KTO Matematika

Official Lomba
  • Content count

    100
  • Joined

  • Last visited

  • Days Won

    25

KTO Matematika last won the day on December 27 2016

KTO Matematika had the most liked content!

Community Reputation

81 Excellent

About KTO Matematika

  • Rank
    KTO

Profile Information

  • Gender
    Not Telling

Recent Profile Visitors

5,221 profile views
  1. Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan real sedemikian sehingga kurva $x-2y^2-ay-b=0$ menyinggung sumbu-$y$. Tentukan nilai dari $a^2-8b$. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $CA = 5, CB = 7$, dan $AB = 8$. Misal $PQ$ adalah garis yang sejajar dengan $AB$ dan menyinggung lingkaran dalam segitiga $ABC$, di mana $P$ terletak pada $AC$ dan $Q$ terletak pada $BC$. Bila panjang $PQ$ dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{m}{n}$ dengan $m$ dan $n$ merupakan bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $m+n$. Tentukan banyaknya cara membagi 11 orang ke dalam kelompok-kelompok yang hanya beranggotakan 4 atau 3 orang. Diketahui bahwa $$20!+17!=24332576x560473yz00.$$ Carilah nilai dari $100x+10y+z$. Misalkan $a$, $b$, dan $c$ adalah bilangan real positif yang memenuhi $abc=\frac{1}{8}$. Tentukan nilai minimum dari $16a^2+16b^2+16c^2+32a^2b^2+32b^2c^2+32c^2a^2$. Titik $E$ adalah titik tengah sisi $AB$ dari persegi $ABCD$. Lingkaran yang melalui $B$ dengan pusat $A$ memotong segmen $EC$ di titik $F$. Apabila $\frac{EF}{FC}$ dapat ditulis dalam bentuk $\frac{a}{b}$, dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $a+b$. Diketahui bahwa suatu barisan aritmetika memiliki suku pertama 1, beda $k$, dan mengandung angka 2016. Jika $0<k<1000$ dan $k$ adalah bilangan bulat, hitunglah jumlah dari semua nilai $k$ yang mungkin. Sebuah dadu bersisi 6 (sisi-sisinya mengandung angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6) dan sebuah dadu bersisi 4 (sisi-sisinya mengandung angka 1, 2, 3, dan 4) dilempar. Jika peluang angka pada dadu bersisi 4 lebih besar dari angka pada dadu bersisi 6 adalah $n$, tentukan nilai dari $100n$. Tentukan jumlah semua nilai $\theta$ (dalam derajat) yang memenuhi persamaan $\sqrt{3}\lfloor\sin{\theta}\rfloor=2\cos{\theta}$ dengan $-360^{\circ}\leq\theta\leq 360^{\circ}$. Terdapat sekelompok orang. Diketahui bahwa setiap laki-laki di kelompok itu memiliki teman perempuan tiga kali lipat banyaknya teman laki-laki, dan setiap perempuan di kelompok itu memiliki teman perempuan dua kali lipat banyaknya teman laki-laki. Tentukan banyaknya orang di kelompok tersebut. (Asumsikan bahwa setiap dua orang yang berbeda di kelompok tersebut adalah teman). Misalkan $ABC$ adalah segitiga sama sisi dan titik $P$ terletak di dalamnya. Misalkan $D$, $E$, dan $F$ adalah proyeksi titik $P$ terhadap sisi $BC$, $CA$, dan $AB$, berturut-turut. Misalkan $BD=4$, $CE=5$, dan $AF=6$. Tentukan kuadrat dari luas $\triangle ABC$. Diberikan sebuah bilangan asli $m$ yang memenuhi $m^{53}$ bersisa 31 apabila dibagi dengan 143. Tentukan sisa pembagian $m$ oleh 143. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $P$ adalah titik singgung lingkaran dalam segitiga dengan sisi $AB$. Misalkan $AP=23$, $BP=27$, dan jari-jari lingkaran dalam segitiga $ABC$ adalah 21. Tentukan keliling segitiga $ABC$. Diberikan sebuah barisan bilangan bulat $x_1,x_2,...$ sehingga untuk setiap $n\ge 1$ berlaku $x_{n+3}=2x_{n+2}-4x_{n+1}+8x_n$ dan $x_1=296,x_2=219,x_3=144$. Carilah bilangan bulat positif $n$ terkecil sedemikian sehingga untuk semua bilangan bulat $m\ge n$, berlaku $x_m\ge 0$. Misalkan $N$ adalah banyaknya 6-tupel bilangan bulat terurut $(a,b,c,d,e,f)$ sedemikian sehingga \[|a|+|b|+|c|+|d|+|e|+|f|\leq 19.\] Tentukan sisa pembagian $N$ oleh 17. Suatu barisan $a_n$ didefinisikan sebagai $a_n=n$ untuk $n=0,1,2,3,4$ dan untuk setiap $i \geq 5$, $a_i$ adalah sisa pembagian $a_{i-1}+a_{i-5}$ dengan 5. Hitunglah nilai dari $1000\times a_2+100\times a_{20}+10\times a_{201}+a_{2017}$. \Diberikan $\triangle ABC$ lancip dengan $M$ sebagai titik tengah $BC$ dan $\sin A=\frac{1}{3}$. Misalkan $BE$ dan $CF$ adalah garis tinggi $\triangle ABC$ yang berpotongan di titik $H$ (titik $E$ dan $F$ pada $CA$ dan $AB$, berturut-turut). Jika $(\cos\angle EMF)^2+(\cos\angle MFE)^2+(\cos\angle FEM)^2=\frac pq$ untuk suatu bilangan asli $p$ dan $q$ yang relatif prima, hitunglah nilai dari $p+q$. Tentukan banyaknya bilangan asli $n$ dengan $2\leq n\leq 1000$ sehingga $n!$ habis dibagi oleh $2^{n-2}$. Misalkan $p$ dan $q$ adalah bilangan asli sedemikian sehingga \[\prod_{k=1}^{14}\cos{(6k)}^\circ=\frac{\sqrt{p}}{q}.\] Jika $p$ adalah bilangan yang tidak habis dibagi bilangan kuadrat apa pun selain 1, tentukan sisa pembagian $p+q$ oleh 1000.Catatan: Notasi $\displaystyle \prod_{k=1}^{m}f(k)$ menyatakan perkalian $f(1),f(2),$ sampai dengan $f(k)$. Terdapat $n$ titik di dalam persegi berukuran $3\times 3$ (titik-titik tersebut boleh terletak pada sisi ataupun sudut persegi tersebut). Tentukan nilai terkecil yang mungkin untuk $n$ sehingga pasti dapat ditemukan $2$ titik dengan jarak kurang dari $2$.
  2. 1. Tentukan bilangan asli dengan empat digit terkecil yang memiliki banyak faktor yang sama dengan banyak faktor dari 2017. 2. Diberikan segitiga $ABC$ yang siku-siku di $C$ dengan $CA = 3$ dan $CB = 4$. Titik $D$ terletak pada $AB$ sehingga $CD$ tegak lurus terhadap $AB$. Titik $E$ terletak pada $CA$ sehingga $DE$ tegak lurus terhadap $CA$. Jika panjang $DE$ dinyatakan dalam bentuk $\frac{m^2}{n^2}$, dengan $m$ dan $n$ adalah bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $m+n$. 3. Misalkan $x$ dan $y$ bilangan real yang memenuhi $x^2 − 2xy + 2y^2 − 4y + 4 = 0$. Tentukan nilai dari $x^4 + y^4$. 4. Sebuah bilangan asli disebut mantap jika penulisannya dalam basis $7$ berakhir dengan angka $5$.Sebuah bilangan disebut jiwa jika penulisannya dalam basis $13$ berakhir dengan angka $4$. Sebuah bilangan dikatakan mantap jiwa jika bilangan tersebut mantap sekaligus jiwa. Tentukan bilangan mantap jiwa terbesar yang terdiri dari tiga angka. 