Jump to content

KTO Matematika

Official Lomba
  • Content count

    100
  • Joined

  • Last visited

  • Days Won

    25

KTO Matematika last won the day on December 27 2016

KTO Matematika had the most liked content!

Community Reputation

81 Excellent

About KTO Matematika

  • Rank
    KTO

Profile Information

  • Gender
    Not Telling

Recent Profile Visitors

5,968 profile views
  1. Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan real sedemikian sehingga kurva $x-2y^2-ay-b=0$ menyinggung sumbu-$y$. Tentukan nilai dari $a^2-8b$. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $CA = 5, CB = 7$, dan $AB = 8$. Misal $PQ$ adalah garis yang sejajar dengan $AB$ dan menyinggung lingkaran dalam segitiga $ABC$, di mana $P$ terletak pada $AC$ dan $Q$ terletak pada $BC$. Bila panjang $PQ$ dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{m}{n}$ dengan $m$ dan $n$ merupakan bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $m+n$. Tentukan banyaknya cara membagi 11 orang ke dalam kelompok-kelompok yang hanya beranggotakan 4 atau 3 orang. Diketahui bahwa $$20!+17!=24332576x560473yz00.$$ Carilah nilai dari $100x+10y+z$. Misalkan $a$, $b$, dan $c$ adalah bilangan real positif yang memenuhi $abc=\frac{1}{8}$. Tentukan nilai minimum dari $16a^2+16b^2+16c^2+32a^2b^2+32b^2c^2+32c^2a^2$. Titik $E$ adalah titik tengah sisi $AB$ dari persegi $ABCD$. Lingkaran yang melalui $B$ dengan pusat $A$ memotong segmen $EC$ di titik $F$. Apabila $\frac{EF}{FC}$ dapat ditulis dalam bentuk $\frac{a}{b}$, dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $a+b$. Diketahui bahwa suatu barisan aritmetika memiliki suku pertama 1, beda $k$, dan mengandung angka 2016. Jika $0<k<1000$ dan $k$ adalah bilangan bulat, hitunglah jumlah dari semua nilai $k$ yang mungkin. Sebuah dadu bersisi 6 (sisi-sisinya mengandung angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6) dan sebuah dadu bersisi 4 (sisi-sisinya mengandung angka 1, 2, 3, dan 4) dilempar. Jika peluang angka pada dadu bersisi 4 lebih besar dari angka pada dadu bersisi 6 adalah $n$, tentukan nilai dari $100n$. Tentukan jumlah semua nilai $\theta$ (dalam derajat) yang memenuhi persamaan $\sqrt{3}\lfloor\sin{\theta}\rfloor=2\cos{\theta}$ dengan $-360^{\circ}\leq\theta\leq 360^{\circ}$. Terdapat sekelompok orang. Diketahui bahwa setiap laki-laki di kelompok itu memiliki teman perempuan tiga kali lipat banyaknya teman laki-laki, dan setiap perempuan di kelompok itu memiliki teman perempuan dua kali lipat banyaknya teman laki-laki. Tentukan banyaknya orang di kelompok tersebut. (Asumsikan bahwa setiap dua orang yang berbeda di kelompok tersebut adalah teman). Misalkan $ABC$ adalah segitiga sama sisi dan titik $P$ terletak di dalamnya. Misalkan $D$, $E$, dan $F$ adalah proyeksi titik $P$ terhadap sisi $BC$, $CA$, dan $AB$, berturut-turut. Misalkan $BD=4$, $CE=5$, dan $AF=6$. Tentukan kuadrat dari luas $\triangle ABC$. Diberikan sebuah bilangan asli $m$ yang memenuhi $m^{53}$ bersisa 31 apabila dibagi dengan 143. Tentukan sisa pembagian $m$ oleh 143. