erwinekow

Moderators
  • Content count

    101
  • Joined

  • Last visited

  • Days Won

    6

erwinekow last won the day on September 26 2015

erwinekow had the most liked content!

Community Reputation

20 Excellent

1 Follower

About erwinekow

  • Rank
    Advanced Member

Profile Information

  • Gender
    Not Telling

Recent Profile Visitors

586 profile views
  1. Persamaan Fungsi

    Oke kak @Adri, makasih banyak :D Sempet mikir sih kalo $f$ kontinu ya cuma 1, tapi belum kepikiran gimana solve fungsi yg ga kontinu. Hehe
  2. Aljabar

    1
  3. Persamaan Fungsi

    Wah kok jadi nyambungnya ke grup ._. Sebenernya iseng bikin soal. Awalnya mau $f(x+f(y))=f(x)+y$, tapi kayak pernah liat. Jadinya coba dikali 2. Udah coba diskusi sama @Ricky TheIsing, cuma nemu sampe $f$ bijektif dan $f(x+f(0))=f(x)+f(0)$. Habis itu stuck. Tapi coba nebak solusi, $f(x)=x+f(0)$ memenuhi.
  4. Persamaan Fungsi

    Tentukan semua fungsi $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ yang memenuhi $f(2x+f(y))=2f(x)+y$ untuk sebarang $x,y \in \mathbb{R}$.
  5. LM UGM 27 - SMP - 20 besar

    Bukan mas, yg bikin @Ricky TheIsing.
  6. LM UGM 27 - SMP - 20 besar

    Maaf, ternyata jawaban saya salah, saya kira lingkarannya di tengah, ternyata bisa bebas. Saya coba buktikan $A,D,E$ segaris tanpa menggunakan homotethy: Misal $O$ adalah titik pusat lingkaran luar $ABC$, $P$ adalah titik pusat lingkaran $\omega$, dan $M$ adalah titik tengah $BC$. Perhatikan bahwa $\angle{OMB}=\angle{PDM}=\frac{\pi}{2}$, dan berakibat $AM$ sejajar dengan $PD$. Karena $O,P,E$ segaris, perhatikan bahwa $\frac{r}{R}=\frac{EP}{EO}=\frac{PD}{OA}$, maka haruslah $A,D,E$ segaris.
  7. LM UGM 27 - SMP - 20 besar

    Misal jari-jari lingkaran luarnya adalah $R$ dan jari-jari lingkaran $\omega$ adalah $r$. Misalkan pula $BC=a$ dan $AB=AC=b$. Dengan menggunakan rumus jari-jari lingkaran luar, diperoleh $R=\frac{ab^2}{4L}=\frac{ab^2}{\frac{4a(2R-2r)}{2}}=\frac{b^2}{4(R-r)}$, atau bisa ditulis $b^2=4R(R-r)$. Lalu, dengan menggunakan Pythagoras, $AN^2=(2R-r)^2-r^2=4R^2-4Rr=4R(R-r)=b^2$. Sehingga diperoleh $AN^2=AB^2$, dan berakibat $AN=AB$.
  8. OSK SMA 2002

