Jump to content

Louiscahyadi

Moderators
  • Content count

    84
  • Joined

  • Last visited

  • Days Won

    5

Louiscahyadi last won the day on July 12 2015

Louiscahyadi had the most liked content!

Community Reputation

17 Good

About Louiscahyadi

  • Rank
    Advanced Member

Profile Information

  • Gender
    Male
  • Location
    Cirebon, Indonesia
  • Interests
    Math, Science, Sports

Recent Profile Visitors

858 profile views
  1. Barisan $\{p_{n}\}, \{q_{n}\},\{r_{n}\}$ memenuhi $p_1=1, q_1=4, r_1=7$ dan $$p_{n+1}=q_{n}+\frac{6}{r_{n}}, q_{n+1}=r_{n}+\frac{6}{p_{n}}, r_{n+1}=p_{n}+\frac{6}{q_{n}}$$ untuk tiap $n\geq 1$. Buktikan bahwa $\max\{p_n,q_n,r_n\}\geq 2\sqrt{3n+\frac{5}{2}}$
  2. Misalkan $\triangle ABC$ dengan titik $E$ dan $F$ pada sisi $AC$ dan $AB$ sehingga $BE$ dan $CF$ adalah garis bagi $\angle B$ dan $\angle C$ bertutut-turut. Misalkan $\Gamma$ adalah lingkaran yang menyinggung garis $BC,CA,AB$ tetapi $\Gamma$ dan titik $A$ berada di sisi yang berbeda terhadap garis $BC$. Misalkan $\Gamma$ memotong lingkaran luar $\triangle ABC$ di titik $M$ dan $N$. Buktikan bahwa $XY$ sejajar dengan $MN$.
  3. Sebutlah sebuah bilangan asli $c$ sebagai Chitoge jika tepat 227 dari 1000 bilangan asli pertama relatif prima dengan bilangan tersebut. Apakah ada bilangan Chitoge?
  4. Sebanyak tujuh peserta mengikuti suatu perlombaan catur. Setiap peserta bermain sekali dengan enam peserta lainnya. Dalam setiap permainan, peserta yang menang mendapat 1 poin dan yang kalah mendapat 0 poin (tidak ada draw). Pada akhir perlombaan, terdapat tepat satu peserta yang memperoleh poin bilangan ganjil dan ia berada pada peringkat ketiga. Apakah hal tersebut mungkin? Jika ya, tentukan semua kemungkinan poin yang dapat diperoleh peserta tersebut.
  5. Tentukan semua pasangan bilangan real non-negatif $(x,y)$ yang memenuhi $x+y\leq 1$ dan $$3xy=2x(1-x)+2y(1-y) $$
  6. 1. Tentukan banyaknya bilangan asli yang tidak lebih dari 2017 dan memuat sebanyak genap digit ganjil dalam representasi desimalnya. 2. Akar - akar persamaan kuadrat $4x^2 + ax + b = 0$ adalah tiga kali akar - akar persamaan kuadrat $2x^2 + cx + d = 0$. Tentukan nilai dari $\frac{b}{d}$. 3. Pada segitiga sama sisi $ABC$ dengan panjang sisi $90\sqrt{2}$ dibuat lingkaran yang berpusat di $A$ dengan jari - jari $AB = AC$. Titik $D$ terletak pada lingkaran tersebut pada sisi yang berbeda dengan $C$ terhadap $AB$ sedemikian hingga $\angle ABD = 75^{\circ}$. Tentukan panjang $CD$. 4. Tentukan banyak kuadruplet bilangan asli $(x, y, z, k)$ sedemikian sehingga $$x! + y! + z! = 3^k$$ 5. Tentukan nilai $x$ positif yang memenuhi persamaan $$\sqrt[3]{\sqrt[3]{5\sqrt{2} + x}+ \sqrt[3]{5\sqrt{2} - x}} = \sqrt{2}$$ 6. Afif ingin menyimpan lima permen dengan rasa berbeda - beda ke tiga kotak berwarna berbeda sedemikian sehingga tidak ada kotak yang kosong. Tentukan banyak cara Afif menyimpan permennya 7. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = 6$, $AC = \sqrt{26}$, dan $BC = 5\sqrt{2}$. Dibuat sebuah persegi $ABPQ$ dengan titik $P$ dan $Q$ berada pada sisi yang berbeda dengan $C$ terhadap $AB$. Apabila $M$ adalah titik tengah $PQ$ dan panjang $CM$ dapat ditulis dalam bentuk $p\sqrt{q}$, dengan $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat dan $q$ tidak habis dibagi oleh suatu kuadrat bilangan asli, tentukan nilai dari $p + q$. 8. Definisikan $s_i$ sebagai bilangan yang hanya terdiri dari $i$ buah angka 1; jadi $s_1 = 1, s_2 = 11, s_3 = 111$, dan seterusnya. Hitunglah sisa dari $s_1 + s_2 + ... + s_{2015}$ ketika dibagi $2016$. 9. Misalkan $P$ adalah polinomial monik (polinomial yang mana koefisien suku dengan pangkat terbesarnya adalah 1) berkoefisien bilangan bulat dengan derajat terkecil yang memenuhi $$P(1 - \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}) = 0$$ Tentukan nilai $P(2)$ 10. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat $(x, y, z)$ yang memenuhi ketiga kondisi berikut secara bersamaan : $1 \leq x,y,z \leq 10$ $ x < z $ $ y < z $ 11. