Jump to content

erlang

Moderators
  • Content count

    267
  • Joined

  • Last visited

  • Days Won

    20

Everything posted by erlang

  1. P8 IMC 2017

    Definisikan barisan matriks $A_1,A_2,...$ dengan relasi rekursi berikut: $A_1=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$, $A_{n+1}=\begin{bmatrix} A_n & I_{2^n} \\ I_{2^n} & A_n\end{bmatrix}$ untuk $n\ge 1$ dimana $I_m$ adalah matrix identitas $m\times m$. Buktikan $A_n$ punya $n+1$ eigenvalue bilangan asli berbeda $\lambda_0<\lambda_1<....<\lambda_n$ dengan multiplisitas ${n\choose 0},{n\choose 1},...,{n\choose n}$ secara berturut-turut.
  2. P6 IMC 2017

    Diberikan $f:[0,+\infty)\to \mathbb{R}$ fungsi kontinu sehingga $lim_{x\to +\infty} f(x)=L$ eksis (bisa hingga atau tak-hingga). Buktikan kalau $\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f(nx)dx=L$
  3. P3 IMC 2017

    Untuk semua bilangan asli $m$, definisikan $P(m)$ sebagai hasil kali semua faktor positif $m$ (e.g. $P(6)=36$). Untuk semua bilangan asli $n$ definisikan barisan $a_1(n)=n$, $a_{k+1}(n)=P(a_k(n))$ untuk $k=1,2,...,2016$. Tentukan apakah untuk semua himpunan $S\subseteq \{1,2,...,2017\}$, terdapat bilangan bulat positif $n$ sehingga kondisi berikut terpenuhi: Untuk setiap $k$ dengan $1\le k\le 2017$, $a_k(n)$ adalah bilangan kuadrat sempurna jika dan hanya jika $k\in S$.
  4. P2 IMC 2017

    Misalkan $f:\mathbb{R}\to (0,\infty)$ adalah fungsi differentiable dan misalkan terdapat konstan $L>0$ sehingga $|f'(x)-f'(y)|\le L|x-y| \forall x,y$. Buktikan $(f'(x))^2<2Lf(x) \forall x$
  5. P1 IMC 2017

    Tentukan semua bilangan kompleks $\lambda$ sehingga terdapat bilangan bulat positif $n$ dan matrix real $A$ berukuran $n\times n$ sehingga $A^2=A^T$ dan $\lambda$ adalah eigenvalue dari $A$.
  6. P1 IMC 2017

    Follow up pertanyaan:
  7. P10 IMC 2017

    Misalkan $K$ adalah sebuah segitiga sama sis di bidang. Buktikan bahwa untuk setiap $p>0$, terdapat sebuah $\epsilon >0$ dengan properti berikut: jika $n$ adalah bilangan asli, dan $T_1,...,T_n$ adalah segitiga di dalam $K$ yang tidak bertumpukan sehingga masing-masing dari mereka homothetic ke $K$ dengan rasio negatif dan $\sum_{l=1}^n area(T_l)>area(K)-\epsilon$, maka $\sum_{l=1}^{n} perimerter(T_l)>p$.
  8. P9 IMC 2017

    Definisikan barisan fungsi continuously differentiable $f_1,f_2,... :[0.1)\to \mathbb{R}$ dengan rekursi berikut: $f_1=1; f'_{n+1}=f_nf_{n+1}$ di $(0,1)$ dan $f_{n+1}(0)=1$. buktikan kalau $lim_{n\to\infty} f_n(x)$ eksis untuk setiap $x\in [0,1)$ dan tentukan limit tersebut.
  9. P7 IMC 2017

    Misalkan $p(x)$ adalah polinomial non-konstan dengan koefisien real. Untuk setiap bilangan asli $n$, misalkan $q_n(x)=(x+1)^np(x)+x^np(x+1)$. Buktikan kalau hanya ada hingga buah $n$ sehingga semua akar dari $q_n(x)$ adalah bilangan real.
  10. P5 IMC 2017