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $P$ adalah titik singgung lingkaran dalam segitiga dengan sisi $AB$. Misalkan $AP=23$, $BP=27$, dan jari-jari lingkaran dalam segitiga $ABC$ adalah 21. Tentukan keliling segitiga $ABC$. Diberikan sebuah barisan bilangan bulat $x_1,x_2,...$ sehingga untuk setiap $n\ge 1$ berlaku $x_{n+3}=2x_{n+2}-4x_{n+1}+8x_n$ dan $x_1=296,x_2=219,x_3=144$. Carilah bilangan bulat positif $n$ terkecil sedemikian sehingga untuk semua bilangan bulat $m\ge n$, berlaku $x_m\ge 0$. Misalkan $N$ adalah banyaknya 6-tupel bilangan bulat terurut $(a,b,c,d,e,f)$ sedemikian sehingga \[|a|+|b|+|c|+|d|+|e|+|f|\leq 19.\] Tentukan sisa pembagian $N$ oleh 17. Suatu barisan $a_n$ didefinisikan sebagai $a_n=n$ untuk $n=0,1,2,3,4$ dan untuk setiap $i \geq 5$, $a_i$ adalah sisa pembagian $a_{i-1}+a_{i-5}$ dengan 5. Hitunglah nilai dari $1000\times a_2+100\times a_{20}+10\times a_{201}+a_{2017}$. \Diberikan $\triangle ABC$ lancip dengan $M$ sebagai titik tengah $BC$ dan $\sin A=\frac{1}{3}$. Misalkan $BE$ dan $CF$ adalah garis tinggi $\triangle ABC$ yang berpotongan di titik $H$ (titik $E$ dan $F$ pada $CA$ dan $AB$, berturut-turut). Jika $(\cos\angle EMF)^2+(\cos\angle MFE)^2+(\cos\angle FEM)^2=\frac pq$ untuk suatu bilangan asli $p$ dan $q$ yang relatif prima, hitunglah nilai dari $p+q$. Tentukan banyaknya bilangan asli $n$ dengan $2\leq n\leq 1000$ sehingga $n!$ habis dibagi oleh $2^{n-2}$. Misalkan $p$ dan $q$ adalah bilangan asli sedemikian sehingga \[\prod_{k=1}^{14}\cos{(6k)}^\circ=\frac{\sqrt{p}}{q}.\] Jika $p$ adalah bilangan yang tidak habis dibagi bilangan kuadrat apa pun selain 1, tentukan sisa pembagian $p+q$ oleh 1000.Catatan: Notasi $\displaystyle \prod_{k=1}^{m}f(k)$ menyatakan perkalian $f(1),f(2),$ sampai dengan $f(k)$. Terdapat $n$ titik di dalam persegi berukuran $3\times 3$ (titik-titik tersebut boleh terletak pada sisi ataupun sudut persegi tersebut). Tentukan nilai terkecil yang mungkin untuk $n$ sehingga pasti dapat ditemukan $2$ titik dengan jarak kurang dari $2$.
  2. 1. Tentukan bilangan asli dengan empat digit terkecil yang memiliki banyak faktor yang sama dengan banyak faktor dari 2017. 2. Diberikan segitiga $ABC$ yang siku-siku di $C$ dengan $CA = 3$ dan $CB = 4$. Titik $D$ terletak pada $AB$ sehingga $CD$ tegak lurus terhadap $AB$. Titik $E$ terletak pada $CA$ sehingga $DE$ tegak lurus terhadap $CA$. Jika panjang $DE$ dinyatakan dalam bentuk $\frac{m^2}{n^2}$, dengan $m$ dan $n$ adalah bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $m+n$. 3. Misalkan $x$ dan $y$ bilangan real yang memenuhi $x^2 − 2xy + 2y^2 − 4y + 4 = 0$. Tentukan nilai dari $x^4 + y^4$. 4. Sebuah bilangan asli disebut mantap jika penulisannya dalam basis $7$ berakhir dengan angka $5$.Sebuah bilangan disebut jiwa jika penulisannya dalam basis $13$ berakhir dengan angka $4$. Sebuah bilangan dikatakan mantap jiwa jika bilangan tersebut mantap sekaligus jiwa. Tentukan bilangan mantap jiwa terbesar yang terdiri dari tiga angka. 