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB = 7$, $BC = 9$, dan $CA = 10$. Misalkan titik pusat lingkaran dalam segitiga tersebut adalah $I$. Lingkaran dalam segitiga $ABC$ menyinggung $BC, CA$ dan $AB$ di titik $D, E,$ dan $F$, berturut - turut. Apabila $K$ merupakan hasil pencerminan dari titik $D$ terhadap titik $I$ dan $DE$ memotong $FK$ pada titik $S$, tentukan nilai dari $AS^2$ 12. Misalkan $N$ ialah banyaknya pasangan bilangan taknegatif $(x,y,z)$ yang memenuhi $$\frac{1}{x+y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2017}$$ Tentukan sisa pembagian dari $N$ oleh 1000. 13. Diketahui polinomial $P(x)$ memenuhi $P(0) = -2$ dan untuk sembarang bilangan real taknol $x$ dan $y$ dipenuhi persamaan $$xP(\frac{y}{x}) + yP(\frac{x}{y}) = x+y$$ Tentukan nilai dari $P(100)$ 14 Tentukan banyaknya bilangan asli $n$ yang kurang dari 2017 dengan sifat sebagai berikut : apabila $p$ adalah bilangan prima terkecil yang membagi $n$, $p^2 - p +1$ juga habis membagi $n$. 15. Diberikan persegi $ABCD$ dengan panjang sisi 10. Titik $E,F,G$ dan $H$ merupakan titik tengah sisi $BC,CD,DA,$ dan $AB$, berturut - turut. Apabila $AE$ memotong $BF$ di $M$ dan $CG$ memotong $DH$ di $N$, tentukan nilai dari $MN^2$. 16. Sebuah persegi dengan panjang sisi 8 satuan akan dibagi menjadi 64 persegi satuan (persegi dengan panjang sisi 1). Kemudian, persegi satuan ini diwarnai dengan warna hitam atau putih. Tentukan banyaknya cara mewarnai persegi tersebut sedemikian sehingga setiap persegi dengan panjang sisi 2 satuan yang dibentuk oleh 4 persegi satuan yang bertetangga memuat tepat 2 persegi satuan dengan warna hitam dan 2 persegi satuan dengan warna putih. (persegi bertetangga adalah persegi yang mempunyai sisi yang sama). 17. Misalkan $ABC$ adalah segitiga dengan panjang sisi $BC = 35$, $CA = 42$, dan $AB = 49$. Misalkan $BE$ dan $CF$ adalah garis tinggi segitiga $ABC$ dan $EF$ yang memotong lingkaran luar $ABC$ di $P$ dan $Q$, berturut - turut, di mana $P$ terletak pada busur $AB$ yang tidak memuat $C$ dan $Q$ terletak pada busur $AC$ yang tidak memuat $B$. Apabila panjang $PQ$ dapat ditulis dalam bentuk $m\sqrt{n}$, di mana $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat positif dan $n$ tidak habis terbagi oleh kuadrat dari bilangan prima apa pun, tentukan nilai dari $m+n$ 18. Misal $$A = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{199 \cdot 200}$$ dan $$B = \frac{1}{101 \cdot 200} + \frac{1}{102 \cdot 199} + ... + \frac{1}{200 \cdot 101}$$ Tentukan nilai dari $\frac{2A}{B}$ 19. Misalkan $S$ adalah himpunan semua bilangan asli $n$ yang kurang dari 2017 sehingga $n$ dapat ditulis sebagai perkalian semua bilangan tiga pembagi terkecilnya yang tidak sama dengan 1 ( dengan kata lain, $n = xyz$ dengan $1 < x < y < z$ dan $x,y,$ dan $z$ merupakan tiga buah pembagi terkecil dari $n$). Tentukan banyaknya anggota $S$. 20. Pada ekspresi berikut : $$\lozenge 1 \lozenge 2 \lozenge 3 \lozenge 4 \lozenge 5 \lozenge 6 \lozenge 8 \lozenge 9 \lozenge 10 $$ terdapat 10 buah simbol $\lozenge$. Setiap simbol $\lozenge$ pada ekspresi tersebut akan diganti dengan tanda $+$ atau tanda $-$ (tidak keduanya) sehingga ekspresi tersebut menghasilkan sebuah bilangan. Tentukan banyaknya cara mengganti simbol - simbol $\lozenge$ sehingga bilangan yang dihasilkan dari ekspresi tersebut habis dibagi 5.
  7. Tunjukkan bahwa sistem persamaan: $\begin{cases}\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=9\\ \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=32\\ \frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}=123\end{cases}$ tidak memiliki solusi dimana $a,b,c$ ketiganya bilangan riil.
  8. Diberikan lingkaran $C$ dan titik $A$ diluar $C$. Dipilih titik $P,Q,R$ pada $C$ sehingga $\triangle PQR $ samasisi. Buktikan bahwa nilai $AP^2 +AQ^2+AR^2$ tidak bergantung pada pemilihan $P,Q,R$.
  9. Anda mendaftarkan semua tripel bilangan asli terurut $(a,b,c)$ yang hasil perkaliannya adalah 510510. Untuk setiap tripel $(a,b,c)$ yang telah didaftar, Anda menghitung hasil penjumlahan $a+b+c$. Misalkan $S$ adalah penjumlahan semua hasil penjumlahan yang Anda dapatkan. Berapakah $S$?
