Jump to content

Gethux

Members
  • Content count

    54
  • Joined

  • Last visited

Community Reputation

0 Neutral

About Gethux

  • Rank
    Advanced Member

Profile Information

  • Gender
    Male
  • Location
    Sukoharjo

Recent Profile Visitors

666 profile views
  1. Bilangan kompleks

    We know that $(a-b)^2\geq0$. Then \begin{align*}a^2+b^2&\geq2ab\\ab&\leq\frac{a^2+b^2}{2}\\ab&\leq\frac{7}{2}.\end{align*} From the equation given, \begin{align*}(a^2+b^2)(a+b)&=a^3+b^3+ab(a+b)\\7(a+b)&=10+ab(a+b)\\7(a+b)&\leq10+\frac{7}{2}(a+b)\\\frac{7}{2}(a+b)&\leq10\\a+b&\leq\frac{20}{7}.\end{align*} So, the maximum value of $a+b$ is $\boxed{\frac{20}{7}}$.
  2. mencari bentuk sederhana (teori bilangan)

    \begin{align*}\frac{(2^3-1)(3^3-1)(4^3-1)\cdots(100^3-1)}{(2^3+1)(3^3+1)(4^3+1)\cdots(100^3+1)}&=\frac{\displaystyle\prod_{k=2}^{100}(k^3-1)}{\displaystyle\prod_{k=2}^{100}(k^3+1)}\\&=\frac{\displaystyle\prod_{k=2}^{100}\left\{(k-1)(k^2+k+1)\right\}}{\displaystyle\prod_{k=2}^{100}\left\{(k+1)(k^2-k+1)\right\}}\\&=\frac{\displaystyle\prod_{k=2}^{100}\left[(k-1)\left\{(k+1)^2-(k+1)+1\right\}\right]}{\displaystyle\prod_{k=2}^{100}\left\{(k+1)(k^2-k+1)\right\}}\\&=\frac{1\cdot2\cdot3\cdots99}{3\cdot4\cdot5\cdots101}\cdot\frac{\displaystyle\prod_{k=2}^{100}\left\{(k+1)^2-(k+1)+1\right\}}{\displaystyle\prod_{k=2}^{100}\left(k^2-k+1\right)}\\&=\frac{2}{100\cdot101}\cdot\frac{(3^2-3+1)(4^2-4+1)\cdots(101^2-101+1)}{(2^2-2+1)(3^2-3+1)\cdots(100^2-100+1)}\\&=\frac{1}{50\cdot101}\cdot\frac{101^2-100}{4-1}\\&=\frac{10101}{3\cdot50\cdot101}\\&=\frac{3367}{50\cdot101}\\&=\boxed{\frac{3367}{5050}}.\end{align*}
  3. Nilai minimum

    $a, b, c>0,\, abc=1$. Dengan ketaksamaan AM-GM dua kali, maka \begin{align*}\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{a+c}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}&\geq\frac{2\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}+\frac{2\sqrt{ac}}{\sqrt{b}}+\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{c}}\\&=2\left(\sqrt{\frac{bc}{a}}+\sqrt{\frac{ac}{b}}+\sqrt{\frac{ab}{c}}\right)\\&\geq2\cdot3\cdot\sqrt[3]{\sqrt{\frac{bc}{a}}\sqrt{\frac{ac}{b}}\sqrt{\frac{ab}{c}}}\\&=6\cdot\sqrt[3]{\frac{abc}{\sqrt{abc}}}\\&=\boxed{6}.\end{align*} Jadi, nilai minimumnya $6$.
  4. OSP SMA 2005 Bagian Kedua No 4

    Untuk kasus I, $k=2, m=2, n=1$, tripel Phytagorasnya $(6, 8, 10)$. Untuk kasus II, $k=1, m=3, n=1$, tripel Phytagorasnya $(8, 6, 10)$. Untuk kasus III, $k=1, m=3, n=2$, tripel Phytagorasnya $(5, 12, 13)$. Tidak ada $(3, 4, 5)$.
  5. Bentuk yang lebih sederhana

    \begin{align*}\left(\frac{1}{2015}\right)^{\log_{2015}4}&=\left(2015^{-1}\right)^{\log_{2015}4}\\&=\left(2015^{\log_{2015}4}\right)^{-1}\rightarrow\text{sifat eksponen}\\&=4^{-1}\rightarrow\text{sifat logaritma }a^{\log_{a}b}=b\\&=\boxed{\frac{1}{4}}.\end{align*}
  6. ASK