5. Misalkan $ABCD$ adalah segiempat dengan $AB = BC = CD = DA$ dan $\angle{ABC} < 90^{\circ}$. Diketahui bahwa terdapat titik $E$ dan $F$ pada segmen $BC$ dan $CD$, berturut-turut, sehingga $AB = AE = AF = FE$ ($E$ terletak di antara $B$ dan $C$, dan $F$ terletak di antara $C$ dan $D$). Misalkan besar $\angle{BEF}$ adalah $p$ dalam satun derajat. Tentukan nilai $p$. 6. Andi dan Budi sedang bermain. Diberikan $2017$ kartu dengan $901$ diantaranya berwarna merah dan sisanya berwarna biru. Sebuah ronde permainan didefinisikan sebagai berikut: dua kartu diambil secara bersamaan; jika kartu yang terambil pertama berwarna merah dan kedua berwarna biru, Andi menang dan ronde selesai; jika kartu yang terambil pertama berwarna biru dan kedua berwarna merah, Budi menang dan ronde selesai; jika kedua kartu yang terambil berwarna sama, permainan berlanjut (kartu yang sudah terambil tidak dikembalikan lagi). Misalkan $x$ adalah peluang Andi memenangkan sebuah ronde permainan. Tentukan nilai dari $2016x$. 7. Berapakah sisa dari $20^{2017} + 01^{2017} + 17^{2017} + 72^{2017}$ ketika dibagi dengan $2017$? 8. Andi dan Budi sedang bermain. Terdapat sebuah kantong yang berisi $2016$ kelereng merah dan $2017$ kelereng biru. Andi mengambil sejumlah kelereng secara acak dari kantong tersebut. Andi menang jika banyaknya kelereng merah lebih banyak dari banyaknya kelereng biru; sebaliknya, Budi menang. Untuk memaksimalkan peluang Andi menang, tentukan jumlah kelereng yang harus diambilnya. 9. Diberikan $\triangle{ABC}$ dengan panjang $AB = 25, BC = 34,$ dan $CA = 39$. Misalkan $P$ adalah sebuah titik di dalam segitiga dan titik-titik $X, Y ,$ dan $Z$ adalah proyeksi titik $P$ ke sisi $BC, CA,$ dan $AB$ berturut-turut. Diketahui bahwa ketia segiempat $AZPY$ , $BXPZ,$ dan $CYPX$ semuanya memiliki lingkaran dalam. Jika $PX + PY + PZ = \frac{m}{n}$ untuk suatu bilangan asli $m$ dan $n$ yang relatif prima. Hitunglah $m + n$. Catatan : lingkaran dalam dari sebuah segiempat adalah sebuah lingkaran di dalam segiempat yang menyinggung keempat sisi dari segiempat tersebut. 10. Misalkan $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ adalah fungis tak-konstan (hal ini berarti terdapat dua bilangan real $a$ dan $b$ sehingga $f(a) \neq f(b)$) yang memenuhi persamaan $f(x)f(x+y) = f(2x+y) - xf(x+y) + x$ untuk setiap $x,y \in \mathbb{R}$. Tentukan $f(-99)$. 11. Satria sedang bermain sebuah game dengan 3 (tiga) level. Kemungkinan ia memenangkan level pertama, kedua dan ketiga adalah $\frac{2}{3}, \frac{1}{2},$ dan $\frac{1}{3}$, berturut-turut. Satria mulai dari level pertama. Setiap kali Satria memenangkan sebuah level, ia maju ke level selanjutnya; sedangkan setiap kali Satria kalah pada sebuah level, ia truun ke level sebelumnya. Jika Satria memenangkan level ketiga, ia memenangkan permainan dan permainan selesai. Sebaliknya, jika Satria kalah pada level pertama, ia dianggap kalah dalam permainan dan permainan juga selesai. Misalkan kemungkinan Satria memenangkan permainan pertama adalah $\frac{a}{b}$, di mana $a$ dan $b$ adalah bilangan asli yang relatif prima. Tentukan nilai dari $a + b.$ 12. Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat sehingga \[(x^3 - 1)(y^3 - 1) = 3(x^2y^2 + 2)\] Tentukan nilai dari $x^2 + y^2$. 13. Misalkan $\triangle{ABC}$ memiliki $I$ sebagai titik pusat lingkaran dalamnya. Lingkaran berdiameter $AI$ memotong lingkaran luar $\triangle{ABC}$ sekali lagi di titik $X$ (hal ini berarti $X \neq A$). Misalkan $Y$ adalah titik tengah busur $BC$ yang tidak memuat $A$ pada lingkaran luar $\triangle{ABC}$. Misalkan $XY$ memotong $BC$ di titik $Z$. Jika $BZ = 7$ dan $AC = 35$, tentukan keliling $\triangle{ABC}$. 14. Andi memiliki $3$ tiket. Setiap hari, sebuah tiket diambil. Terdapat $\frac{2}{5}$ kemungkinan bahwa tiket yang terambil tersebut dikembalikan, dan terdapat $\frac{3}{5}$ kemungkinan bahwa Andi akan mendapat kembalian $2$ tiket (jadi, banyak tiket yang dmiliki Andi bertambah $1$ tiket). Kejadian ini dilakukan terus menerus. Jika peluang suatu saat tiket Andi habis adalah $x$, tentukan $999x$.
  3. Sebuah persegi panjang dengan dimensi $m \times n$ dapat ditutupi ubin berdimensi $1 \times k$ dan $k \times 1$ sedemikian sehingga setiap persegi satuan dalam persegi panjang tersebut ditutup oleh tepat satu ubin. Tunjukkan bahwa $k$ habis membagi setidaknya satu dari $m$ atau $n$.
  4. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB < AC$. Lingkaran yang berpusat di $A$ dengan jari-jari $AC$ memotong $BC$ di $C'$. Jika $O$ dan $O'$ adalah titik pusat lingkaran luar $ABC$ dan $ABC'$ berturut-turut. Buktikan bahwa $AB$ membagi dua $OO'$
  5. Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat sehingga $\frac{2x+3y}{13}$ adalah bilangan bulat. Buktikan bahwa $\frac{3x-2y}{13}$ juga adalah bilangan bulat.
  6. Diberikan bilangan real positif $a,b,$ dan $c$. Perhatikan sistem persamaan \[x+y = a\] \[y+z = b\] \[x+z = c\] (a) Tunjukkan bahwa penyelesaian $x,y,$ dan $z$ dari sistem persamaan tersebut adalah \[x = \frac{a-b+c}{2}\] \[y = \frac{a+b-c}{2}\] \[z = \frac{-a+b+c}{2}\] (Petunjuk : jumlahkan ketiga persamaan, lalu nyatakan $x,y,$ dan $z$ dalam $a,b,$ dan $c$. (b) Jika $a,b,$ dan $c$ merupakan panjang sisi-sisi dari suatu segitiga, tunjukkan bahwa penyelesaian $x,y,$ dan $z$ pada bagian (a) adalah bilangan real positif. (c) Apakah pertanyaan pada bagian (b) tetap benar jika $a,b,$ dan $c$ bukanlah panjang sisi segitiga? Jika benar, buktikan; jika salah, berikan suatu contoh penyangkal. (d) Diberikan bilangan real positif $x, y,$ dan $z$. Dengan menyatakan $x, y,$ dan $z$ ke dalam $a, b,$ dan $c$ (seperti pada bagian (a)), tunjukkan bahwa \[\frac{x}{y+z} + \frac{y}{z+x} + \frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2}\] (Catatan: Ketaksamaan ini dikenal dengan Ketaksamaan Nesbitt. Teknik substitusi seperti pada bagian (a) dikenal dengan Substitusi Ravi) (e) Diketahui bahwa $a,b,$ dan $c$ merupakan panjang sisi-sisi dari suatu segitiga. Tunjukkan bahwa \[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} < 2\] (Petunjuk : Gunakan teknik Substitusi Ravi. Coba nyatakan $a,b,$ dan $c$ dalam $x,y$ dan $z$)
  7. Simulasi OSN Matematika olimpiade.org 2015