  10. 1. Pada sebuah kantong terdapat 9 keping uang pecahan Rp200,00, 4 keping uang pecahan Rp500,00, dan 8 keping uang Rp1000,00. Seseorang mengambil dua buah koin dari kantong tersebut secara acak (tanpa pengembalian). Jika peluang didapatkan uang dengan jumlah paling sedikit Rp1000,00 adalah $\frac{m}{n}$, dengan $m$ dan $n$ adalah dua bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $100m + n$. (Asumsikan bahwa setiap koin diasumsikan memiliki peluang yang sama untuk terambil.) 2. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $$\frac{1}{log_{81}x} - \frac{1}{log_{225}x} + \frac{1}{log_{625}x} = 2$$ 3. Tentukan banyaknya bilangan asli $n$ sehingga sisa pembagian 2018 oleh $n$ sama dengan sisa pembagian $n$ oleh 2. 4. Diberikan $\bigtriangleup ABC$ dengan titik $D$ pada segmen $BC$. Misalkan $E$ dan $F$ terletak pada sisi $AC$ dan $AB$ sehingga $DE$ sejajar dengan $AB$ dan $DF$ sejajar dengan $AC$. Apabila $CE = 7$, $DE = 20$, $DF = 21$ dan $EF = 29$, tentukan luas $\bigtriangleup ABC$. 5. Tentukan banyaknya tripel bilangan asli $(a, b, c)$ sehingga $$ 1 \leq a < b +2 < c + 4 \leq 12$$ 6. Misalkan $r$ adalah bilangan real positive yang kurang dari 1 sehingga $$\frac{1 + (r^2+r^3) + (r^5+r^6) + (r^8+r^9) + ...}{ 1 + r + r^2 + r^3 + ...} = \frac{62}{63}$$ Tentukan nilai dari $r + \frac{1}{r}$ 7. Tentukan banyaknya pasangan terurut bilangan bulat $(x,y)$ sehingga $$ x^2 + 20x = y^2 +20$$ 8. Misalkan $ABDC$ adalah segiempat konveks dengan $\angle ABD = \angle ADC = 90^{\circ}$, $AB = 4, BD = 3$, dan $AD = CD$. Misalkan lingkaran luar segitiga $ADC$ memotong $AB$ di $E$. Jika panjang $CE$ dapat ditulis dalam bentuk $\frac{a\sqrt{b}}{c}$, di mana $b$ adalah bilangan asli yang tidak habis dibagi oleh suatu bilangan kuadrat sempurna bukan satu serta $a$ dan $c$ adalah dua bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai dari $a + b +c$ 9. Untuk setiap bilangan asli $n$, definisikan $f(n)$ sebagai banyaknya cara meletakkan $n$ buah benteng pada papan catur $6 \times 6$ sehingga setiap benteng hanya menyerang paling banyak satu benteng lainnya. Hitunglah nilai dari $f(7) + f(8) + f(9) +f(10)$. 10. Barisan $(a_n)^{\infty}_{n=1}$ didefinisikan sebagai $a_1 = \frac{1}{2}(1+\sqrt{2})$ dan $$a_{n+1} = \sqrt{2a_{n}^2 - 2a_n +1} + \frac{1}{2}$$ untuk setiap $n \geq 1$. Tentukan 3 digit terakhir dari $\left \lfloor a_{2017} \right \rfloor$ 11. Misalkan $AB$ dan $CD$ merupakan tali busur lingkaran $\omega$ yang saling tegak lurus. Panjang $AB$ adalah $20\sqrt{5}$ dan panjang $CD$ adalah $4\sqrt{19}$. $AB$ dan $CD$ berpotongan di dalam lingkaran di titik $E$. Apabila garis tinggi segitiga $EAD$ dari $E$ memotong $BC$ di $M$ dan garis tinggi segitiga $EBC$ dari $E$ memotong $AD$ di $N$, Tentukan panjang $MN$. 12. Diketahui 4 bilangan real positif $x, y, z, $ dan $w$ yang memenuhi persamaan $$xyzw = 1, x^{100} + 100y = 100z + w^{100}, \text{dan} 100x + y^{100} = z^{100} + 100w$$ Tentukan nilai minimum yang mungkin untuk $x +y + z + w$. 13. Untuk setiap bilangan asli $n$, definisikan $\tau (n)$ sebagai hasil penjumlahan semua pembagi positif dari $n$, sebagai contoh, $\tau (6) = 12$ dan $\tau (14) = 24$. Definisikan fungsi $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ sebagai $$f(n) = \frac{1}{\tau(n^2)}$$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$. Misalkan $$ S = \frac{f(1) + f(3) + f(5) + f(7) + ...}{f(2) + f(4) + f(6) + f(8) + ... }$$ Hitunglah nilai dari $\left \lfloor S \right \rfloor$ 14. Diberikan $\bigtriangleup ABC$ dengan luas 2000 dan $BC = 80$. Lingkaran dalam $\bigtriangleup ABC$ berpusat di $I$ dan menyinggung sisi $BC$ di titik $X$. Misalkan $Y$ adalah titik tengah busur $BC$ dari lingkaran luar $\bigtriangleup ABC$ yang tidak memuat $A$. Misalkan pula $Z$ adalah kaki tegak lurus $\bigtriangleup ABC$ dari $A$ ke sisi $BC$. Jika $XY$ memotong $AZ$ di titik $P$ dan $AP - IX = 13$, hitunglah nilai dari $AI^2 - PX^2$.
  11. Soal geometri