    Ya, pada ekspansi $(a+b)^2$, ada tiga suku. Suku pertama untuk $k=0$, suku kedua untuk $k=1$, suku ketiga untuk $k=2$. Tidak ada suku dengan $k=3$. Pada ekspansi $(a+b)^3$ ada empat suku. Suku pertama untuk $k=0$, suku kedua untuk $k=1$, suku ketiga untuk $k=2$, suku keempat untuk $k=3$. Tidak ada suku dengan $k=4$.
  7. ASK

    Salah di index-nya. \begin{align*}(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\\&=\binom{2}{0}a^{2-0}b^{0}+\binom{2}{1}a^{2-1}b^{1}+\binom{2}{2}a^{2-2}b^2\\&=\sum_{k=0}^2\binom{2}{k}a^{2-k}b^k\rightarrow\text{indeks k bergerak dari 0 sampai 2}.\end{align*} \begin{align*}(a+b)^3&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\&=\binom{3}{0}a^{3-0}b^0+\binom{3}{1}a^{3-1}b^1+\binom{3}{2}a^{3-2}b^2+\binom{3}{3}a^{3-3}b^3\\&=\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}a^{3-k}b^k\rightarrow\text{indeks k bergerak dari 0 sampai 3}\\\vdots.\end{align*} \begin{align*}(a+b)^n&=\binom{n}{0}a^{n-0}b^0+\binom{n}{1}a^{n-1}b^1+\binom{n}{2}a^{n-2}b^2+\dots+\binom{n}{n}a^{n-n}b^n\\&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\rightarrow\text{indeks k bergerak dari 0 sampai n}.\end{align*}
  8. Nilai $x$

    Pada bentuk logaritma $\log_ab=c$, $a$ disebut bilangan pokok atau basis, $b$ disebut numerus, dan $c$ adalah hasil logaritma. Nilai numerus harus positif. \begin{align*}\log_2\left(\log_4x\right)&=\log_4\left(\log_2x\right).\end{align*} Syarat (1): $x>0$. Syarat (2): $\log_4x>0\implies x>1$. Syarat (3): $\log_2x>0\implies x>1$. Irisan dari ketiganya adalah $x>1$. \begin{align*}\log_2\left(\log_4x\right)&=\log_4\left(\log_2x\right)\\\log_2\left(\log_4x\right)&=\log_2\sqrt{\log_2x}\\\log_4x&=\sqrt{\log_2x}\\\frac{1}{2}\log_2x&=\sqrt{\log_2x}\rightarrow\text{Misal }\log_2x=a\\\frac{1}{2}a&=\sqrt{a}\\a(a-4)&=0\\\rightarrow&\begin{cases}a=0\implies\log_2x=0\implies x=1\text{ (tidak memenuhi)}\\a=4\implies\log_2x=4\implies x=\boxed{16}\end{cases}.\end{align*}
  9. OSP SMA 2007 Bagian Pertama

