blajaran

Members
  • Content count

    128
  • Joined

  • Last visited

  • Days Won

    3

blajaran last won the day on February 1 2015

blajaran had the most liked content!

Community Reputation

11 Good

About blajaran

  • Rank
    Retired Member

Profile Information

  • Gender
    Female
  • Location
    Indonesia

Recent Profile Visitors

386 profile views
  1. HI Richard Mario, Sedikit koreksi. Memang benar untuk $n=88$, maka $5n+1$ adalah bilangan kuadrat dan $n+1$ dapat dinyatakan dalam jumlah tiga bilangan kuadrat. Namun, di soalnya, tertulis bahwa Anda harus mencari $k$ terkecil sehingga: "Untuk setiap $n$ yang memenuhi $5n+1$ bilangan kuadrat, maka $n+1$ dapat dinyatakan dalam jumlah $k$ bilangan kuadrat" Anda baru membuktikan bahwa $k=3$ untuk $n=88$ saja, tidak untuk $n$ yang lain
  2. Perhatikan bahwa $5n+1$ kuadrat sempurna, atau $5n+1=m^2 \rightarrow n=\frac{m^2-1}{5}$. Hal ini berakibat bahwa $m$ harus berbentuk $5q\pm1$, sehingga $$n=5q^2\pm 2q \rightarrow n+1 = 5q^2\pm 2q+1 = (2q)^2+(q\pm1)^2$$ Karena $5q^2\pm 2q+1 = q^2+q^2+q^2+q^2+(q\pm1)^2$, jelas bahwa $k \le 5$. Perhatikan bahwa $n=7$ jelas memenuhi soal, dan perhatikan juga bahwa $8$ tidak dapat dinyatakan sebagai jumlahan $3$ atau $4$ bilangan kuadrat. Jadi $k=5$.
  3. WLOG $a\ge b\ge c$. Perhatikan bahwa $a- c \le 2$. Dengan CS atau QM-AM, perhatikan bahwa $$ \sqrt{a-b} + \sqrt{b-c} + \sqrt{a-c} \le \sqrt{2 \{(a-b)+(b-c)\}}+\sqrt{a-c} = (1+\sqrt{2})\sqrt{a-c} \le 2+\sqrt{2}$$
  4. Set $a=b=1$, maka $1+f(1)+f(1)^2=m^2$ untuk suatu $m$. Tulis sebagai $$(2f(1)+1)^2+3=(2m)^ 2 \rightarrow f(1)=-1,0$$ Jika $f(1)=0$, maka untuk $a=1$, berlaku bahwa $f(b)^2+1$ kuadrat sempurna, sehingga $f(b)=0$ untuk setiap $b$. Cek bahwa $f(k)=0 \forall k \in \mathbb{Z}$ memeuhi. Jika $f(1)=-1$, maka untuk $a=1$, berlaku bahwa $1-b+f(b)^2$ kuadrat sempurna. Untuk $b=3$, berlaku bahwa $f(3)^2-2=q^2$, atau $(f(3)-q)(f(3)-q)=2$ untuk suatu bilangan bulat $q$, yang berakibat $f(3)$ tidak bulat, kontradiksi. Jadi hanya $f(n)=0 \forall n \in \mathbb{Z}$ yang memenuhi syarat soal.
  5. Irasional + irasional + irasional bisa jadi rasional. Contohnya $2\sqrt2 + (1-\sqrt2) + (2-\sqrt{2}) = 3$
  6. Kalo $X$ cuma $1$ anggota, jelas benar. Misalkan $X$ punya minimal $2$ anggota $p$ dan $q$ Pandang tripel $p,p,p \in X$, maka $3p^2$ rasional atau $p^2$ rasional. Pandang tripel $p,p,q \in X$, maka $p^2+2pq$ rasional, karena $p^2$ rasional, maka $2pq$ rasional, atau juga $pq$ rasional. Jadi $\frac{p}{q}=\frac{p^2}{pq}$ hasil bagi dua bilangan rasional, berarti pasti rasional.
  7. Berhubung sudah sepuh saya jawab soal yang gampang-gampang saja :D
  8. Basically membuktikan kalau $31x+30y+28z=365$ dan $x,y,z \in \mathbb{N}$, maka $x+y+z=12$
  9. Tidak harus.
  10. Anda melewatkan solusi trivial lainnya, yaitu $(0,2)$
  11. Hint untuk part pertama 1. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan prima $p\equiv 1 \pmod 4$, terdapat unique $(x,y)$ asli $x \le y$ sehingga $x^2+y^2=p$ 2. Jika $p$ prima $3\pmod4$, dan $p|x^2+y^2$, maka $p|x$ dan $p|y$.
  12. 15/22/28
  13. wow baru liat, bukti saya sama persis sama yang di imomath itu hehehe. Yang muda muda mungkin ada yang minat coba?
  14. Hmm saya bisa buktiin $n_p < 1 + \sqrt p$ sih, cuma masih kurang kuat ya
  15. Misalkan $x=\max \{ x ,y,z \}$ 1) Jika $y=z$, maka $4^x+4^y+4^z=4^x+2\times4^y=4^y(4^{x-y}+2)$, maka itu pula haruslah $4^{x-y}+2$ kuadrat sempurna. a) Jika $x>y$, maka $4^{x-y}+2 \equiv 2 \pmod 4$, yang berarti bukan kuadrat sempurna. b) Jika $x=y$, maka $4^{x-y}+2 = 3$, yang bukan kuadrat sempurna. 2) Andaikan $y\ne z$, asumsikan $y > z$, maka kita punya $4^x+4^y+4^z = 4^z(4^{x-z}+4^{y-z}+1)$ merupakan kuadrat sempurna, yang mengakibatkan $4^{x-z}+4^{y-z}+1$ haruslah kuadrat sempurna. Misalkan $(x-z)=a, (y-z)=b$, maka $a\ge b\ge 1$, dan $4^a+4^b+1=c^2$, dan kita punya $c$ ganjil. Maka tulis $c=2d+1$, dan $4^b(4^{a-b}+1)=4d(d+1) \rightarrow 4^{b-1}(4^{a-b}+1) = d(d+1)$ Sekarang perhatikan bahwa $\gcd(d,d+1)=1$, sehingga pasti kita punya $4^{b-1}||d$ atau $4^{b-1}||d+1$. 1. Jika $4^{b-1}||d$, maka tulis $d=4^{b-1}x$ dimana $4^{a-b}+1=xy$, sehingga $$4^{b-1}xy=4^{b-1}x(4^{b-1}x+1)\rightarrow y = 4^{a-1}/y+1 \rightarrow y^2-y=4^{a-1}$$Sisanya lanjutin sendiri deh, diulang2 begini terus.. 2. Jika $4^{b-1}||d$, ya nanti sama kayak diatas..