    Hari Pertama 1. Barisan $a_1,a_2,\dots,a_n$ merupakan barisan yang anggotanya berbeda-beda dan merupakan anggota himpunan $\{1,2,\dots,100\}$. Diketahui $\mathrm{FPB}(a_i,a_{i+1})>1$ untuk setiap $i=1,2,\dots,n-1$ dan $\mathrm{FPB}(a_n,a_1)>1$. Berapakah nilai terbesar yang mungkin untuk $n$? 2. Pada segitiga sama kaki lancip $ABC$, diketahui $AB>AC$. Misalkan $H_A,H_B,H_C$ adalah kaki-kaki garis tinggi dari $A,B,C$ dan titik $H$ adalah titik tinggi segitiga $ABC$. Misalkan pula $M$ adalah titik tengah $BC$ dan $J$ titik tengah $AH$. Perlihatkan bahwa $MH_BJH_C$ adalah suatu layang-layang. 3. Cari bilangan real terbesar $M$ demikian sehingga berlaku \begin{align*} M(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \le (1+\sqrt{a})(1+\sqrt{b})(1+\sqrt{c}) \end{align*} untuk semua bilangan real tak negatif $a$, $b$, dan $c$ yang memenuhi $$2\max\{a,b,c\} \le a+b+c.$$ 4. Diberikan bilangan asli $n$. Pada setiap kotak dari papan catur berukuran $n \times n$, bilangan-bilangan $1,2,\dots,n^2$ dituliskan sembarang sehingga setiap bilangan digunakan tepat satu kali. Bilangan-bilangan ini ingin disusun sehingga di setiap baris, bilangan-bilangan di baris tersebut bertambah besar dari kiri ke kanan dan di setiap kolom, bilangan-bilangan di kolom tersebut bertambah besar dari atas ke bawah. Untuk menyusunnya, dapat dilakukan beberapa langkah. Satu buah langkah dapat bertipe salah satu dari berikut: (Tipe 1) Pilih dua kotak bertetangga yang berada pada satu kolom; jika bilangan pada kotak di atas lebih besar dari bilangan pada kotak di bawah, tukarkan kedua bilangan di kotak tersebut (Tipe 2) Pilih dua kotak bertetangga yang berada pada satu baris; jika bilangan pada kotak di kiri lebih besar dari bilangan pada kotak di kanan, tukarkan kedua bilangan di kotak tersebut. Selama operasi dapat dilakukan, operasi harus dilakukan hingga susunan yang diinginkan tercapai. Tunjukkan bahwa untuk sebarang kondisi awal: (i) terdapat barisan berhingga langkah dengan banyak langkah kurang dari $n^3$ langkah sehingga permainan dapat diselesaikan. (ii) saat permainan terselesaikan, banyak langkah yang telah dilakukan tidak mungkin lebih dari $n^6$ langkah. (Catatan: Dua kotak dikatakan bertetangga jika kedua kotak memiliki satu sisi bersama.) Hari Kedua 5. Tentukan semua fungsi $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ yang memenuhi \begin{align*} f(x+f(y))+xf(y)=f(xy+x)+f(y) \end{align*} untuk sebarang bilangan real $x$ dan $y$. 6. Sebuah banteng di papan catur berjalan dari kotak asal ke kotak yang terletak di satu baris ataupun satu kolom dengan kotak asal tersebut, namun tidak boleh ke kotak yang bertetangga. Contohnya, dari kotak biru di bawah ini, sebuah banteng bisa berjalan ke kotak hijau. Apakah mungkin setiap kotak di papan catur 4 $\times$ 4 dinomori 1, 2, 3, ..., 16, dengan setiap nomor digunakan tepat satu kali, sehingga sebuah banteng bisa berjalan dari kotak nomor 1, ke kotak nomor 2, ke kotak nomor 3, dan seterusnya sampai ke kotak nomor 16, kemudian kembali lagi ke kotak nomor 1? (Catatan: Dua kotak dikatakan bertetangga jika kedua kotak memiliki satu sisi bersama.) 