Louiscahyadi

Moderators
  • Content count

    84
  • Joined

  • Last visited

  • Days Won

    5

Louiscahyadi last won the day on July 12 2015

Louiscahyadi had the most liked content!

Community Reputation

17 Good

About Louiscahyadi

  • Rank
    Advanced Member

Profile Information

  • Gender
    Male
  • Location
    Cirebon, Indonesia
  • Interests
    Math, Science, Sports

Recent Profile Visitors

640 profile views
  1. Barisan $\{p_{n}\}, \{q_{n}\},\{r_{n}\}$ memenuhi $p_1=1, q_1=4, r_1=7$ dan $$p_{n+1}=q_{n}+\frac{6}{r_{n}}, q_{n+1}=r_{n}+\frac{6}{p_{n}}, r_{n+1}=p_{n}+\frac{6}{q_{n}}$$ untuk tiap $n\geq 1$. Buktikan bahwa $\max\{p_n,q_n,r_n\}\geq 2\sqrt{3n+\frac{5}{2}}$
  2. Misalkan $\triangle ABC$ dengan titik $E$ dan $F$ pada sisi $AC$ dan $AB$ sehingga $BE$ dan $CF$ adalah garis bagi $\angle B$ dan $\angle C$ bertutut-turut. Misalkan $\Gamma$ adalah lingkaran yang menyinggung garis $BC,CA,AB$ tetapi $\Gamma$ dan titik $A$ berada di sisi yang berbeda terhadap garis $BC$. Misalkan $\Gamma$ memotong lingkaran luar $\triangle ABC$ di titik $M$ dan $N$. Buktikan bahwa $XY$ sejajar dengan $MN$.
  3. Sebutlah sebuah bilangan asli $c$ sebagai Chitoge jika tepat 227 dari 1000 bilangan asli pertama relatif prima dengan bilangan tersebut. Apakah ada bilangan Chitoge?
  4. Sebanyak tujuh peserta mengikuti suatu perlombaan catur. Setiap peserta bermain sekali dengan enam peserta lainnya. Dalam setiap permainan, peserta yang menang mendapat 1 poin dan yang kalah mendapat 0 poin (tidak ada draw). Pada akhir perlombaan, terdapat tepat satu peserta yang memperoleh poin bilangan ganjil dan ia berada pada peringkat ketiga. Apakah hal tersebut mungkin? Jika ya, tentukan semua kemungkinan poin yang dapat diperoleh peserta tersebut.
  5. Tentukan semua pasangan bilangan real non-negatif $(x,y)$ yang memenuhi $x+y\leq 1$ dan $$3xy=2x(1-x)+2y(1-y) $$
  6. 1. Tentukan banyaknya bilangan asli yang tidak lebih dari 2017 dan memuat sebanyak genap digit ganjil dalam representasi desimalnya. 2. Akar - akar persamaan kuadrat $4x^2 + ax + b = 0$ adalah tiga kali akar - akar persamaan kuadrat $2x^2 + cx + d = 0$. Tentukan nilai dari $\frac{b}{d}$. 3. Pada segitiga sama sisi $ABC$ dengan panjang sisi $90\sqrt{2}$ dibuat lingkaran yang berpusat di $A$ dengan jari - jari $AB = AC$. Titik $D$ terletak pada lingkaran tersebut pada sisi yang berbeda dengan $C$ terhadap $AB$ sedemikian hingga $\angle ABD = 75^{\circ}$. Tentukan panjang $CD$. 4. Tentukan banyak kuadruplet bilangan asli $(x, y, z, k)$ sedemikian sehingga $$x! + y! + z! = 3^k$$ 5. Tentukan nilai $x$ positif yang memenuhi persamaan $$\sqrt[3]{\sqrt[3]{5\sqrt{2} + x}+ \sqrt[3]{5\sqrt{2} - x}} = \sqrt{2}$$ 6. Afif ingin menyimpan lima permen dengan rasa berbeda - beda ke tiga kotak berwarna berbeda sedemikian sehingga tidak ada kotak yang kosong. Tentukan banyak cara Afif menyimpan permennya 7. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = 6$, $AC = \sqrt{26}$, dan $BC = 5\sqrt{2}$. Dibuat sebuah persegi $ABPQ$ dengan titik $P$ dan $Q$ berada pada sisi yang berbeda dengan $C$ terhadap $AB$. Apabila $M$ adalah titik tengah $PQ$ dan panjang $CM$ dapat ditulis dalam bentuk $p\sqrt{q}$, dengan $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat dan $q$ tidak habis dibagi oleh suatu kuadrat bilangan asli, tentukan nilai dari $p + q$. 