Jump to content

jonathanwoenardi

Members
  • Content count

    226
  • Joined

  • Last visited

  • Days Won

    24

jonathanwoenardi last won the day on August 21 2017

jonathanwoenardi had the most liked content!

Community Reputation

28 Excellent

1 Follower

About jonathanwoenardi

  • Rank
    ex-Overflow

Profile Information

  • Gender
    Male
  • Location
    Singapore
  • Interests
    -

Contact Methods

  • Facebook
    jonathanwoenardi
  • Twitter
    -
  • Instagram
    jonathanwoenardi
  • Website URL
    -

Recent Profile Visitors

975 profile views
  1. PERTENGKARAN

    Untuk menyelesaikan soal ini, buat sebuah complete graph dengan semua 799 tim sebagai titik verteks dan jika tim X mengalahkan tim Y, maka dibuat sisi terarah dari X ke Y. Untuk menyelesaikan soal ini, akan diobservasi suatu struktur yang kita namankan "Bintang Tujuh" dan kita hitung banyaknya struktur ini di graf yang kita miliki. Suatu struktur "Bintang Tujuh" (selanjutnya kita sebut bintang untuk kemudahan penulisan) didefinisikan sebagai suatu tim X dengan 7 sisi terarah dari X ke 7 tim lainnya. Jika X mengalahkan $n$ tim, maka dapat dibentuk $\binom{n}{7}$ bintang berbeda yang berpusat di X. Misalkan $V$ adalah himpunan semua tim. Perhatikan bahwa banyaknya bintang yang ada di graf adalah jumlah semua $\binom{n_i}{7}$ dimana $n_i$ adalah banyaknya tim yang dikalahkan oleh tim $i$, dengan jumlahnya meliputi semua $i$ di $V$. Karena setiap pasang tim bertengkar tepat satu kali, maka ada tepat $\binom{799}{2} = 318801$ pertandingan. Akibanya, jumlah semua kemenangan dari setiap tim akan bernilai tepat $318801$. Berdasarkan ketaksamaan Jensen, nilai dari jumlah dari semua $\binom{n_i}{7}$ pasti lebih besar dari $799 \times \binom{399}{7}$. Perhatikan juga bahwa banyaknya sub-himpunan 7 tim dari V adalah $\binom{799}{7}$. Berdasarkan prinsip sarang burung merpati, ada suatu sub-himpunan 7 tim yang menjadi bagian dari setidaknya $\lceil \frac{799 \times \binom{399}{7}}{\binom{799}{7}} \rceil = 7$ bintang. Akibatnya, 7 tim yang menjadi bagian dari sub-himpunan tersebut dikalahkan oleh 7 tim lain yang menjadi pusat dari 7 bintang yang bersangkutan. Ambil sub-himpunan tersebut menjadi B, dan 7 tim lain yang mengalahkan semua tim di B menjadi A. Kita dapatkan A dan B sesuai yang diinginkan.
  2. x dan N

    Perhatikan bahwa fungsi $f(x) = x^{\lfloor x \rfloor}$ bersifat monoton naik untuk $x > 1$. Perhatikan bahwa $f(5) = 5^5 = 3125 > 1000$. Akibatnya, kita dapatkan bahwa $1 \leq x < 5$ dan $\lfloor x \rfloor$ hanya dapat bernilai 1, 2, 3 atau 4. Kita bagi kasus: a) $\lfloor x \rfloor = 1$ maka $1 \leq x < 2$ dan $1 \leq f(x) < 2$. Ada 1 kemungkinan nilai dari $f(x)$, yaitu 1. b) $\lfloor x \rfloor = 2$ maka $2 \leq x < 3$ dan $4 \leq f(x) < 9$. Ada 4 kemungkinan nilai dari $f(x)$, yaitu dari 4 sampai 8. c) $\lfloor x \rfloor = 3$ maka $3 \leq x < 4$ dan $27 \leq f(x) < 64$. Ada 37 kemungkinan nilai dari $f(x)$, yaitu dari 27 sampai 63. d) $\lfloor x \rfloor = 4$ maka $4 \leq x < 5$ dan $256 \leq f(x) < 625$. Ada 369 kemungkinan nilai dari $f(x)$, yaitu 256 sampai 624. Kita dapatkan bahwa banyaknya bilangan asli $N$ kurang dari 1000 sehingga persamaan diatas punya solusi adalah $1 + 4 + 37 + 369 = 411$.
  3. Konser dan Penyanyi

    Misalkan penyanyi tersebut dinotasikan sebagai $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$. Perhatikan bahwa ada $_8C_2 = 28$ pasang penyanyi. Setiap kali diadakan sebuah konser, ada tepat $_4C_2 = 6$ pasang penyanyi yang bertemu di konser yang sama. Misalkan setelah semua konser selesai dilaksanakan, setiap pasang penyanyi bertemu tepat $k$ kali. Akibatnya $6$ harus membagi $28k$. Kita dapatkan bahwa $k$ harus kelipatan $3$. Misalkan $k = 3m$, maka $6$ harus membagi $84m$. Dari observasi ini, kita dapat bahwa diperlukan minimal $84 / 6 = 14$ konser, untuk setidaknya setiap pasang penyanyi bertemu dalam jumlah yang sama (3 kali). Ternyata ada konfigurasi $14$ konser yang memenuhi syarat soal, yakni: 1235, 4678 1346, 5782 1457, 6823 1568, 7234 1672, 8345 1783, 2456 1824, 3567 Dapat kita simpulkan bahwa diperlukan minimal $14$ konser agar setiap pasang penyanyi bertemu dalam jumlah konser yang sama. N.B. : Pertanyaan Anda selanjutnya mungkin: bagaimana bisa didapatkan konfigurasi seperti di atas? Apa motivasinya? Biarkan itu dibahas untuk waktu yang akan datang.
×