    Misalkan $E$ adalah titik pada segmen $AC$ sehingga $CE = CB$ sehingga $AE = AD$. Selanjutnya misal lingkaran $\Gamma$ ialah lingkaran dengan pusat $D$ dan jari - jari $DB$. Misal lingkaran $\Gamma$ memotong $DC$ di $G$, dan memotong perpanjangan $DE$ di $F$ Karena $\angle BAC = 40^{\circ}$ maka $\angle BDF = \angle AED= \angle FEC = 20^{\circ}$. Selain itu karena $CB = CE$ maka $\angle BEC = 70^{\circ}$ dan $\angle BEF = 50^{\circ}$. Selanjutnya karena $DB = DF$ maka $\angle DBF = 80^{\circ}$ dan $\angle FBE = 50^{\circ}$. Jadi $\angle FBE = \angle BEF \Rightarrow FB = FE$ sehingga $CF$ merupakan garis bagi sudut $\angle BCE$. Sehingga didapat $\angle FCE = 20^{\circ}$ yang berarti $ADCF$ segiempat talibusur. Dan $DF = DB = AC$ yang berakibat $\angle FCD = \angle ADC \Rightarrow EDC = ECD = 10^{\circ}$. Jadi $\angle BDC = 30^{\circ}$
  12. OSK SMA 2002