    1. Misalkan bilangan itu adalah $\overline{abcd}$ dengan $d$ adalah bilangan ganjil dan $a+b+c+d=\text{prima}$. Kemungkinan nilai $d$ adalah $\{1, 3, 5, 7, 9\}$. Karena dicari bilangan yang terbesar, maka kita cek bilangan dalam bentuk $\overline{999d}$. Tidak ada yang memenuhi. Lalu kita cek bilangan dalam bentuk $\overline{998d}$. Maka nilai $d$ yang memenuhi agar diperoleh bilangan maksimum yang dimaksud adalah $d=5$. Jadi, bilangannya $9985$. 2. Misalkan banyaknya koin $500$-an adalah $x$, $200$-an adalah $y$, dan $100$-an adalah $z$. Nilai uang pecahan $500$-an setengah dari nilai uang pecahan $200$-an dan tiga kali nilai uang pecahan $100$-an, maka $500x=\frac{1}{2}(200y)=3(100z)\implies y=5x$ dan $z=\frac{5}{3}x$. Nilai totalnya $100.000$, maka \begin{align*}500x+200y+100z&=100000\\5x+2y+z&=1000\\5x+2(5x)+\frac{5}{3}x&=1000\\x&=60\implies y=300,\,z=100\\x+y+z&=\boxed{460}.\end{align*} 3. Misalkan sisi terpanjangnya $c$, sisi terpendeknya $a$, dan sisi yang ketiga adalah $b$. Panjang sisi miringnya dua kali panjang sisi terpendeknya, maka $c=2a$. Panjang sisi ketiga satu lebihnya dari panjang sisi terpendeknya, maka $b=a+1$. Pada segitiga siku-siku, berlaku \begin{align*}a^2+b^2&=c^2\\a^2+(a+1)^2&=(2a)^2\\2a^2-2a-1&=0\\a&=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\implies b=\frac{3+\sqrt{3}}{2},\, c=1+\sqrt{3}\\L&=\frac{1}{2}ab\\&=\frac{1}{2}\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{3+\sqrt{3}}{2}\right)\\&=\boxed{\frac{3+2\sqrt{3}}{4}}.\end{align*} 4. $2006=2\cdot17\cdot59$, $2007=3^2\cdot223$, $2008=2^3\cdot251$. Bilangan yang mempunyai faktor prima berbeda terbanyak adalah $\boxed{2006}$. 5. Misalkan harga jual mobil pertama dan kedua berturut-turut adalah $J_1$ dan $J_2$. Misalkan pula harga beli mobil pertama dan kedua berturut-turut adalah $M_1$ dan $M_2$. Harga jual kedua mobil sama, maka $$J_1=J_2.$$ Ia rugi $10\%$ pada mobil pertama, maka $$J_1=90\%M_1=\frac{9}{10}M_1.$$ Ia impas (kembali modal) untuk kedua mobil, maka $$J_1+J_2=100\%(M_1+M_2)=M_1+M_2.$$ Berarti, pedagang itu mengalami untung pada mobil kedua. Misalkan keuntungan mobil kedua adalah $x\%$. Maka $$J_2=(100+x)\%M_2=\left(1+\frac{x}{100}\right)M_2.$$ Dengan substitusi persamaan 2 dan 4 ke persamaan 1, maka \begin{align*}J_1&=J_2\\\frac{9}{10}M_1&=\left(1+\frac{x}{100}\right)M_2\\M_1&=\frac{10}{9}\left(1+\frac{x}{100}\right)M_2.\end{align*} Dengan substitusi persamaan 1, 4, dan 5 ke persamaan 3, maka \begin{align*}J_1+J_2&=M_1+M_2\\2J_2&=\frac{10}{9}\left(1+\frac{x}{100}\right)M_2+M_2\\2\left(1+\frac{x}{100}\right)M_2&=\left[\frac{10}{9}\left(1+\frac{x}{100}\right)+1\right]M_2\\2+\frac{2x}{100}&=\frac{10}{9}+\frac{x}{90}+1\\x&=12,5.\end{align*} Jadi, keuntungan pada mobil kedua adalah $\boxed{12,5\%}$. 6. Kelima persegi yang kongruen memiliki sisi yang sama panjang. Luas bangun yang diperoleh $245=5s^2\implies s=7$. Agar diperoleh keliling minimum, maka empat persegi disusun membentuk persegi baru yang besar, dan persegi yang kelima berhimpit pada pada persegi besar sehingga sisi persegi kelima yang menempel pada persegi besar tidak terlihat. Keliling minimum yang diperoleh adalah $7\times10=\boxed{70}$. 