7. Diberikan segitiga lancip $ABC$ dengan $\angle{ABC} > \angle{ACB}$. Lingkaran $\Gamma_{1}$ adalah lingkaran luar segitiga $ABC$ dengan pusat $O$. Dibentuk lingkaran $\Gamma_{2}$ yang menyinggung lingkaran $\Gamma_{1}$ di $A$ dan menyinggung $BC$ di $D$. Perpanjang garis $AD$ hingga memotong lingkaran $\Gamma_{1}$ lagi di $Q$. Misalkan pula lingkaran $\Gamma_2$ memotong segmen garis $AC$ lagi di titik $E$. Diketahui bahwa $\angle{OAD}=\angle{OAC}$. Buktikan bahwa $QE = QB$. 8. Pada bidang koordinat Kartesian, titik rasional didefinisikan sebagai pasangan terurut $(x,y)$ dengan $x$ dan $y$ merupakan bilangan rasional. Buktikan bahwa semua titik rasional di bidang bisa diwarnai dengan hitam dan putih sehingga dua titik rasional yang berjarak 1 selalu memiliki warna berbeda. (Catatan: Jarak dua buah titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ didefinisikan dengan nilai dari $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$.)
  8. Halo semuanya! Tidak terasa OSK sudah semakin mendekat saja. Untuk itu, Kontes Terbuka Olimpiade Matematika hadir kembali di bulan pertama 2017 ini! :D Siapkan diri Anda dan teruslah berlatih dengan kontes yang gratis dan online ini! Seperti biasa, soal dibuat oleh pemenang-pemenang lomba nasional seperti OSN maupun internasional seperti IMO :) Walaupun soal-soalnya setingkat olimpiade SMA, siapa saja, dari bayi sampai kakek-nenek boleh ikut! Caranya, buatlah akun (jika belum punya) di https://ktom.tomi.or.id/ Setelah itu, tunggu waktu kontes dimulai (20 Januari 2017 jam 12:00 WIB). Ketika kontes dimulai, buka saja website kami lagi dan kerjakan soalnya langsung di website kami! Gampang kan :) Informasi lebih lanjut: - Kontes berlangsung tanggal 20 Januari 2017 jam 12:00 WIB - 23 Januari 2017 jam 17:00 WIB. Untuk mencegah hal yang tidak diinginkan, tidak dianjurkan untuk mengunggah solusi mendekati deadline. - Soal berformat 14 isian singkat dan 4 esai. - Solusi isian diketik di website kami. - Solusi esai boleh diketik, difoto, maupun discan. Solusi esai akan diupload di website kami. - Hasil kontes akan diumumkan paling telat tanggal 31 Januari 2017 jam 23:59 WIB. - Ada tiga kategori pemenang: emas, perak, dan perunggu. - Semua peserta (tidak hanya pemenang) mendapatkan sertifikat (syarat dan ketentuan berlaku). - Selama kontes berlangsung, peserta tidak diperkenankan menyebarkan soal ke siapapun dalam bentuk apapun. Pelanggaran bisa mengakibatkan diskualifikasi dari kontes bulan ini atau bahkan kontes-kontes berikutnya. - Setelah kontes selesai, soal akan diunggah ke website kami di ktom.tomi.or.id, situs olimpiade.org, dan grup Facebook OSN Matematika (https://www.facebook.com/groups/pencintamatematika). - Hal-hal yang belum jelas dapat ditanyakan lewat akun media sosial kami, seperti tercantum di bawah. Selamat berlatih! Kontes Terbuka Olimpiade Matematika FB: fb.com/KTOMatematika LINE: @ktom Website: ktom.tomi.or.id Email: mail@ktom.tomi.or.id
  9. Buktikan bahwa untuk semua bilangan real positif $a$, $b$, dan $c$ yang memenuhi $abc \geq 1$ berlaku ketakasamaan \[\frac{1}{a^3+b^2+c^2}+\frac{1}{b^3+c^2+a^2}+\frac{1}{c^3+a^2+b^2} \leq 1.\]
  10. Tentukan semua pasangan bilangan bulat $(m,n)$ yang memenuhi persamaan \[7^m=n^6+6n+1.\]