    Bagian Pertama Bilangan $ \frac{(2^4)^8}{(4^8)^2} $ sama dengan $\dots$ a. $ \frac{1}{4} $ b. $ \frac{1}{2} $ c. 1 d. 2 e. 8 Bando selalu berkata bohong. Suatu hari dia berkata kepada tetangganya, Andi : "Paling tidak salah satu di antara kita tidak pernah berbohong." Dari informasi ini kita merasa pasti bahwa $\dots$ a. Andi selalu berbohong b. Andi sesekali berbohong c. Andi selalu berkata benar d. Andi sesekali berkata benar e. Andi tidak pernah berkata apapun Bilangan $ n $ terbesar sehingga $ 8^n $ membagi $ 44^{44} $ adalah $\dots$ a. 8 b. 22 c. 29 d. 44 e. 88 Pernyataan manakah yang benar? a. Jika $ x<0 $ maka $ x^2>x $ b. Jika $ x^2>0 $ maka $ x>0 $ c. Jika $ x^2>x $ maka $ x>0 $ d. Jika $ x^2>x $ maka $ x< 0 $ e. Jika $ x^2>x $ maka $ x>0 $ Misalkan $ x^{-n} $ sama dengan $ \left( \frac{1}{x} \right)^n $ untuk setiap bilangan real $ x $. Maka $ a^3-a^{-3} $ sama dengan $\dots$ a. $ (a-\frac{1}{a})(a^2+1+\frac{1}{a^2}) $ b. $ (\frac{1}{a}-a)(a^2-1+\frac{1}{a^2}) $ c. $ (a-\frac{1}{a})(a^2-2+\frac{1}{a^2}) $ d. $ (\frac{1}{a}-a)(\frac{1}{a^2}+1+a^2) $ e. Bukan di antara a, b, c dan d Lima ekor kambing memakan rumput seluas 5 kali ukuran lapangan bola dalam 5 hari. Berapa hari yang diperlukan oleh 3 ekor kambing untuk menghabiskan rumput seluas 3 kali lapangan bola? a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 Jika untuk setiap $ x,y $ bilangan real berlaku $ x\$ y=xy-x+y $ maka $ (x+y)\$ (x-y) $ sama dengan $\dots$ a. $ x^2-y^2+2x $ b. $ x^2-y^2-2x $ c. $ x^2-y^2+2y $ d. $ x^2-y^2-2y $ e. $ x^2-y^2 $ Berapa banyak pasang bilangan bulat positif $ (a,b) $ yang memenuhi $ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{6} $? a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 Untuk nilai $ a $ yang manakah garis lurus $ y=6x $ memotong parabola $ y=x^2+a $ tepat di satu titik? a. 7 b. 8 c. 9 d. 10 e. 11 Digit 1, 9, 9, 8 dalam 1998 mempunyai jumlah total $ 1+9+9+8=27 $. Bilangan berikutnya yang mempunyai jumlah digit 27 terjadi di antara tahun $\dots$ a. 2500 dan 2700 b. 2701 dan 2900 c. 2901 dan 3100 d. 3101 dan 9900 e. 9901 dan 9999 Bagian Kedua Pada suatu segitiga $ ABC $, sudut $ C $ tiga kali besar sudut $ A $ dan sudut $ B $ dua kali besar sudut $ A $. Berapakah perbandingan (rasio) antara panjang $ AB $ dan $ BC $? Bando dan Bandi ingin mengecat pagar, Bando dapat menyelesaikan pengecatan pagar oleh dirinya sendiri dalam waktu 3 jam, sedangkan Bandi dapat menyelesaikannya dalam 4 jam. Pada pukul 12:00 siang mereka mulai mengecat pagar bersama-sama. Akan tetapi pada suatu ketika mereka bertengkar. Mereka bertengkar selama 10 menut dan dalam masa itu tidak ada satupun yang melakukan pengecatan. Setelah pertengkaran tersebut Bandi pergi dan Bando menyelesaikan pengecatan pagar sendirian. Jika Bando menyelesaikan pengecatan pada pukul 14.25, pada pukul berapakah pertengkaran dimulai? Berapakah jumlah digit-digit bilangan $ 2^{2002}.5^{2003} $? Berapa banyak bilangan positif yang kurang dari 10.000 yang berbentuk $ x^8+y^8 $ untuk suatu bilangan bulat $ x>0 $ dan $ y>0 $? Tentukan bilangan $ n $ terkecil sehingga setiap subhimpunan dari $ \{1,2,3,\dots,20\} $ yang beranggotakan $ n $ unsur pasti mengandung dua anggota yang selisihnya 8. Garis $ AB $ dan $ CD $ sejajar dan berjarak 4 satuan. Misalkan $ AD $ memotong $ BC $ di titik $ P $ di antara kedua garis. Jika $ AB=4 $ dan $ CD=12 $, berapa jauh $ P $ dari garis $ CD $? Misalkan $ a $ dan $ b $ bilangan real yang berbeda sehingga \[\frac{a}{b}+\frac{a+10b}{b+10a}=2\] Tentukan nilai $ \frac{a}{b} $. Bilangan bulat positif $ p\geq 2 $ disebut bilangan prima jika ia hanya mempunyai faktor 1 dan $ p $. Tentukan nilai penjumlahan semua bilangan prima di antara 1 dan 100 yang sekaligus bersifat : satu lebihnya dari suatu bilangan kelipatan 5 dan satu kurangnya dari suatu bilangan kelipatan 6. Misalkan \[a=\frac{1^2}{1}+\frac{2^2}{3}+\frac{3^2}{5}+\dots+\frac{1001^2}{2001}\] dan \[b=\frac{1^2}{3}+\frac{2^2}{5}+\frac{3^2}{7}+\dots+\frac{1001^2}{2003}\] Tentukan bilangan bulat yang nilainya paling dekat ke $ a-b $. Suatu persegi panjang berukuran 8 kali $ 2\sqrt{2}$ mempunyai titik pusat yang sama dengan suatu lingkaran berjari-jari 2. Berapakah luas daerah irisan antara persegi panjang dan lingkaran tersebut?
  13. OSK SMA 2003

