Jump to content

Zekrom

Contributor (Candidate)
  • Content count

    49
  • Joined

  • Last visited

  • Days Won

    1

Zekrom last won the day on August 11 2014

Zekrom had the most liked content!

Community Reputation

5 Neutral

About Zekrom

  • Rank
    Member

Profile Information

  • Gender
    Not Telling

Recent Profile Visitors

452 profile views
  1. IMO 2011 NO 6

    Misalkan $ABC$ adalah suatu segitiga lancip dengan lingkaran luar $\Gamma$. Misalkan $l$ adlaah suatu garis singgung $\Gamma$, dan misalkan $l_a$, $l_b$ dan $l_c$ berturut-turut adalah garis-garis yang diperoleh dari mencerminkan $l$ pada garis-garis $BC$, $CA$, dan $AB$. Buktikan lingkaran luar segitiga yang dibentuk oleh garis-garis $l_a$, $l_b$ dan $l_c$ bersinggungan dengan lingkaran $\Gamma$.
  2. IMO 2011 NO 5

    Misalkan $f$ adalah suatu fungsi dari himpunan bilangan bulat ke himpunan bilangan bulat positif. Anggap bahwa, untuk sebarang dua bilangan bulat $m$ dan $n$, beda $f(m)-f(n)$ terbagi oleh $f(m-n)$. Buktikan bahwa, untuk semua bilangan bulat $m$ dan $n$ dengan $f(m) \leq f(n)$, bilangan $f(n)$ terbagi oleh $f(m)$.
  3. IMO 2011 NO 4

    Misalkan $n>0$ adalah suatu bilangan bulat. Kita diberi suatu neraca dan $n$ pemberat dengan berat $2^0$, $2^1$, ..., $2^{n-1}$. Kita letakkan masing-masing dari $n$ pemberat pada neraca, satu demi satu, sedemikian cara sehingga baki kanan tidak pernah lebih berat dari baki kiri. Pada masing-masing langkah kita memilih satu dari pemberat yang belum diletakkan pada neraca, dan meletakkannya pada baki kiri atau baki kanan, sampai semua pemberat terletakkan. Tentukan banyak cara yang seperti ini dapat dilakukan.
  4. IMO 2011 NO 3

    Misalkan $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ adalah suatu fungsi bernilai real terdefinisi pada himpunan bagian real memenuhi $f(x+y) \leq y f(x) +f(f(x))$ untuk semua bilangan real $x$ dan $y$. Buktikan bahwa $f(x)=0$ untuk semua $x \leq 0$.
  5. IMO 2011 NO 2

    Misalkan $\mathbb{S}$ adalah suatu himpunan hingga dari paling sedikit dua titik pada bidang tertentu. Asumsikan bahwa tidak ada tiga titik dari $\mathbb{S}$ yang segaris. Suatu $pusaran$ adalah suatu proses yang dimulai dengan suatu garis $l$ melalui suatu titik tunggal $P \in \mathbb{S}$. Garis itu berputar searah putaran jarum jam dengan $pusat$ $P$ sampai waktu pertama garis itu bertemu suatu titik lain anggota $\mathbb{S}$. Titik ini, $Q$, mengambil alih sebagai pusat baru, dan garis itu sekarang berputar searah putaran jarum jam dengan pusat $Q$, sampai garis itu bertemu suatu titik berikutnya dari $\mathbb{S}$. Proses ini berlanjut secara terus-menerus. Buktikan bahwa kita dapat memilih suatu titik $P$ di $\mathbb{S}$ dan suatu garis $l$ melalui $p$ sehingga pusaran yang dihasilkan menggunakan masing-masing titik dari $\mathbb{S}$ sebagai pusat tak hingga banyak kali.
  6. IMO 2011 NO 1

    Diberikan sebarang himpunan $A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}$ dari empat bilangan bulat positif berbeda, jumlah $a_1+a_2+a_3+a_4$ didefinisikan dengan $S_A$. Misalkan $n_A$ menyatakan banyaknya pasangan $(i,j)$ dengan $1 \leq i \leq j \leq 4$ sehingga $a_i+a_j$ membagi $S_A$. Cari semua himpunan $A$ dari empat bilangan bulat positif berbeda yang merealisasikan nilai $n_A$ terbesar yang mungkin.
  7. IMO 2012 NO 6

    Cari semua bilangan bulat positif $n$ yang mana terdapat bilangan bulat non-negatif $a_1$, $a_2$, $a_3$, ... , $a_n$ sehingga $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \displaystyle\frac{1}{2^{a_i}} = \displaystyle\sum\limits_{j=1}^n \displaystyle\frac{j}{3^{a_j}} = 1$
  8. IMO 2012 NO 5