  11. Titik-titik $A_1,A_2,\dots,A_{14}$ terletak pada bidang datar sehingga $A_1A_2\dots A_{14}$ membentuk segiempat belas beraturan. Setiap dua titik $A_i$ dan $A_j$ dihubungkan dengan sebuah garis lurus jika dan hanya jika $i$ dan $j$ berbeda paritas. Dengan kata lain, $A_1$ dihubungkan oleh garis lurus ke titik $A_2,A_4,A_6,A_8,A_{10},A_{12}$, dan $A_{14}$ (secara umum, $A_i$ terhubung dengan $A_j$ jika dan hanya jika $i$ ganjil dan $j$ genap atau $i$ genap dan $j$ ganjil). Setiap segmen garis ingin diberi warna sehingga tidak ada dua segmen garis berwarna sama yang berpotongan, kecuali di titik ujungnya. Tentukan banyak warna paling sedikit yang diperlukan untuk melakukan hal tersebut.
  12. Diketahui dua buah lingkaran $\Gamma_1$ dan $\Gamma_2$ bersinggungan luar di titik $P$, dan titik $A$ terletak pada garis singgungnya. Misalkan $PB$ merupakan diameter lingkaran $\Gamma_1$ dan $PC$ merupakan diameter lingkaran $\Gamma_2$. Titik $D$ dan $E$, berturut-turut, merupakan perpotongan garis $AC$ dengan $\Gamma_2$ dan $AB$ dengan $\Gamma_1$. 1. Tunjukkan bahwa segitiga $ABP$ dan $AEP$ saling sebangun. 2. Tunjukkan bahwa $AP^2=AE\times AB$. Catatan: pernyataan ini merupakan salah satu bagian dari Teorema Titik Kuasa 3. Tunjukkan bahwa $\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$. 4. Tunjukkan bahwa $\angle ADE=\angle ABC$. 5. Misalkan $DE$ merupakan garis singgung luar kedua lingkaran tersebut. a. Tunjukkan bahwa $\angle DEP=\angle ABC$ dan $\angle EDP=\angle ACB$. b. Tentukan besar $\angle CAB$.
  13. 1. Misalkan $ABCD$ adalah persegi panjang dengan $AB = 12$ dan $AD = 14$. Misalkan $M$ adalah titik tengah $AD$ dan $N$ adalah titik tengah $CD$. Tentukan luas $BCNM$. 2. Diberikan dua polinomial $P(x)=x^4+x^3-11x^2-30x-24$ dan $Q(x)=x^3-x^2-14x+8$. Katakan sebuah akar real dari $P(x)$ atau $Q(x)$ \textit{unik} bila akar tersebut hanya dimiliki oleh tepat satu dari $P(x)$ dan $Q(x)$. Tentukan hasil kali semua akar unik dari $P(x)$ dan $Q(x)$. 3. Adi memiliki sebuah kotak ajaib. Jika suatu bilangan dua-angka dimasukkan ke dalam kotak tersebut, kotak tersebut akan mengubah bilangan tersebut dengan cara meletakkan angka 0 di antara angka puluhan dan satuan bilangan tersebut. Sebagai contoh, ketika dimasukkan angka 18, kotak ajaib tersebut akan mengeluarkan angka 108. Sebuah bilangan dimasukkan ke dalam kotak ajaib. Diketahui bahwa jumlah bilangan yang dimasukkan dan bilangan yang keluar adalah 666. Tentukan bilangan yang dimasukan ke dalam kotak ajaib. 4. Misalkan $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$. Definisikan $m$ sebagai banyaknya himpunan bagian tak-kosong dari $A$ yang hasil penjumlahan setiap elemennya adalah bilangan genap dan $n$ adalah banyaknya himpunan bagian tak-kosong dari $A$ yang hasil perkalian setiap elemennya adalah bilangan genap. Tentukan nilai dari $m+ n$. 5. Diberikan tiga bilangan real $x$, $y$, dan $z$ yang memenuhi persamaan $$\frac{x}{3y-2z}=\frac{x+y}{z}=\frac{y}{3x}=r,$$ di mana $r$ adalah bilangan real positif. Tentukan jumlah semua nilai yang mungkin untuk $r$. 