8. Definisikan $s_i$ sebagai bilangan yang hanya terdiri dari $i$ buah angka 1; jadi $s_1 = 1, s_2 = 11, s_3 = 111$, dan seterusnya. Hitunglah sisa dari $s_1 + s_2 + ... + s_{2015}$ ketika dibagi $2016$. 9. Misalkan $P$ adalah polinomial monik (polinomial yang mana koefisien suku dengan pangkat terbesarnya adalah 1) berkoefisien bilangan bulat dengan derajat terkecil yang memenuhi $$P(1 - \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}) = 0$$ Tentukan nilai $P(2)$ 10. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat $(x, y, z)$ yang memenuhi ketiga kondisi berikut secara bersamaan : $1 \leq x,y,z \leq 10$ $ x < z $ $ y < z $ 11. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = 7$, $BC = 9$, dan $CA = 10$. Misalkan titik pusat lingkaran dalam segitiga tersebut adalah $I$. Lingkaran dalam segitiga $ABC$ menyinggung $BC, CA$ dan $AB$ di titik $D, E,$ dan $F$, berturut - turut. Apabila $K$ merupakan hasil pencerminan dari titik $D$ terhadap titik $I$ dan $DE$ memotong $FK$ pada titik $S$, tentukan nilai dari $AS^2$ 12. Misalkan $N$ ialah banyaknya pasangan bilangan taknegatif $(x,y,z)$ yang memenuhi $$\frac{1}{x+y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2017}$$ Tentukan sisa pembagian dari $N$ oleh 1000. 13. Diketahui polinomial $P(x)$ memenuhi $P(0) = -2$ dan untuk sembarang bilangan real taknol $x$ dan $y$ dipenuhi persamaan $$xP(\frac{y}{x}) + yP(\frac{x}{y}) = x+y$$ Tentukan nilai dari $P(100)$ 14 Tentukan banyaknya bilangan asli $n$ yang kurang dari 2017 dengan sifat sebagai berikut : apabila $p$ adalah bilangan prima terkecil yang membagi $n$, $p^2 - p +1$ juga habis membagi $n$. 15. Diberikan persegi $ABCD$ dengan panjang sisi 10. Titik $E,F,G$ dan $H$ merupakan titik tengah sisi $BC,CD,DA,$ dan $AB$, berturut - turut. Apabila $AE$ memotong $BF$ di $M$ dan $CG$ memotong $DH$ di $N$, tentukan nilai dari $MN^2$. 16. Sebuah persegi dengan panjang sisi 8 satuan akan dibagi menjadi 64 persegi satuan (persegi dengan panjang sisi 1). Kemudian, persegi satuan ini diwarnai dengan warna hitam atau putih. Tentukan banyaknya cara mewarnai persegi tersebut sedemikian sehingga setiap persegi dengan panjang sisi 2 satuan yang dibentuk oleh 4 persegi satuan yang bertetangga memuat tepat 2 persegi satuan dengan warna hitam dan 2 persegi satuan dengan warna putih. (persegi bertetangga adalah persegi yang mempunyai sisi yang sama). 17. Misalkan $ABC$ adalah segitiga dengan panjang sisi $BC = 35$, $CA = 42$, dan $AB = 49$. Misalkan $BE$ dan $CF$ adalah garis tinggi segitiga $ABC$ dan $EF$ yang memotong lingkaran luar $ABC$ di $P$ dan $Q$, berturut - turut, di mana $P$ terletak pada busur $AB$ yang tidak memuat $C$ dan $Q$ terletak pada busur $AC$ yang tidak memuat $B$. Apabila panjang $PQ$ dapat ditulis dalam bentuk $m\sqrt{n}$, di mana $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat positif dan $n$ tidak habis terbagi oleh kuadrat dari bilangan prima apa pun, tentukan nilai dari $m+n$ 18. Misal $$A = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{199 \cdot 200}$$ dan $$B = \frac{1}{101 \cdot 200} + \frac{1}{102 \cdot 199} + ... + \frac{1}{200 \cdot 101}$$ Tentukan nilai dari $\frac{2A}{B}$ 19. Misalkan $S$ adalah himpunan semua bilangan asli $n$ yang kurang dari 2017 sehingga $n$ dapat ditulis sebagai perkalian semua bilangan tiga pembagi terkecilnya yang tidak sama dengan 1 ( dengan kata lain, $n = xyz$ dengan $1 < x < y < z$ dan $x,y,$ dan $z$ merupakan tiga buah pembagi terkecil dari $n$). Tentukan banyaknya anggota $S$. 