    Misalkan $ABC$ suatu segitiga dengan $\angle BCA=90^{\circ}$, dan misalkan $D$ adalah kaki garis tinggi dari $C$. Misalkan $X$ adalah titik di bagian dalam ruas garis $CD$. Misalkan $K$ adalah titik pada ruas garis $AX$ sehingga $BK=BC$. Serupa, misalkan $L$ adalah titik pada ruas garis $BX$ sehingga $AL=AC$. Misalkan $M$ adalah titik perpotongan $AL$ dan $BK$. Buktikan bahwa $MK=ML$.
  9. IMO 2012 NO 4

    Cari semua fungsi $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ sehingga, untuk semua bilangan bulat $a$, $b$, $c$ yang memenuhi $a+b+c=0$, persamaan ini berlaku: $f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2 = 2f(a)f(b) + 2f(b)f(c) + 2f(c)f(a)$ (Disini $\mathbb{Z}$ menotasikan himpunan bilangan bulat.)
  10. IMO 2012 NO 3

    $Permainan$ $tebakan$ $pembohong$ adalah permainan yang dimainkan oleh dua pemain $A$ dan $B$. Aturan permainan tergantung pada dua bagian bilangan bulat positif $k$ dan $n$ yang diketahui kedua pemain. Pada awal permainan $A$ memilih bilangan bulat $x$ dan $N$ dengan $1 \leq x \leq N$. Pemain $A$ menjaga kerahasiaan $x$, dan dengan jujur mengatakan $N$ ke pemain $B$. Pemain $B$ sekarang mencoba untuk mendapatkan informasi tentang $x$ dengan menanyakan kepada pemain $A$ pertanyaan-pertanyaan sebagai berikut: masing-masing pertanyaan berisikan $B$ mengspesifikasikan sebarang himounan $S$ dari bilangan bulat positif (dimungkinkan himpunan itu telah dispesifikasikan di beberapa pertanyaan sebelumnya), dan menanyakan kepada $A$ apakah $x$ di dalam $S$. Pemain $B$ boleh bertanya sebanyak mungkin pertanyaan sesuai keinginannya. Setelah masing-masing pertanyaan, pemain $A$ harus segera menjawab pertanyaan itu dengan $ya$ atau $tidak$, tetapi diperbolehkan untuk berbohong sebanyak yang dia inginkan; satu-satunya batasan adalah bahwa, diantara sebarang $k+1$ jawaban berturutan, setidaknya satu jawaban harus benar. Setelah $B$ mengajukan sebanyak mungkin pertanyaan-pertanyaan yang dia inginkan, dia harus mengspesifikasikan himpunan $X$ beranggotakan paling banyak $n$ bilangan bulat positif. Jika $x$ di dalam $X$ maka $B$ menang; jika tidak, ia kalah. Buktikan bahwa: 1. Jika $n \geq 2^k$, maka $B$ dapat menjamin suatu kemenangan. 2. Untuk semua $k$ cukup besar, terdapat suatu bilangan bulat $n \geq (1,99)^k$ sehingga $B$ tidak dapat menjamin suatu kemenangan.
  11. IMO 2012 NO 2

    Misalkan $n \geq 3$ suatu bilangan bulat, dan misalkan $a_2$, $a_3$, $a_4$, ... , $a_n$ adalah bilangan real positif sehingga $\displaystyle\prod\limits_{i=2}^n a_i = 1$. Buktikan bahwa $\displaystyle\prod\limits_{i=2}^n (1+a_i)^i > n^n$
  12. IMO 2012 NO 1