7. Misalkan keempat tim itu adalah $A, B, C,$ dan $D$. Setiap tim bertanding melawan tim lainnya sekali. Maka kemungkinan pertandingannya adalah $(x, y)=\{(A, B), (A, C), (A, D), (B, C), (B, D), (C, D)\}$. Setiap kali bertanding, sebuah tim memperoleh nilai $3$ jika menang, $0$ jika kalah dan $1$ jika pertandingan berakhir seri. Di akhir turnamen salah satu tim memperoleh nilai total $4$. Misal tim yang memperoleh nilai $4$ adalah $A$. Perhatikan bahwa $A$ bertanding sebanyak tiga kali yaitu melawan $B$, $C$, dan $D$. Karena skornya $4$, maka $A$ kemungkinan menang sekali, seri sekali, dan kalah sekali, atau $4=3+1+0$. Misalkan $A$ menang melawan $B$, seri melawan $C$, dan kalah melawan $D$. Akan dicari nilai minimum total ketiga tim. Perhatikan bahwa agar minimum, maka hasil yang didapat tim yang bertanding adalah seri. Maka pertandingan antara $B$ dan $C$, $B$ dan $D$, serta $C$ dan $D$ harus seri. Maka himpunan nilai pertandingan yang diperoleh adalah \begin{align*}(x, y)&=\{(A, B), (A, C), (A, D), (B, C), (B, D), (C, D)\}\\&=\{(3, 0), (1, 1), (0, 3), (1, 1), (1, 1), (1, 1)\}\\B&=0+1+1=2\\C&=1+1+1=3\\D&=3+1+1=5\\B+C+D&=2+3+5=\boxed{10}.\end{align*} Jadi total nilai ketiga tim lainnya paling sedikit adalah $10$. 8. \begin{align*}1! \cdot 1 + 2! \cdot 2 + 3! \cdot 3 + \ldots + n! \cdot n &=\sum_{k=1}^{n}\left(k!\cdot k\right)\\&=\sum_{k=1}^{n}\left[k!\cdot\{(k+1)-1\}\right]\\&=\sum_{k=1}^{n}\left\{(k+1)!-k!\right\}\implies\text{deret teleskopik}\\&=-1!+2!-2!+3!-3!+4!-\dots-(n-1)!+n!-n!+(n+1)!\\&=\boxed{(n+1)!-1}\end{align*} 9. Titik $P$ terletak di kuadran I pada garis $y=x$, maka koordinat titik $P$ dapat dimisalkan $P(x_P, y_P)=P(x_P, x_P)$. Titik $Q$ terletak pada garis $y=2x$, maka koordinat titik $Q$ dapat dimisalkan $Q(x_Q, y_Q)=Q(x_Q, 2x_Q)$. Ruas garis $PQ$ tegak lurus terhadap garis $y=x$, maka gradien garis $PQ$ adalah $m_{PQ}=-1$. Persamaan garis $PQ$ dapat dinyatakan dengan \begin{align*}y-y_Q&=m_{PQ}(x-x_Q)\implies\text{dilalui titik P, maka}\\y_P-y_Q&=-(x_P-x_Q)\\x_P-2x_Q&=-x_P+x_Q\\x_P&=\frac{3}{2}x_Q.\end{align*} $PQ=2$, maka \begin{align*}PQ&=\sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2}\\4&=\left(x_Q-\frac{3}{2}x_Q\right)^2+\left(2x_Q-\frac{3}{2}x_Q\right)^2\\x_Q&=2\sqrt{2}\implies y_Q=4\sqrt{2}\\Q(x_Q, y_Q)&=\boxed{(2\sqrt{2}, 4\sqrt{2})}.\end{align*} 10. $n\in\mathbb{N},\, 2n+1\mid6n+30$. \begin{align*}\frac{6n+30}{2n+1}&=\frac{3(2n+1)+27}{2n+1}\\&=3+\frac{27}{2n+1}.\end{align*} Maka $2n+1$ adalah faktor dari $27$. Setelah dicek, yang memenuhi adalah $n=\boxed{\{1, 4, 13\}}$. 11. \begin{align*}\left(2x^2-\frac{1}{x}\right)^9&=\sum_{k=0}^9\left\{\binom{9}{k}(2x^2)^{9-k}\left(-\frac{1}{x}\right)^k\right\}\\&=\sum_{k=0}^9\left\{\binom{9}{k}(-1)^k2^{9-k}x^{18-3k}\right\}.\end{align*} Suku berupa konstanta saat $x$ berpangkat $0$. Maka $18-3k=0\implies k=6$. Suku konstantanya adalah $$\binom{9}{6}(-1)^62^{9-6}=\frac{9!}{6!3!}\cdot8=\boxed{672}.$$ 12. Misal persamaan garis $l$ adalah $y=mx+c$. Titik potong garis $l$ dengan sumbu $x$ adalah $\left(-\frac{c}{m}, 0\right)$. Titik potong garis $l$ dengan sumbu $y$ adalah $(0, c)$. Absis titik potong garis $l$ dengan sumbu $x$ dan ordinat titik potong $l$ dengan sumbu $y$ adalah bilangan-bilangan prima. Maka $-\frac{c}{m}$ dan $c$ bilangan prima. Garis $l$ juga melalui $(3, 4)$, maka \begin{align*}4&=3m+c\\\frac{4}{m}&=3+\frac{c}{m}\\-\frac{c}{m}&=3-\frac{4}{m}.\end{align*} Maka $m$ haruslah faktor negatif dari $4$. Setelah dicek, yang memenuhi adalah $m=-1$ dan $c=7$. Maka persamaan garis $l$ adalah $\boxed{y=-x+7}$.
  10. OSP SMA 2008 Bagian Pertama