20. Pada ekspresi berikut : $$\lozenge 1 \lozenge 2 \lozenge 3 \lozenge 4 \lozenge 5 \lozenge 6 \lozenge 8 \lozenge 9 \lozenge 10 $$ terdapat 10 buah simbol $\lozenge$. Setiap simbol $\lozenge$ pada ekspresi tersebut akan diganti dengan tanda $+$ atau tanda $-$ (tidak keduanya) sehingga ekspresi tersebut menghasilkan sebuah bilangan. Tentukan banyaknya cara mengganti simbol - simbol $\lozenge$ sehingga bilangan yang dihasilkan dari ekspresi tersebut habis dibagi 5.
  7. Tunjukkan bahwa sistem persamaan: $\begin{cases}\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=9\\ \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=32\\ \frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}=123\end{cases}$ tidak memiliki solusi dimana $a,b,c$ ketiganya bilangan riil.
  8. Diberikan lingkaran $C$ dan titik $A$ diluar $C$. Dipilih titik $P,Q,R$ pada $C$ sehingga $\triangle PQR $ samasisi. Buktikan bahwa nilai $AP^2 +AQ^2+AR^2$ tidak bergantung pada pemilihan $P,Q,R$.
  9. Anda mendaftarkan semua tripel bilangan asli terurut $(a,b,c)$ yang hasil perkaliannya adalah 510510. Untuk setiap tripel $(a,b,c)$ yang telah didaftar, Anda menghitung hasil penjumlahan $a+b+c$. Misalkan $S$ adalah penjumlahan semua hasil penjumlahan yang Anda dapatkan. Berapakah $S$?
  10. 1. Pada sebuah kantong terdapat 9 keping uang pecahan Rp200,00, 4 keping uang pecahan Rp500,00, dan 8 keping uang Rp1000,00. Seseorang mengambil dua buah koin dari kantong tersebut secara acak (tanpa pengembalian). Jika peluang didapatkan uang dengan jumlah paling sedikit Rp1000,00 adalah $\frac{m}{n}$, dengan $m$ dan $n$ adalah dua bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $100m + n$. (Asumsikan bahwa setiap koin diasumsikan memiliki peluang yang sama untuk terambil.) 2. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $$\frac{1}{log_{81}x} - \frac{1}{log_{225}x} + \frac{1}{log_{625}x} = 2$$ 3. Tentukan banyaknya bilangan asli $n$ sehingga sisa pembagian 2018 oleh $n$ sama dengan sisa pembagian $n$ oleh 2. 4. Diberikan $\bigtriangleup ABC$ dengan titik $D$ pada segmen $BC$. Misalkan $E$ dan $F$ terletak pada sisi $AC$ dan $AB$ sehingga $DE$ sejajar dengan $AB$ dan $DF$ sejajar dengan $AC$. Apabila $CE = 7$, $DE = 20$, $DF = 21$ dan $EF = 29$, tentukan luas $\bigtriangleup ABC$. 5. Tentukan banyaknya tripel bilangan asli $(a, b, c)$ sehingga $$ 1 \leq a < b +2 < c + 4 \leq 12$$ 6. Misalkan $r$ adalah bilangan real positive yang kurang dari 1 sehingga $$\frac{1 + (r^2+r^3) + (r^5+r^6) + (r^8+r^9) + ...}{ 1 + r + r^2 + r^3 + ...