilhan lebih tinggi daripada peringkat Henry, tentukan banyaknya susunan peringkat yang mungkin. Diketahui bahwa jumlah dari 10 buah bilangan prima berurutan adalah $x$, yang merupakan bilangan ganjil. Tentukan nilai terbesar yang mungkin bagi $x$. Diberikan sebuah segitiga $ABC$ dengan $D$ adalah titik tengah $BC$. Diketahui bahwa $\angle ADC=60^\circ$, $AB=10$, dan $AC=8$. Jika luas segitiga $ABC$ adalah $x\sqrt{y}$, dengan $x$ dan $y$ adalah bilangan asli dan $y$ tidak habis dibagi oleh kuadrat dari bilangan prima apa pun, tentukan nilai dari $x+y$. Tentukan jumlah semua bilangan dua angka yang memenuhi selisih kuadrat bilangan tersebut dengan kuadrat bilangan yang diperoleh dengan membalikkan kedua angka dari bilangan tersebut adalah $1584$. (Catatan : $\overline{0a}$ sama dengan bilangan satu angka $\overline{a}$). Diberikan sebuah segitiga $ABC$ dengan $BE$ dan $CF$ adalah dua garis tingginya. Apabila $\angle BAC = 60^{\circ}$ dan $p(XYZ)$ menyetakan keliling segitiga $XYZ$, tentukan nilai dari $210 \times \frac{p(AEF)}{p(ABC)}$. Untuk setiap bilangan bulat positif $k$, misalkan $\alpha_k$ adalah bilangan real positif yang memenuhi persamaan $x^2-kx-1=0$. Tentukan bilangan bulat positif $n$ terkecil sedemikian sehingga $\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_n\geq 2016$. Misalkan $P$ adalah sebuah segi-banyak beraturan dengan $n \ge 4$ sisi. Empat titik sudut berbeda $A$, $B$, $C$, dan $D$ dipilih secara acak dari segi-banyak tersebut (permutasi dihitung berbeda). Misalkan peluang bahwa garis $AB$ dan $CD$ berpotongan di dalam segi-banyak adalah $\frac{a}{b}$, dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli yang memenuhi $FPB(a,b) = 1$. Tentukan nilai dari $a \times b$. Misalkan $ABC$ adalah sebuah segitiga sama kaki dengan $AB=AC$ dan $\angle A=100^\circ$. Titik $D$ terletak pada sinar $AC$ sedemikian sehingga $AD=BC$. Tentukan besar $\angle ABD$ (dalam derajat). Misalkan $$S = 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \ldots + 2016 \cdot 2^{2016}.$$ Jika $x$ adalah bilangan ganjil terbesar yang habis membagi $S$, dan $y$ adalah bilangan bulat terbesar sedemikian sehingga $2^y$ habis membagi $S$, tentukan nilai dari $x + y$. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat $(x,y)$ dengan $|x|\leq 100$ dan $|y|\leq 100$ yang memenuhi persamaan $x^2+4y=4xy+1$. Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan panjang diameter lingkaran luar 25. $AD$, $BE$, dan $CF$ adalah garis tinggi dari segitiga tersebut. Jika keliling dari segitiga $DEF$ adalah 32, tentukan luas dari segitiga $ABC$. \Diberikan sebuah bilangan bulat $n$ dengan $3 \le n \le 2016$. Sebanyak $n$ bilangan bulat disusun melingkar sedemikian sehingga setiap bilangan lebih besar dari jumlah bilangan yang berada pada urutan pertama dan kedua dari sebelah kanan bilangan tersebut. Misalkan $A(n)$ menyatakan nilai terbesar dari banyaknya bilangan positif di antara $n$ bilangan tersebut. Tentukan banyaknya nilai berbeda untuk $A(n)$, untuk setiap $n$ yang mungkin. Misal $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ adalah barisan yang memenuhi $a_0 = 0, a_1 = 1$, dan $a_{n+2} = a_{n+1}+2a_n$ untuk semua bilangan bulat $n \geq 0$. Tentukan bilangan asli terkecil $k$ sedemikian sehingga $61 | a_k$. Misalkan $x,y,z$ adalah bilangan real yang memenuhi persamaan \[x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz=2\sqrt{x+y-z}-x-2y+2z-\frac{5}{4}.\] Tentukan nilai dari $100(x+y+z)$.
  47. 1 point
    Apakah terdapat $\alpha\in\mathbb{R}^+$ sehingga $\lfloor\alpha ^n\rfloor - n$ genap untuk semua $n\in\mathbb{N}$?
  48. 1 point
    Kalo $x=1$, berarti pasti memenuhi dong.(Gak ada yang bilang $x$ bukan 1). Berarti ada 50+201=251.
  49. 1 point
    No 2: kalo gak ada 2, maka x = ganjil+ganjil+...(10x)+ganjil=genap kontradiksi berarti, x = 2+3+5+7+11+13+17+19+23+29 = 129
  50. 1 point