    Bagian Pertama Bilangan $ \frac{(2^4)^8}{(4^8)^2} $ sama dengan $\dots$ a. $ \frac{1}{4} $ b. $ \frac{1}{2} $ c. 1 d. 2 e. 8 Bando selalu berkata bohong. Suatu hari dia berkata kepada tetangganya, Andi : "Paling tidak salah satu di antara kita tidak pernah berbohong." Dari informasi ini kita merasa pasti bahwa $\dots$ a. Andi selalu berbohong b. Andi sesekali berbohong c. Andi selalu berkata benar d. Andi sesekali berkata benar e. Andi tidak pernah berkata apapun Bilangan $ n $ terbesar sehingga $ 8^n $ membagi $ 44^{44} $ adalah $\dots$ a. 8 b. 22 c. 29 d. 44 e. 88 Pernyataan manakah yang benar? a. Jika $ x<0 $ maka $ x^2>x $ b. Jika $ x^2>0 $ maka $ x>0 $ c. Jika $ x^2>x $ maka $ x>0 $ d. Jika $ x^2>x $ maka $ x< 0 $ e. Jika $ x^2>x $ maka $ x>0 $ Misalkan $ x^{-n} $ sama dengan $ \left( \frac{1}{x} \right)^n $ untuk setiap bilangan real $ x $. Maka $ a^3-a^{-3} $ sama dengan $\dots$ a. $ (a-\frac{1}{a})(a^2+1+\frac{1}{a^2}) $ b. $ (\frac{1}{a}-a)(a^2-1+\frac{1}{a^2}) $ c. $ (a-\frac{1}{a})(a^2-2+\frac{1}{a^2}) $ d. $ (\frac{1}{a}-a)(\frac{1}{a^2}+1+a^2) $ e. Bukan di antara a, b, c dan d Lima ekor kambing memakan rumput seluas 5 kali ukuran lapangan bola dalam 5 hari. Berapa hari yang diperlukan oleh 3 ekor kambing untuk menghabiskan rumput seluas 3 kali lapangan bola? a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 Jika untuk setiap $ x,y $ bilangan real berlaku $ x\$ y=xy-x+y $ maka $ (x+y)\$ (x-y) $ sama dengan $\dots$ a. $ x^2-y^2+2x $ b. $ x^2-y^2-2x $ c. $ x^2-y^2+2y $ d. $ x^2-y^2-2y $ e. $ x^2-y^2 $ Berapa banyak pasang bilangan bulat positif $ (a,b) $ yang memenuhi $ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{6} $? a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 Untuk nilai $ a $ yang manakah garis lurus $ y=6x $ memotong parabola $ y=x^2+a $ tepat di satu titik? a. 7 b. 8 c. 9 d. 10 e. 11 Digit 1, 9, 9, 8 dalam 1998 mempunyai jumlah total $ 1+9+9+8=27 $. Bilangan berikutnya yang mempunyai jumlah digit 27 terjadi di antara tahun $\dots$ a. 2500 dan 2700 b. 2701 dan 2900 c. 2901 dan 3100 d. 3101 dan 9900 e. 9901 dan 9999 Bagian Kedua Pada suatu segitiga $ ABC $, sudut $ C $ tiga kali besar sudut $ A $ dan sudut $ B $ dua kali besar sudut $ A $. Berapakah perbandingan (rasio) antara panjang $ AB $ dan $ BC $? Bando dan Bandi ingin mengecat pagar, Bando dapat menyelesaikan pengecatan pagar oleh dirinya sendiri dalam waktu 3 jam, sedangkan Bandi dapat menyelesaikannya dalam 4 jam. Pada pukul 12:00 siang mereka mulai mengecat pagar bersama-sama. Akan tetapi pada suatu ketika mereka bertengkar. Mereka bertengkar selama 10 menut dan dalam masa itu tidak ada satupun yang melakukan pengecatan. Setelah pertengkaran tersebut Bandi pergi dan Bando menyelesaikan pengecatan pagar sendirian. Jika Bando menyelesaikan pengecatan pada pukul 14.25, pada pukul berapakah pertengkaran dimulai? Berapakah jumlah digit-digit bilangan $ 2^{2002}.5^{2003} $? Berapa banyak bilangan positif yang kurang dari 10.000 yang berbentuk $ x^8+y^8 $ untuk suatu bilangan bulat $ x>0 $ dan $ y>0 $? Tentukan bilangan $ n $ terkecil sehingga setiap subhimpunan dari $ \{1,2,3,\dots,20\} $ yang beranggotakan $ n $ unsur pasti mengandung dua anggota yang selisihnya 8. Garis $ AB $ dan $ CD $ sejajar dan berjarak 4 satuan. Misalkan $ AD $ memotong $ BC $ di titik $ P $ di antara kedua garis. Jika $ AB=4 $ dan $ CD=12 $, berapa jauh $ P $ dari garis $ CD $? Misalkan $ a $ dan $ b $ bilangan real yang berbeda sehingga \[\frac{a}{b}+\frac{a+10b}{b+10a}=2\] Tentukan nilai $ \frac{a}{b} $. Bilangan bulat positif $ p\geq 2 $ disebut bilangan prima jika ia hanya mempunyai faktor 1 dan $ p $. Tentukan nilai penjumlahan semua bilangan prima di antara 1 dan 100 yang sekaligus bersifat : satu lebihnya dari suatu bilangan kelipatan 5 dan satu kurangnya dari suatu bilangan kelipatan 6. Misalkan \[a=\frac{1^2}{1}+\frac{2^2}{3}+\frac{3^2}{5}+\dots+\frac{1001^2}{2001}\] dan \[b=\frac{1^2}{1}+\frac{2^2}{3}+\frac{3^2}{5}+\dots+\frac{1001^2}{2001}\] dan \[b=\frac{1^2}{3}+\frac{2^2}{5}+\frac{3^2}{7}+\dots+\frac{1001^2}{2003}\] Tentukan bilangan bulat yang nilainya paling dekat ke $ a-b $. Suatu persegi panjang berukuran 8 kali $ 2\sqrt{2}$ mempunyai titik pusat yang sama dengan suatu lingkaran berjari-jari 2. Berapakah luas daerah irisan antara persegi panjang dan lingkaran tersebut? Tautan diskusi dapat dilihat di sini
  9. OSK SMA 2003