    Bagian Pertama Ada berapa banyak di antara bilangan-bilangan 20000002, 20011002, 20022002, 20033002 yang habis dibagi 9? a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 Ada berapa banyak bilangan 4-angka (digit) yang semua angkanya genap dan bukan merupakan kelipatan 2003? a. 499 b. 500 c. 624 d. 625 e. Tidak satupun di antaranya Hari ini usiaku $ \frac{1}{3} $ usia ayahku. Lima tahun yang lalu, usiaku $ \frac{1}{4} $ kali usia ayahku pada waktu itu. Berapakah usiaku sekarang? a. 12 b. 15 c. 17 d. 20 e. 21 Sebuah kelas terdiri dari 40 siswa. Di antaranya, 20 siswa menyukai pelajaran Matematika, 15 orang menyukai pelajaran Biologi, 15 orang menyukai pelajaran Bahasa Inggris dan lima orang menyukai ketiganya. Banyaknya siswa yang menyukai sedikitnya satu dari ketiga pelajaran tersebut adalah? a. 10 b. 15 c. 20 d. 25 e. Tidak satupun di antaranya Masing-masing dari kelima pernyataan berikut benar atau salah. (a). Pernyataan (c) dan (d) keduanya benar (b). Pernyataan (d) dan (e) tidak keduanya salah (c). Pernyataan (a) benar (d). Pernyataan (d) salah (e). Pernyataan (a) dan © keduanya salah. Berapa banyak di antara kelima pernyataan di atas yang benar? a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 Misalkan $ x $ dan $ y $ adalah bilangan taknol yang memenuhi \[xy=\frac{x}{y}=x-y\] Berapakah nilai $ x+y $? a. $ -\frac{3}{2} $ b. $ -\frac{1}{2} $ c. 0 d. $ \frac{1}{2} $ e. $ \frac{3}{2} $ Di dalam suatu lingkaran $ L_1 $ berjari-jari 1 dan berpusat di titik asal dilukis suatu lingkaran $ L_2 $ yang bersinggungan dengan lingkaran $ L_1 $, dan dengan sumbu$ -x $ dan sumbu$ -y $ positif. Jari-jari lingkaran $ L_2 $ adalah? a. $ \frac{1}{3} $ b. $ \frac{2}{5} $ c. $ \sqrt{2}-1 $ d. $ \frac{1}{2} $ e. $ 2-\sqrt{2} $ Misalkan $ 3^a=4 $, $ 4^b=5 $, $ 5^c=6 $, $ 6^d=7 $, $ 7^e=8 $, dan $ 8^f=9 $. Berapakah hasil kali $ abcdef $? a. 1 b. 2 c. $ \sqrt{6} $ d. 3 e. $ \frac{10}{3} $ Misalkan $ N $ adalah bilangan bulat terkecil yang bersifat : bersisa 2 jika dibagi 5, bersisa 3 jika dibagi oleh 7, dan bersisa 4 jika dibagi 9. Berapakah hasil penjumlahan digit-digit dari $ N $? a. 4 b. 8 c. 13 d. 22 e. 40 Suatu garis melalui titik $ (m,-9) $ dan $ (7,m) $ dengan kemiringan $ m $. Berapakah nilai $ m $? a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 Bagian Kedua Misalkan $ f $ suatu fungsi yang memenuhi \[f\left(\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{x}f(-x)=2x\] untuk setiap bilangan real $ x\neq0 $. Berapakah nilai $ f(2) $? Jika $ a $ dan $ b $ bilangan bulat sedemikian sehingga $ a^2-b^2=2003 $, maka berapakah nilai $ a^2+b^2 $? (Diketahui bahwa 2003 merupakan bilangan prima) Dari sepuluh orang siswa akan dibentuk 5 kelompok, masing-masing beranggota dua orang. Berapakah banyaknya cara membentuk kelima kelompok ini? Misalkan bahwa \[f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\] dan bahwa $ f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5) $. Berapakah nilai $ a $? Berapakah hasil perkalian \[\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{4^2}\right) \dots \left(1-\frac{1}{2003^2}\right)\] Iwan selalu berbohong pada hari Senin, Selasa, Rabu dan berkata jujur pada hari-hari lainnya. Di lain pihak Budi selalu berbohong pada hari Kamis, Jumat, Sabtu dan berkata jujur pada hari-hari lainnya. Pada suatu hari terjadi percakapan berikut : Iwan : Kemarin saya berbohong Budi : Saya juga Pada hari apa percakapan tersebut terjadi? Segitiga $ ABC $ adalah segitiga samasisi dengan panjang sisi 1 satuan. Melalui $ B $ dibuat garis yang tegak lurus $ BC $. Garis tersebut berpotongan dengan perpanjangan garis $ AC $ di titik $ D $. Berapakah panjang $ BD $? Untuk setiap bilangan real $ \alpha $, kita definisikan $ \lfloor\alpha\rfloor $ sebagai bilangan bulat yang kurang dari atau sama dengan $ \alpha $. Sebagai contoh $ \lfloor4,9\rfloor=4 $ dan $ \lfloor7\rfloor=7 $. Jika $ x $ dan $ y $ bilangan real sehingga $ \lfloor\sqrt{x}\rfloor=9 $ dan $ \lfloor\sqrt{y}\rfloor=12 $, maka nilai terkecil yang mungkin dicapai oleh $ \lfloor y-x\rfloor $ adalah? Untuk menentukan wakilnya dalam cabang lari 110 $ m $ gawang putera, sebuah SMU mengadakan seleksi yang diikuti 5 orang siswa. Dalam seleksi tersebut diadakan tiga kali lomba yang pada setiap lomba, pelari tercepat diberi nilai 5, sedangkan peringkat di bawahnya berturut-turut mendapat nilai 3, 2, 1, 1. Tidak ada dua pelari yang menempati peringkat yang sama. Jika pemenang seleksi diberikan kepada yang nilai totalnya paling tinggi pada ketiga lomba, berapakah nilai terendah yang mungkin dicapai oleh pemenang seleksi ? Misalkan $ a,b,c,d,e,f,g,h, i $ menyatakan bilangan-bilangan bulat positif berbeda yang kurang dari atau sama dengan sembilan. Jika jumlah setiap tiga bilangan dalam setiap lingkaran bernilai sama, berapakah nilai $ a + d + g $?
  14. OSK SMA 2004