} = \frac{62}{63}$$ Tentukan nilai dari $r + \frac{1}{r}$ 7. Tentukan banyaknya pasangan terurut bilangan bulat $(x,y)$ sehingga $$ x^2 + 20x = y^2 +20$$ 8. Misalkan $ABDC$ adalah segiempat konveks dengan $\angle ABD = \angle ADC = 90^{\circ}$, $AB = 4, BD = 3$, dan $AD = CD$. Misalkan lingkaran luar segitiga $ADC$ memotong $AB$ di $E$. Jika panjang $CE$ dapat ditulis dalam bentuk $\frac{a\sqrt{b}}{c}$, di mana $b$ adalah bilangan asli yang tidak habis dibagi oleh suatu bilangan kuadrat sempurna bukan satu serta $a$ dan $c$ adalah dua bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $a + b +c$ 9. Untuk setiap bilangan asli $n$, definisikan $f(n)$ sebagai banyaknya cara meletakkan $n$ buah benteng pada papan catur $6 \times 6$ sehingga setiap benteng hanya menyerang paling banyak satu benteng lainnya. Hitunglah nilai dari $f(7) + f(8) + f(9) +f(10)$. 10. Barisan $(a_n)^{\infty}_{n=1}$ didefinisikan sebagai $a_1 = \frac{1}{2}(1+\sqrt{2})$ dan $$a_{n+1} = \sqrt{2a_{n}^2 - 2a_n +1} + \frac{1}{2}$$ untuk setiap $n \geq 1$. Tentukan 3 digit terakhir dari $\left \lfloor a_{2017} \right \rfloor$ 11. Misalkan $AB$ dan $CD$ merupakan tali busur lingkaran $\omega$ yang saling tegak lurus. Panjang $AB$ adalah $20\sqrt{5}$ dan panjang $CD$ adalah $4\sqrt{19}$. $AB$ dan $CD$ berpotongan di dalam lingkaran di titik $E$. Apabila garis tinggi segitiga $EAD$ dari $E$ memotong $BC$ di $M$ dan garis tinggi segitiga $EBC$ dari $E$ memotong $AD$ di $N$, Tentukan panjang $MN$. 12. Diketahui 4 bilangan real positif $x, y, z, $ dan $w$ yang memenuhi persamaan $$xyzw = 1, x^{100} + 100y = 100z + w^{100}, \text{dan} 100x + y^{100} = z^{100} + 100w$$ Tentukan nilai minimum yang mungkin untuk $x +y + z + w$. 13. Untuk setiap bilangan asli $n$, definisikan $\tau (n)$ sebagai hasil penjumlahan semua pembagi positif dari $n$, sebagai contoh, $\tau (6) = 12$ dan $\tau (14) = 24$. Definisikan fungsi $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ sebagai $$f(n) = \frac{1}{\tau(n^2)}$$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$. Misalkan $$ S = \frac{f(1) + f(3) + f(5) + f(7) + ...}{f(2) + f(4) + f(6) + f(8) + ... }$$ Hitunglah nilai dari $\left \lfloor S \right \rfloor$ 14. Diberikan $\bigtriangleup ABC$ dengan luas 2000 dan $BC = 80$. Lingkaran dalam $\bigtriangleup ABC$ berpusat di $I$ dan menyinggung sisi $BC$ di titik $X$. Misalkan $Y$ adalah titik tengah busur $BC$ dari lingkaran luar $\bigtriangleup ABC$ yang tidak memuat $A$. Misalkan pula $Z$ adalah kaki tegak lurus $\bigtriangleup ABC$ dari $A$ ke sisi $BC$. Jika $XY$ memotong $AZ$ di titik $P$ dan $AP - IX = 13$, hitunglah nilai dari $AI^2 - PX^2$.
  11. Soal geometri

    Misalkan $E$ adalah titik pada segmen $AC$ sehingga $CE = CB$ sehingga $AE = AD$. Selanjutnya misal lingkaran $\Gamma$ ialah lingkaran dengan pusat $D$ dan jari - jari $DB$. Misal lingkaran $\Gamma$ memotong $DC$ di $G$, dan memotong perpanjangan $DE$ di $F$ Karena $\angle BAC = 40^{\circ}$ maka $\angle BDF = \angle AED= \angle FEC = 20^{\circ}$. Selain itu karena $CB = CE$ maka $\angle BEC = 70^{\circ}$ dan $\angle BEF = 50^{\circ}$. Selanjutnya karena $DB = DF$ maka $\angle DBF = 80^{\circ}$ dan $\angle FBE = 50^{\circ}$. Jadi $\angle FBE = \angle BEF \Rightarrow FB = FE$ sehingga $CF$ merupakan garis bagi sudut $\angle BCE$. Sehingga didapat $\angle FCE = 20^{\circ}$ yang berarti $ADCF$ segiempat talibusur. Dan $DF = DB = AC$ yang berakibat $\angle FCD = \angle ADC \Rightarrow EDC = ECD = 10^{\circ}$. Jadi $\angle BDC = 30^{\circ}$