    Misalkan $k,n$ bilangan asli dimana $n\ge k^2-3k+4$, dan misalkan $f(z)=z^{n-1}+c_{n-2}z^{n-2}+...+c_0$ adalah sebuah polinomial dengan koefisien kompleks sehingga $c_0c_{n-2}=c_1c_{n-3}=...=c_{n-2}c_0=0$. Buktikan bahwa $f(z)$ dan $z^n-1$ punya maksimal $n-k$ akar yang sama.
  11. P4 IMC 2017

    Ada $n$ orang di sebuah kota, dan masing-masing dari mereka punya $1000$ teman (pertemanan selalu simetris). Buktikan bahwa terdapat sebuah kumpulan orang $S$ sehingga setidaknya $\frac{n}{2017}$ orang di $S$ punya tepat dua teman di $S$.
  12. Diberikan sebuah bilangan bulat positif $n=2^m\Pi_{\alpha} p_\alpha^{k_\alpha}\Pi_{\beta} q_\beta^{l_\beta}$ dimana $p_\alpha$ dan $q_\beta$ adalah prime ganjil berbeda dengan $p_\alpha\equiv 1 \mod 4$ dan $q_\alpha\equiv 3 \mod 4$. Buktikan ada $(x,y)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ sehingga $x^2+y^2=n$ jika dan hanya jika $l_\beta$ genap untuk semua $\beta$, dan jika itu terpenuhi maka banyaknya pasangan terurut $(x,y)$ adalah $4\Pi_\alpha (k_\alpha +1)$ Kalau bisa tanpa menggunakan yang aneh" kaya
  13. ohh hmm jadi bisa kaya "isolate" ln sendiri ya... bagus. Ada namanya ga ya teknik ini? kalau ada beberapa $\ln$ gitu bisa selipin $y,z,...$ gitu di masing-masing $\ln$ terus differentiate satu" ga ya?
  14. ide bodoh btw hore: $ln(x+1)$ bongkar jadi $x-\frac{x^2}{2}+...$, terus "integrate by term" (boleh ga sih). perhatikan kalau masing" term itu rational function, bagi atas bawah cari polanya terus nanti bakal ada summation aneh kaya $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-...$ gitu" bisa diselesain dengan liat $1-x^2+x^4-...$ di integrate terus evaluate saat $x=1$ gitu. (kayanya)
  15. kok random sih tiba" ganti $\ln (x+1)$ jadi $\ln (xy+1)$. Intuisinya apa? (kaya waktu diganti bentuk gitu pengennya apa?)
  16. Soal geometri

    Ketemu sih cara lain yang ga trigon. Masalahnya gini, buat soal ginian itu cara trigon itu cara yang "pasti dapet" setelah beberapa saat (karena persamaan trigon yangkita punya itu "lengkap"). Jadi kalau bisa belajar trigon aja anyway Untuk cara non-trigon buat soal tipe ginian, mendapatkan klaim sudut yang benar itu sangat penting, karena kalau kita mau "jalan mundur" itu kita bisa menggunakan properti sudutnya. Jadi saya klaim sudutnya $30^{\circ}$ Jawaban + motivasi: Teknik memisalkan sebuah titik $P'$ itu punya sifat $X$, terus membuktikan kalau $P=P'$ yang mengakibatkan titik $P$ untuk punya sifat $X$ itu namanya teknik phantom of a point.
  17. Soal geometri

    hmm kalau mau pake cara yang ga elegan mungkin hint ini bisa membantu
  18. Soal geometri

    Maksudnya di ray $BA$ atau garis $BA$ ya? Soalnya kalau di garis $BA$ titik $D$ jadi tidak unik
  19. $2+\sqrt{2+2a_n}$ kuadrat sempurna

    Bisa elaborate ini maksudnya apa?
  20. Ruas garis dalam Lingkaran

    Buat yang suka ineq ini soalnya saya reformulasi jadi ineq
  21. Bola pada ruang

    Diberikan sebuah himpunan titik $S$ di space, dimana tidak ada 4 titik yang berada di satu bidang. Asumsikan titik-titik di $S$ bisa diwarnai merah dan biru sehingga untuk setiap bola di ruang dimana setidaknya 4 titik $S$ ada di permukaan bola tersebut, maka tepat setengah titik $S$ yang berada di permukaan bola itu berwarna merah. Buktikan kalau semua titik di $S$ berada di permukaan bola. EDIT: $S$ himpunan hingga
×