    Bagian Pertama Jika a dan b adalah bilangan real yang memenuhi $ a+b=3 $ dan $ a^2+ab=7 $, maka $ a $ adalah $ \dots $ a. $ \frac{3}{7} $ b. $ \frac{5}{7} $ c. $ \frac{3}{4} $ d. $ \frac{7}{5} $ e. $ \frac{7}{3} $ Bilangan 2004 memiliki faktor selain 1 dan 2004 sendiri sebanyak a. 3 b. 4 c. 6 d. 10 e. 12 Misalkan $ k $ bilangan bulat. Nilai $ 4^{k+1}\times 5^{k-1} $ sama dengan a. $ \frac{4}{5}\times20^k $ b. $ \frac{4}{5}\times20^{2k} $ c. $ 16\times20^{k-1} $ d. $ 20^{2k} $ e. $ 20^{k^2-1} $ Untuk $ a $ dan $ b $ bilangan bulat dengan $ a\neq 0 $, notasi $ a|b $ menyatakan “$ a $ membagi $ b $â€. Pernyataan berikut yang salah adalah a. Jika $ a|b $ dan $ a|c $, maka $ a|(bc) $ b. Jika $ a|c $ dan $ b|c $, maka $ (ab)|c $ c. Jika $ a|b $ dan $ a|c $, maka $ a|(b + c) $ d. Untuk setiap bilangan bulat $ a\neq0 $ berlaku $ a|0 $ e. Jika $ a|b $, maka $ a|(bc) $, untuk setiap bilangan bulat $ c $ Di suatu hotel, rata-rata 96% kamar terpakai sepanjang sebulan liburan kenaikan kelas dan rata-rata 72% kamar terpakai sepanjang sebelas bulan lainnya. Maka rata-rata pemakaian kamar sepanjang tahundi hotel tersebut adalah a. 70% b. 74% c. 75% d. 80% e. 84% Dalam ketidaksamaan berikut, besar sudut dinyatakan dalam radian. Ketidaksamaan yang benar adalah a. $ \sin 1<\sin 2 <\sin 3 $ b. $ \sin 3<\sin 2 <\sin 1 $ c. $ \sin 1<\sin 3 <\sin 2 $ d. $ \sin 2<\sin 1 <\sin 3 $ e. $ \sin 3<\sin 1 <\sin 2 $ Sebuah kotak berisi 6 bola merah dan 6 bola putih. Secara acak diambil dua bola sekaligus. Peluang untuk mendapatkan dua bola berwarna sama adalah a. $ \frac{5}{12} $ b. $ \frac{5}{11} $ c. $ \frac{1}{2} $ d. $ \frac{5}{9} $ e. $ \frac{5}{7} $ Segitiga dengan panjag sisi 6 dan 8 memiliki luas terbesar jika sisi ketiganya memiliki panjang a. 6 b. 8 c. 10 d. 12 e. 15 Pada sebuah segi6 beraturan, rasio panjang antara diagonal terpendek terhadap diagonal terpanjang adalah a. $1:3$ b. $1:2$ c. $1: \sqrt{3} $ d. $2:3$ e. $ \sqrt{3}:2 $ Nomor polisi mobil-mobil di suatu negara selalu terdiri dari 4 angka. Jika jumlah keempat angka pada setiap nomor juga harus genap, mobil yang bisa terdaftar di negara itu paling banyak ada a. 600 b. 1800 c. 2000 d. 4500 e. 5000 Bagian Kedua Jika $ \frac{x}{y}=\frac{2}{3} $ dan $ \frac{z}{y}=\frac{4}{5} $ maka $ \frac{x}{z}=\dots $ Jika 2004 dibagi ke dalam tiga bagian dengan perbandingan 2 : 3 : 5, maka bagian terkecil adalah $\dots$ Untuk dua bilangan bulat $ a $ dan $ b $, penulisan $ a\ast b $ menyatakan sisa tak negatif $ ab $ jika dibagi 5. Nilai $ (-3)\ast4=\dots $ Jika luas segitiga $ ABC $ sama dengan kelilingnya, maka jari-jari lingkaran dalam segitiga $ ABC $ adalah $\dots$ Agar bilangan $ 2^0+2^1+\dots+2^n $ sedekat mungkin kepada 2004, haruslah $ n=\dots $ Jika $ \log p +\log q =\log(p+q) $, maka $ p $ dinyatakan dalam $ q $ adalah $ p=\dots $ Luas sebuah segitiga siku-siku adalah 5. Panjang sisi miring segitiga ini adalah 5. Maka keliling segitiga tersebut adalah Jika $ x $ dan $ y $ dua bilangan asli dan $ x + y + xy= 34 $, maka nilai $ x + y =\dots $ Sepuluh tim mengikuti turnamen sepakbola. Setiap tim bertemu satu kali dengan setiap tim lainnya. Pemenang setiap pertandingan memperoleh nilai 3, sedangkan yang kalah memperoleh nilai 0. Untuk pertandingan yang berakhir seri, kedua tim memperoleh nilai masing-masing 1. Di akhir turnamen, jumlah nilai seluruh tim adalah 124. Banyaknya pertandingan yang berakhir seri adalah $\dots$ Delegasi Indonesia ke suatu pertemuan pemuda internasional terdiri dari 5 orang. Ada 7 orang pria dan 5orang wanita yang mencalonkan diri untuk menjadi anggota delegasi. Jika dipersyaratkan bahwa paling sedikit seorang anggota itu harus wanita, banyaknya cara memilih anggota delegasi adalah $\dots$
  15. OSK SMA 2005