    Diberikan segitiga $ABC$, titik $J$ adalah pusat $excircle$ berseberangan dengan titik sudut $A$. $Excircle$ ini menyinggung sisi $BC$ di $M$, dan menyinggung garis $AB$ dan $AC$ berturut-turut di $K$ dan $L$. Garis $LM$ dan $BJ$ bertemu di $F$, dan garis $KM$ dan $CJ$ bertemu di $G$. Misalkan $S$ adalah titik perpotongan garis $AF$ dan $BC$, dan misalkan $T$ adalah titik perpotongan garis $AG$ dan $BC$. Buktikan bahwa $M$ adalah titik tengah $ST$. ( $Excircle$ $ABC$ berseberangan dengan titik sudut $A$ adalah lingkaran yang menyinggung ruas garis $BC$, menyinggung sinar $AB$ di setelah $B$, menyinggung sinar $AC$ di setelah $C$. )
  13. IMO 2011 Hari Pertama 1. Diberikan sebarang himpunan $A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}$ dari empat bilangan bulat positif berbeda, jumlah $a_1+a_2+a_3+a_4$ didefinisikan dengan $S_A$. Misalkan $n_A$ menyatakan banyaknya pasangan $(i,j)$ dengan $1 \leq i \leq j \leq 4$ sehingga $a_i+a_j$ membagi $S_A$. Cari semua himpunan $A$ dari empat bilangan bulat positif berbeda yang merealisasikan nilai $n_A$ terbesar yang mungkin. 2. Misalkan $\mathbb{S}$ adalah suatu himpunan hingga dari paling sedikit dua titik pada bidang tertentu. Asumsikan bahwa tidak ada tiga titik dari $\mathbb{S}$ yang segaris. Suatu $pusaran$ adalah suatu proses yang dimulai dengan suatu garis $l$ melalui suatu titik tunggal $P \in \mathbb{S}$. Garis itu berputar searah putaran jarum jam dengan $pusat$ $P$ sampai waktu pertama garis itu bertemu suatu titik lain anggota $\mathbb{S}$. Titik ini, $Q$, mengambil alih sebagai pusat baru, dan garis itu sekarang berputar searah putaran jarum jam dengan pusat $Q$, sampai garis itu bertemu suatu titik berikutnya dari $\mathbb{S}$. Proses ini berlanjut secara terus-menerus. Buktikan bahwa kita dapat memilih suatu titik $P$ di $\mathbb{S}$ dan suatu garis $l$ melalui $p$ sehingga pusaran yang dihasilkan menggunakan masing-masing titik dari $\mathbb{S}$ sebagai pusat tak hingga banyak kali. 3. Misalkan $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ adalah suatu fungsi bernilai real terdefinisi pada himpunan bagian real memenuhi $f(x+y) \leq y f(x) +f(f(x))$ untuk semua bilangan real $x$ dan $y$. Buktikan bahwa $f(x)=0$ untuk semua $x \leq 0$. IMO 2011 Hari Kedua 4. Misalkan $n>0$ adalah suatu bilangan bulat. Kita diberi suatu neraca dan $n$ pemberat dengan berat $2^0$, $2^1$, ..., $2^{n-1}$. Kita letakkan masing-masing dari $n$ pemberat pada neraca, satu demi satu, sedemikian cara sehingga baki kanan tidak pernah lebih berat dari baki kiri. Pada masing-masing langkah kita memilih satu dari pemberat yang belum diletakkan pada neraca, dan meletakkannya pada baki kiri atau baki kanan, sampai semua pemberat terletakkan. Tentukan banyak cara yang seperti ini dapat dilakukan. 5. Misalkan $f$ adalah suatu fungsi dari himpunan bilangan bulat ke himpunan bilangan bulat positif. Anggap bahwa, untuk sebarang dua bilangan bulat $m$ dan $n$, beda $f(m)-f(n)$ terbagi oleh $f(m-n)$. Buktikan bahwa, untuk semua bilangan bulat $m$ dan $n$ dengan $f(m) \leq f(n)$, bilangan $f(n)$ terbagi oleh $f(m)$. 6.a Misalkan $ABC$ adalah suatu segitiga lancip dengan lingkaran luar $\Gamma$. Misalkan $l$ adlaah suatu garis singgung $\Gamma$, dan misalkan $l_a$, $l_b$ dan $l_c$ berturut-turut adalah garis-garis yang diperoleh dari mencerminkan $l$ pada garis-garis $BC$, $CA$, dan $AB$. Buktikan lingkaran luar segitiga yang dibentuk oleh garis-garis $l_a$, $l_b$ dan $l_c$ bersinggungan dengan lingkaran $\Gamma$.