    1. $2008=2^3\cdot 251$. Banyaknya pembagi positifnya adalah $(3+1)(1+1)=\boxed{8}$. 3. $0<b<a$. \begin{align*}a^2+b^2&=6ab\\a^2+2ab+b^2&=8ab\\(a+b)^2&=8ab\\a+b&=\sqrt{8ab}.\end{align*} \begin{align*}a^2+b^2&=6ab\\a^2-2ab+b^2&=4ab\\(a-b)^2&=4ab\\a-b&=\sqrt{4ab}.\end{align*} Maka $\frac{a+b}{a-b}=\frac{\sqrt{8ab}}{\sqrt{4ab}}=\boxed{\sqrt{2}}$. 6. $AD$ merupakan garis tinggi segitiga dari titik $A$. Misal $AD=t_a$. Misal juga $\angle BAC=\alpha$. Maka $\angle DAC=45-\alpha$. $\tan\alpha=\frac{BD}{AD}=\frac{3}{t_a}$. \begin{align*}\tan(45-\alpha)&=\frac{CD}{AD}\\\frac{1-\tan\alpha}{1+\tan\alpha}&=\frac{2}{t_a}\\\frac{1-\frac{3}{t_a}}{1+\frac{3}{t_a}}&=\frac{2}{t_a}\\\frac{t_a-3}{t_a+3}&=\frac{2}{t_a}\\t_a^2-5t_a-6&=0\\(t_a-6)(t_a+1)&=0\\t_a&=6.\end{align*} Maka luas $\triangle ABC=\frac{1}{2}t_a\cdot a=\frac{1}{2}\cdot6\cdot5=\boxed{15}$. 7. $x, y\in\mathbb{Z}$ \begin{align*}y^2 + 3x^2y^2 &= 30x^2 + 517\\3x^2y^2-30x^2+y^2&=517\\3x^2(y^2-10)+y^2-10&=507\\(y^2-10)(3x^2+1)&=507.\end{align*} Maka, $y^2-10$ dan $3x^2+1$ merupakan faktor dari $507$. Setelah dicek, agar $x$ dan $y$ bilangan bulat, maka $y^2-10=39\implies y^2=49$ dan $3x^2+1=13\implies x^2=4$. Maka $3x^2y^2=3\cdot4\cdot49=\boxed{588}$. 8. Misal $AB=c,\, \angle B=\beta,\, \angle C=\gamma=60$. Menurut aturan cosinus, \begin{align*}c^2&=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\\&=a^2+b^2-2ab\cdot\frac{1}{2}\\&=a^2+b^2-ab\\\left(\frac{c}{b}\right)^2&=\left(\frac{a}{b}\right)^2+1-\frac{a}{b}\\&=\left(2+\sqrt{3}\right)^2+1-\left(2+\sqrt{3}\right)\\&=6+3\sqrt{3}\\\frac{c}{b}&=\sqrt{6+3\sqrt{3}}\\&=\frac{1}{2}\left(3\sqrt{2}+\sqrt{6}\right).\end{align*} \begin{align*}\cos\beta&=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\&=\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{c}{b}\right)^2-1}{2(\frac{a}{b})(\frac{c}{b})}\\&=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)^2+(6+3\sqrt{3})-1}{2\left(2+\sqrt{3}\right)\left(\frac{1}{2}\left(3\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)\right)}\\&=\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\\\beta&=\boxed{15^{\circ}}\end{align*} 9. Total siswa yang ikut adalah $n=100$. Skor rata-ratanya adalah $\overline{x}=100$. Banyaknya siswa kelas II yang ikut 50\% lebih banyak dari siswa kelas III yang ikut, maka $n_2=150\%n_3=\frac{3}{2}n_3\implies n_2:n_3=3:2$. Maka $n_2=60$ dan $n_3=40$. Skor rata-rata kelas III $50\%$ lebih tinggi dari skor rata-rata kelas II, maka $\overline{x}_3=150\%\overline{x}_2=\frac{3}{2}\overline{x}_2\implies\overline{x}_2=\frac{2}{3}\overline{x}_3$. Nilai rata-rata keseluruhannya adalah \begin{align*}\frac{\overline{x}_2n_2+\overline{x}_3n_3}{n}&=100\\\frac{\frac{2}{3}\overline{x}_3\cdot60+\overline{x}_3\cdot40}{100}&=100\\\overline{x}_3&=\boxed{125}.\end{align*} 19. $AD$ adalah garis tinggi, maka $AD\perp BC$. Misal $\angle DAB=\angle ACD=\alpha$. Maka $\tan\alpha=\frac{BD}{AD}=\frac{8}{6}=\frac{AD}{CD}=\frac{6}{CD}\implies CD=\frac{9}{2}$. Luas $\triangle ABC$ adalah $[ABC]=\frac{1}{2}AD\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot6\cdot\left(\frac{9}{2}+8\right)=\boxed{\frac{75}{2}}$.
  11. Nilai dari $x+\frac{1}{x}$

  12. TO SBMPTN SSC

  13. MLC semifinal 2017

    5. 6. 7.
  14. Edisi hari Rabu

    Bentuk $\binom{n}{k}$ berlaku untuk $n\geq k$.
×