5. Misalkan $ABCD$ adalah segiempat dengan $AB = BC = CD = DA$ dan $\angle{ABC} < 90^{\circ}$. Diketahui bahwa terdapat titik $E$ dan $F$ pada segmen $BC$ dan $CD$, berturut-turut, sehingga $AB = AE = AF = FE$ ($E$ terletak di antara $B$ dan $C$, dan $F$ terletak di antara $C$ dan $D$). Misalkan besar $\angle{BEF}$ adalah $p$ dalam satun derajat. Tentukan nilai $p$. 6. Andi dan Budi sedang bermain. Diberikan $2017$ kartu dengan $901$ diantaranya berwarna merah dan sisanya berwarna biru. Sebuah ronde permainan didefinisikan sebagai berikut: dua kartu diambil secara bersamaan; jika kartu yang terambil pertama berwarna merah dan kedua berwarna biru, Andi menang dan ronde selesai; jika kartu yang terambil pertama berwarna biru dan kedua berwarna merah, Budi menang dan ronde selesai; jika kedua kartu yang terambil berwarna sama, permainan berlanjut (kartu yang sudah terambil tidak dikembalikan lagi). Misalkan $x$ adalah peluang Andi memenangkan sebuah ronde permainan. Tentukan nilai dari $2016x$. 7. Berapakah sisa dari $20^{2017} + 01^{2017} + 17^{2017} + 72^{2017}$ ketika dibagi dengan $2017$? 8. Andi dan Budi sedang bermain. Terdapat sebuah kantong yang berisi $2016$ kelereng merah dan $2017$ kelereng biru. Andi mengambil sejumlah kelereng secara acak dari kantong tersebut. Andi menang jika banyaknya kelereng merah lebih banyak dari banyaknya kelereng biru; sebaliknya, Budi menang. Untuk memaksimalkan peluang Andi menang, tentukan jumlah kelereng yang harus diambilnya. 9. Diberikan $\triangle{ABC}$ dengan panjang $AB = 25, BC = 34,$ dan $CA = 39$. Misalkan $P$ adalah sebuah titik di dalam segitiga dan titik-titik $X, Y ,$ dan $Z$ adalah proyeksi titik $P$ ke sisi $BC, CA,$ dan $AB$ berturut-turut. Diketahui bahwa ketia segiempat $AZPY$ , $BXPZ,$ dan $CYPX$ semuanya memiliki lingkaran dalam. Jika $PX + PY + PZ = \frac{m}{n}$ untuk suatu bilangan asli $m$ dan $n$ yang relatif prima. Hitunglah $m + n$. Catatan : lingkaran dalam dari sebuah segiempat adalah sebuah lingkaran di dalam segiempat yang menyinggung keempat sisi dari segiempat tersebut. 10. Misalkan $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ adalah fungis tak-konstan (hal ini berarti terdapat dua bilangan real $a$ dan $b$ sehingga $f(a) \neq f(b)$) yang memenuhi persamaan $f(x)f(x+y) = f(2x+y) - xf(x+y) + x$ untuk setiap $x,y \in \mathbb{R}$. Tentukan $f(-99)$. 11. Satria sedang bermain sebuah game dengan 3 (tiga) level. Kemungkinan ia memenangkan level pertama, kedua dan ketiga adalah $\frac{2}{3}, \frac{1}{2},$ dan $\frac{1}{3}$, berturut-turut. Satria mulai dari level pertama. Setiap kali Satria memenangkan sebuah level, ia maju ke level selanjutnya; sedangkan setiap kali Satria kalah pada sebuah level, ia truun ke level sebelumnya. Jika Satria memenangkan level ketiga, ia memenangkan permainan dan permainan selesai. Sebaliknya, jika Satria kalah pada level pertama, ia dianggap kalah dalam permainan dan permainan juga selesai. Misalkan kemungkinan Satria memenangkan permainan pertama adalah $\frac{a}{b}$, di mana $a$ dan $b$ adalah bilangan asli yang relatif prima. Tentukan nilai dari $a + b.$ 12. Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat sehingga \[(x^3 - 1)(y^3 - 1) = 3(x^2y^2 + 2)\] Tentukan nilai dari $x^2 + y^2$. 13. Misalkan $\triangle{ABC}$ memiliki $I$ sebagai titik pusat lingkaran dalamnya. Lingkaran berdiameter $AI$ memotong lingkaran luar $\triangle{ABC}$ sekali lagi di titik $X$ (hal ini berarti $X \neq A$). Misalkan $Y$ adalah titik tengah busur $BC$ yang tidak memuat $A$ pada lingkaran luar $\triangle{ABC}$. Misalkan $XY$ memotong $BC$ di titik $Z$. Jika $BZ = 7$ dan $AC = 35$, tentukan keliling $\triangle{ABC}$. 14. Andi memiliki $3$ tiket. Setiap hari, sebuah tiket diambil. Terdapat $\frac{2}{5}$ kemungkinan bahwa tiket yang terambil tersebut dikembalikan, dan terdapat $\frac{3}{5}$ kemungkinan bahwa Andi akan mendapat kembalian $2$ tiket (jadi, banyak tiket yang dmiliki Andi bertambah $1$ tiket). Kejadian ini dilakukan terus menerus. Jika peluang suatu saat tiket Andi habis adalah $x$, tentukan $999x$.
  3. Sebuah persegi panjang dengan dimensi $m \times n$ dapat ditutupi ubin berdimensi $1 \times k$ dan $k \times 1$ sedemikian sehingga setiap persegi satuan dalam persegi panjang tersebut ditutup oleh tepat satu ubin. Tunjukkan bahwa $k$ habis membagi setidaknya satu dari $m$ atau $n$.
  4. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB < AC$. Lingkaran yang berpusat di $A$ dengan jari-jari $AC$ memotong $BC$ di $C'$. Jika $O$ dan $O'$ adalah titik pusat lingkaran luar $ABC$ dan $ABC'$ berturut-turut. Buktikan bahwa $AB$ membagi dua $OO'$
  5. Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat sehingga $\frac{2x+3y}{13}$ adalah bilangan bulat. Buktikan bahwa $\frac{3x-2y}{13}$ juga adalah bilangan bulat.
  6. Diberikan bilangan real positif $a,b,$ dan $c$. Perhatikan sistem persamaan \[x+y = a\] \[y+z = b\] \[x+z = c\] (a) Tunjukkan bahwa penyelesaian $x,y,$ dan $z$ dari sistem persamaan tersebut adalah \[x = \frac{a-b+c}{2}\] \[y = \frac{a+b-c}{2}\] \[z = \frac{-a+b+c}{2}\] (Petunjuk : jumlahkan ketiga persamaan, lalu nyatakan $x,y,$ dan $z$ dalam $a,b,$ dan $c$. (b) Jika $a,b,$ dan $c$ merupakan panjang sisi-sisi dari suatu segitiga, tunjukkan bahwa penyelesaian $x,y,$ dan $z$ pada bagian (a) adalah bilangan real positif. (c) Apakah pertanyaan pada bagian (b) tetap benar jika $a,b,$ dan $c$ bukanlah panjang sisi segitiga? Jika benar, buktikan; jika salah, berikan suatu contoh penyangkal. (d) Diberikan bilangan real positif $x, y,$ dan $z$. Dengan menyatakan $x, y,$ dan $z$ ke dalam $a, b,$ dan $c$ (seperti pada bagian (a)), tunjukkan bahwa \[\frac{x}{y+z} + \frac{y}{z+x} + \frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2}\] (Catatan: Ketaksamaan ini dikenal dengan Ketaksamaan Nesbitt. Teknik substitusi seperti pada bagian (a) dikenal dengan Substitusi Ravi) (e) Diketahui bahwa $a,b,$ dan $c$ merupakan panjang sisi-sisi dari suatu segitiga. Tunjukkan bahwa \[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} < 2\] (Petunjuk : Gunakan teknik Substitusi Ravi. Coba nyatakan $a,b,$ dan $c$ dalam $x,y$ dan $z$)
  7. Simulasi OSN Matematika olimpiade.org 2015