  14. IMO $2012$ Hari Pertama 1. Diberikan segitiga $ABC$, titik $J$ adalah pusat $excircle$ berseberangan dengan titik sudut $A$. $Excircle$ ini menyinggung sisi $BC$ di $M$, dan menyinggung garis $AB$ dan $AC$ berturut-turut di $K$ dan $L$. Garis $LM$ dan $BJ$ bertemu di $F$, dan garis $KM$ dan $CJ$ bertemu di $G$. Misalkan $S$ adalah titik perpotongan garis $AF$ dan $BC$, dan misalkan $T$ adalah titik perpotongan garis $AG$ dan $BC$. Buktikan bahwa $M$ adalah titik tengah $ST$. ( $Excircle$ $ABC$ berseberangan dengan titik sudut $A$ adalah lingkaran yang menyinggung ruas garis $BC$, menyinggung sinar $AB$ di setelah $B$, menyinggung sinar $AC$ di setelah $C$. ) 2. Misalkan $n \geq 3$ suatu bilangan bulat, dan misalkan $a_2$, $a_3$, $a_4$, ... , $a_n$ adalah bilangan real positif sehingga $\displaystyle\prod\limits_{i=2}^n a_i = 1$. Buktikan bahwa $\displaystyle\prod\limits_{i=2}^n (1+a_i)^i > n^n$ 3. $Permainan$ $tebakan$ $pembohong$ adalah permainan yang dimainkan oleh dua pemain $A$ dan $B$. Aturan permainan tergantung pada dua bagian bilangan bulat positif $k$ dan $n$ yang diketahui kedua pemain. Pada awal permainan $A$ memilih bilangan bulat $x$ dan $N$ dengan $1 \leq x \leq N$. Pemain $A$ menjaga kerahasiaan $x$, dan dengan jujur mengatakan $N$ ke pemain $B$. Pemain $B$ sekarang mencoba untuk mendapatkan informasi tentang $x$ dengan menanyakan kepada pemain $A$ pertanyaan-pertanyaan sebagai berikut: masing-masing pertanyaan berisikan $B$ mengspesifikasikan sebarang himounan $S$ dari bilangan bulat positif (dimungkinkan himpunan itu telah dispesifikasikan di beberapa pertanyaan sebelumnya), dan menanyakan kepada $A$ apakah $x$ di dalam $S$. Pemain $B$ boleh bertanya sebanyak mungkin pertanyaan sesuai keinginannya. Setelah masing-masing pertanyaan, pemain $A$ harus segera menjawab pertanyaan itu dengan $ya$ atau $tidak$, tetapi diperbolehkan untuk berbohong sebanyak yang dia inginkan; satu-satunya batasan adalah bahwa, diantara sebarang $k+1$ jawaban berturutan, setidaknya satu jawaban harus benar. Setelah $B$ mengajukan sebanyak mungkin pertanyaan-pertanyaan yang dia inginkan, dia harus mengspesifikasikan himpunan $X$ beranggotakan paling banyak $n$ bilangan bulat positif. Jika $x$ di dalam $X$ maka $B$ menang; jika tidak, ia kalah. Buktikan bahwa: 1. Jika $n \geq 2^k$, maka $B$ dapat menjamin suatu kemenangan. 2. Untuk semua $k$ cukup besar, terdapat suatu bilangan bulat $n \geq (1,99)^k$ sehingga $B$ tidak dapat menjamin suatu kemenangan. IMO $2012$ Hari Kedua 4. Cari semua fungsi $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ sehingga, untuk semua bilangan bulat $a$, $b$, $c$ yang memenuhi $a+b+c=0$, persamaan ini berlaku: $f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2 = 2f(a)f(b) + 2f(b)f(c) + 2f(c)f(a)$ (Disini $\mathbb{Z}$ menotasikan himpunan bilangan bulat.) 5. Misalkan $ABC$ suatu segitiga dengan $\angle BCA=90^{\circ}$, dan misalkan $D$ adalah kaki garis tinggi dari $C$. Misalkan $X$ adalah titik di bagian dalam ruas garis $CD$. Misalkan $K$ adalah titik pada ruas garis $AX$ sehingga $BK=BC$. Serupa, misalkan $L$ adalah titik pada ruas garis $BX$ sehingga $AL=AC$. Misalkan $M$ adalah titik perpotongan $AL$ dan $BK$. Buktikan bahwa $MK=ML$. 6. Cari semua bilangan bulat positif $n$ yang mana terdapat bilangan bulat non-negatif $a_1$, $a_2$, $a_3$, ... , $a_n$ sehingga $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \displaystyle\frac{1}{2^{a_i}} = \displaystyle\sum\limits_{j=1}^n \displaystyle\frac{j}{3^{a_j}} = 1$
  15. IMO 2013 NO 6

    Misalkan $n \geq 3$ adalah bilangan bulat, dan perhatikan suatu lingkaran yang ditandai dengan $n+1$ titik-titik yang berjarak sama antar dua titik bersebelahan. Anggap semua pelabelan titik-titik itu dengan bilangan $0$, $1$, $2$, ... , $n$ sehingga masing-masing label digunakan tepat satu kali; dua pelabelan tersebut dipandang sama jika salah satu bisa diperoleh dari yang lain menggunakan rotasi pada lingkaran itu. Suatu pelabelan disebut $cantik$ jika, untuk sebarang empat label $a<b<c<d$ dengan $a+d=b+c$, talibusur yang menghubungkan titik-titik yang dilabeli $a$ dan $d$ tidak memotong talibusur yang menghubungkan titik-titik yang dilabeli $b$ dan $c$. Misalkan $M$ adalah banyaknya pelabelan $cantik$, dan misalkan $N$ adalah banyaknya pasangan terurut bilangan bulat positif $(x,y)$ sehingga $x+y \leq n$ dan $gcd(x,y)=1$. Buktikan bahwa $M=N+1$
×