    Bagian Pertama Bilangan $ \displaystyle{\frac{1}{(1+\sqrt{2})(2+\sqrt{3})(1-\sqrt{2})(2-\sqrt{3})}} $ adalah bilangan [table] a. takrasional positif b. tak rasional negatif c. rasional tidak bulat d. bulat positif e. bulat negatif [/table] Pada gambar di bawah, $ a,b,c,d $ dan $ e $ berturut-turut menyatakan besar sudut pada titik-titik ujung bintang lima yang terletak pada suatu lingkaran. Jumlah $ a + b + c + d + e= $ [table] a. $ 135^\circ $ b. $ 180^\circ $ c. $ 270^\circ $ d. $ 360^\circ $ e. Tidak dapat ditentukan dengan pasti [/table] Semula harga semangkuk bakso danharga segelas jus masing-masing adalah Rp. 5000. Setelah kenaikan BBM, semangkuk bakso harganya naik 16% sedangkan harga segelas jus naik 4%. Kenaikan harga dari semangkuk bakso dan segelas jus adalah [table] a. 8% b. 10% c. 12% d. 15% e. 20% [/table] Jika $ a $ bilangan real yang memenuhi $ a^2< a $, maka [table] a. $ a $ negatif b. $ a<1 $ c. $ 1< a $ d. $ \frac{1}{2}< a < 2 $ e. Tidak ada $ a $ yang menenuhi [/table] Aries menggambar bagian dari parabola $ y=x^2-6x+7 $. Titik-titik parabola yang muncul dalam gambar memiliki absis mulai dari 0 sampai +4. Maka ordinat terkecil dan ordinat terbesar titik-titik pada parabola yang muncul dalam gambar berturut-turut adalah [table] a. -2 dan -1 b. -2 dan 7 c. -1 dan 7 d. 0 dan -1 e. 0 dan 7 [/table] Dua buah dadu dilemparkan bersamaan. Berapakah peluang jumlah angka yang muncul adalah 6 atau 8 ? [table] a. $ \frac{5}{36} $ b. $ \frac{7}{36} $ c. $ \frac{10}{36} $ d. $ \frac{14}{36} $ e. $ \frac{35}{36} $ [/table] Titik $ A(a, b) $ disebut titik \textit{letis} jika $ a $ dan $ b $ keduanya adalah bilangan bulat. Banyaknya titik letis pada lingkaran yang berpusat di $ O $ dan berjari-jari 5 adalah [table] a. 4 b. 6 c. 8 d. 12 e. Tidak dapat dipastikan [/table] Mana di antara 5 ekspresi berikut yang angka terakhirnya berturut-turut bukan 5, 6, 8, 9 atau 0? [table] [tr] a. $ 5^{5^{5^5}} $ b. $ 6^{6^{6^6}} $ c. $ 8^{8^{8^8}} $ d. $ 9^{9^{9^9}} $ e. $ 10^{10^{10^10}} $ [/table] Diberikan tiga bilangan positif $ x $, $ y $ dan $ z $ yang semuanya berbeda. Jika $ \frac{y}{x-z}=\frac{x+y}{z}=\frac{x}{y} $ maka nilai $ \frac{y}{x} $ sama dengan [table] a. $ \frac{1}{2} $ b. $ \frac{3}{5} $ c. 1 d. 2 e. $ \frac{10}{3} $ [/table] Jika diberikan persamaan $ (x^2-x-1)^{x+2} =1$, maka banyaknya bilangan bulat $ x $ yang merupakan solusi dari persamaan tersebut adalah [table] a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 [/table] Bagian Kedua Faktor prima terbesar dari 2005 adalah $\dots$ Tentukan semua solusi persamaan $ |x-1|+|x-4|=2 $. Misalkan $ a $ dan $ b $ adalah bilangan real tak nol yang memenuhi $ 9a^2−12ab+4b^2=0 $. Tentukan $ \frac{a}{b} $ Diberikan dua buah persegi, $ A $ dan $ B $, dimana luas $ A $ adalah separuh dari luas $ B $. Jika keliling $ B $ adalah $ 20 cm $, maka keliling $ A $,dalam centimeter, adalah $\dots$ Seorang siswa mempunyai dua celana berwarna biru dan abu-abu, tiga kemeja berwarna putih, merah muda dan kuning, serta dua pasang sepatu berwarna hitam dan coklat. Banyaknya cara siswa tersebut memakai pakaian dan sepatu adalah $\dots$ Tentukan smeua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ x^4+\frac{1}{x^4}\leq2 $ Tentukan semua bilangan tiga-angka sehingga nilai bilangan itu adalah 30 kali jumlah ketiga angka itu. Nilai $ \sin^8 75^\circ-\cos^8 75^\circ=\dots $ Diketahui bahwa segiempat ABCD memiliki pasangan sisi yang sejajar. Segiempat tersebut memiliki tepat satu sumbu simetri lipat jika ia berbentuk $\dots$ Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat positif $ (m, n) $ yang merupakan solusi dari persamaan $ \displaystyle{\frac{4}{m}+\frac{2}{n}=1} $
×