6. Titik $D$, $E$, dan $F$ terletak pada sisi $BC$, $CA$, dan $AB$ dari $\triangle ABC$, berturut-turut, sehingga $AD$, $BE$, dan $CF$ adalah garis berat. Titik $X$, $Y$, dan $Z$ terletak pada segmen $AD$, $BE$, dan $CF$, berturut-turut, sehingga $AX:XD=1:1$, $AY:YE=1:3$, dan $AZ:ZF=1:4$. Misalkan \[\frac{\text{luas }\triangle ABC}{\text{luas }\triangle XYZ}=\frac{m}{n},\] dengan $m$ dan $n$ adalah bilangan asli yang relatif prima. Tentukan nilai dari $m+n$. 7. Seseorang ingin membagikan 20 buah buku identik kepada keempat anaknya sehingga setiap anak memeproleh minimal 1 buah buku dan setiap anak memperoleh jumlah buku yang berbeda. Tentukan banyaknya cara untuk membagikan kedua puluh buku tersebut. 8. Sebanyak 100 bilangan asli yang semuanya berbeda memiliki jumlah 8064. Misalkan $m$ dan $n$ berturut-turut menyatakan banyak maksimum dan minimum bilangan ganjil yang mungkin dari 100 bilangan tersebut. Tentukan nilai dari $m-n$. 9. Misalkan $x$, $y$, dan $z$ adalah bilangan real taknol yang memenuhi kedua persamaan berikut: \[(x+y)(y+z)(z+x)=24xyz, (x+2y)(y+2z)(z+2x)=60xyz \] Jika $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=\frac{m}{n}$ untuk bilangan asli $m$ dan $n$ yang relatif prima, tentukan nilai dari $m+n$. 10. Misalkan $S$ adalah hasil penjumlahan semua bilangan berbentuk $2^x3^y5^z$ dengan $x$, $y$, dan $z$ adalah bilangan bulat taknegatif yang memenuhi persamaan $x+y+z=20$. Tentukan sisa pembagian $S$ oleh 1001. 11. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $D$ titik tengah $BC$. Jika panjang $AC = 12$, $\angle{DAC} = 78^{\circ}$ dan $\angle{DAB} = 51^{\circ}$, tentukan panjang $AD$. 12. Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan real yang memenuhi persamaan $x+y=2$. Jika nilai minimum dari $\sqrt{16+3x^2}+2\sqrt{73+3y^2}$ adalah $m$, tentukan nilai dari $m^2$. 13. Misalkan titik $D$ adalah titik tengah busur $BC$ yang memuat titik $A$ di lingkaran luar $\triangle ABC$. Misalkan $\angle ABC=2\angle ACB$ pada $\triangle ABC$. Misalkan juga garis tegak lurus $AC$ yang melewati titik $D$ memotong $AC$ di titik $E$. Diketahui panjang $CE=100$ dan $\sin \angle ACB=\frac13$. Jika panjang jari-jari lingkaran luar $\triangle ABC$ dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{1}{23}\left(a\sqrt{2}-b\right)$ dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli, tentukan nilai dari $a+b$. 14. Misalkan $x$, $y$, dan $z$ adalah bilangan asli sehingga \[(x^2+2)(y^2+3)(z^2+21)=120xyz.\] Misalkan $S$ adalah himpunan semua nilai $xyz$ yang mungkin Tentukan hasil penjumlahan semua anggota $S$.
  14. Misalkan $ABC$ adalah segitiga lancip dengan titik pusat lingkaran luar $O$ dan titik tinggi $H$. Misalkan pula $N$ adalah titik tengah $OH$, $D$ refleksi titik $A$ terhadap $BC$, dan titik $E$ pada $BC$ sedemikian sehingga $NE\perp BC$. Buktikan bahwa garis $DE$ memuat titik berat segitiga $ABC$.
  15. Tentukan semua fungsi $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sedemikian sehingga $f(xy+2016) = f(x+y)$ untuk setiap bilangan takrasional $x$ dan $y$. Catatan: bilangan takrasional adalah bilangan real yang tidak dapat dinyatakan sebagai $\frac{a}{b}$, di mana $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat dan $b \ne 0$.
×