    Hari Pertama 1. Barisan $a_1,a_2,\dots,a_n$ merupakan barisan yang anggotanya berbeda-beda dan merupakan anggota himpunan $\{1,2,\dots,100\}$. Diketahui $\mathrm{FPB}(a_i,a_{i+1})>1$ untuk setiap $i=1,2,\dots,n-1$ dan $\mathrm{FPB}(a_n,a_1)>1$. Berapakah nilai terbesar yang mungkin untuk $n$? 2. Pada segitiga sama kaki lancip $ABC$, diketahui $AB>AC$. Misalkan $H_A,H_B,H_C$ adalah kaki-kaki garis tinggi dari $A,B,C$ dan titik $H$ adalah titik tinggi segitiga $ABC$. Misalkan pula $M$ adalah titik tengah $BC$ dan $J$ titik tengah $AH$. Perlihatkan bahwa $MH_BJH_C$ adalah suatu layang-layang. 3. Cari bilangan real terbesar $M$ demikian sehingga berlaku \begin{align*} M(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \le (1+\sqrt{a})(1+\sqrt{b})(1+\sqrt{c}) \end{align*} untuk semua bilangan real tak negatif $a$, $b$, dan $c$ yang memenuhi $$2\max\{a,b,c\} \le a+b+c.$$ 4. Diberikan bilangan asli $n$. Pada setiap kotak dari papan catur berukuran $n \times n$, bilangan-bilangan $1,2,\dots,n^2$ dituliskan sembarang sehingga setiap bilangan digunakan tepat satu kali. Bilangan-bilangan ini ingin disusun sehingga di setiap baris, bilangan-bilangan di baris tersebut bertambah besar dari kiri ke kanan dan di setiap kolom, bilangan-bilangan di kolom tersebut bertambah besar dari atas ke bawah. Untuk menyusunnya, dapat dilakukan beberapa langkah. Satu buah langkah dapat bertipe salah satu dari berikut: (Tipe 1) Pilih dua kotak bertetangga yang berada pada satu kolom; jika bilangan pada kotak di atas lebih besar dari bilangan pada kotak di bawah, tukarkan kedua bilangan di kotak tersebut (Tipe 2) Pilih dua kotak bertetangga yang berada pada satu baris; jika bilangan pada kotak di kiri lebih besar dari bilangan pada kotak di kanan, tukarkan kedua bilangan di kotak tersebut. Selama operasi dapat dilakukan, operasi harus dilakukan hingga susunan yang diinginkan tercapai. Tunjukkan bahwa untuk sebarang kondisi awal: (i) terdapat barisan berhingga langkah dengan banyak langkah kurang dari $n^3$ langkah sehingga permainan dapat diselesaikan. (ii) saat permainan terselesaikan, banyak langkah yang telah dilakukan tidak mungkin lebih dari $n^6$ langkah. (Catatan: Dua kotak dikatakan bertetangga jika kedua kotak memiliki satu sisi bersama.) Hari Kedua 5. Tentukan semua fungsi $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ yang memenuhi \begin{align*} f(x+f(y))+xf(y)=f(xy+x)+f(y) \end{align*} untuk sebarang bilangan real $x$ dan $y$. 6. Sebuah banteng di papan catur berjalan dari kotak asal ke kotak yang terletak di satu baris ataupun satu kolom dengan kotak asal tersebut, namun tidak boleh ke kotak yang bertetangga. Contohnya, dari kotak biru di bawah ini, sebuah banteng bisa berjalan ke kotak hijau. Apakah mungkin setiap kotak di papan catur 4 $\times$ 4 dinomori 1, 2, 3, ..., 16, dengan setiap nomor digunakan tepat satu kali, sehingga sebuah banteng bisa berjalan dari kotak nomor 1, ke kotak nomor 2, ke kotak nomor 3, dan seterusnya sampai ke kotak nomor 16, kemudian kembali lagi ke kotak nomor 1? (Catatan: Dua kotak dikatakan bertetangga jika kedua kotak memiliki satu sisi bersama.) 7. Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan $\angle{ABC} > \angle{ACB}$. Lingkaran $\Gamma_{1}$ adalah lingkaran luar segitiga $ABC$ dengan pusat $O$. Dibentuk lingkaran $\Gamma_{2}$ yang menyinggung lingkaran $\Gamma_{1}$ di $A$ dan menyinggung $BC$ di $D$. Perpanjang garis $AD$ hingga memotong lingkaran $\Gamma_{1}$ lagi di $Q$. Misalkan pula lingkaran $\Gamma_2$ memotong segmen garis $AC$ lagi di titik $E$. Diketahui bahwa $\angle{OAD}=\angle{OAC}$. Buktikan bahwa $QE = QB$. 8. Pada bidang koordinat Kartesian, titik rasional didefinisikan sebagai pasangan terurut $(x,y)$ dengan $x$ dan $y$ merupakan bilangan rasional. Buktikan bahwa semua titik rasional di bidang bisa diwarnai dengan hitam dan putih sehingga dua titik rasional yang berjarak 1 selalu memiliki warna berbeda. (Catatan: Jarak dua buah titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ didefinisikan dengan nilai dari $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$.)