    Bagian Pertama Ada berapa banyak di antara bilangan-bilangan 20000002, 20011002, 20022002, 20033002 yang habis dibagi 9? a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 Ada berapa banyak bilangan 4-angka (digit) yang semua angkanya genap dan bukan merupakan kelipatan 2003? a. 499 b. 500 c. 624 d. 625 e. Tidak satupun di antaranya Hari ini usiaku $ \frac{1}{3} $ usia ayahku. Lima tahun yang lalu, usiaku $ \frac{1}{4} $ kali usia ayahku pada waktu itu. Berapakah usiaku sekarang? a. 12 b. 15 c. 17 d. 20 e. 21 Sebuah kelas terdiri dari 40 siswa. Di antaranya, 20 siswa menyukai pelajaran Matematika, 15 orang menyukai pelajaran Biologi, 15 orang menyukai pelajaran Bahasa Inggris dan lima orang menyukai ketiganya. Banyaknya siswa yang menyukai sedikitnya satu dari ketiga pelajaran tersebut adalah? a. 10 b. 15 c. 20 d. 25 e. Tidak satupun di antaranya Masing-masing dari kelima pernyataan berikut benar atau salah. (a). Pernyataan (c) dan (d) keduanya benar (b). Pernyataan (d) dan (e) tidak keduanya salah (c). Pernyataan (a) benar (d). Pernyataan (d) salah (e). Pernyataan (a) dan (c) keduanya salah. Berapa banyak di antara kelima pernyataan di atas yang benar? a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 Misalkan $ x $ dan $ y $ adalah bilangan taknol yang memenuhi \[xy=\frac{x}{y}=x-y\] Berapakah nilai $ x+y $? a. $ -\frac{3}{2} $ b. $ -\frac{1}{2} $ c. 0 d. $ \frac{1}{2} $ e. $ \frac{3}{2} $ Di dalam suatu lingkaran $ L_1 $ berjari-jari 1 dan berpusat di titik asal dilukis suatu lingkaran $ L_2 $ yang bersinggungan dengan lingkaran $ L_1 $, dan dengan sumbu$ -x $ dan sumbu$ -y $ positif. Jari-jari lingkaran $ L_2 $ adalah? a. $ \frac{1}{3} $ b. $ \frac{2}{5} $ c. $ \sqrt{2}-1 $ d. $ \frac{1}{2} $ e. $ 2-\sqrt{2} $ Misalkan $ 3^a=4 $, $ 4^b=5 $, $ 5^c=6 $, $ 6^d=7 $, $ 7^e=8 $, dan $ 8^f=9 $. Berapakah hasil kali $ abcdef $? a. 1 b. 2 c. $ \sqrt{6} $ d. 3 e. $ \frac{10}{3} $ Misalkan $ N $ adalah bilangan bulat terkecil yang bersifat : bersisa 2 jika dibagi 5, bersisa 3 jika dibagi oleh 7, dan bersisa 4 jika dibagi 9. Berapakah hasil penjumlahan digit-digit dari $ N $? a. 4 b. 8 c. 13 d. 22 e. 40 Suatu garis melalui titik $ (m,-9) $ dan $ (7,m) $ dengan kemiringan $ m $. Berapakah nilai $ m $? a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 Bagian Kedua Misalkan $ f $ suatu fungsi yang memenuhi \[f\left(\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{x}f(-x)=2x\] untuk setiap bilangan real $ x\neq0 $. Berapakah nilai $ f(2) $? Jika $ a $ dan $ b $ bilangan bulat sedemikian sehingga $ a^2-b^2=2003 $, maka berapakah nilai $ a^2+b^2 $? (Diketahui bahwa 2003 merupakan bilangan prima) Dari sepuluh orang siswa akan dibentuk 5 kelompok, masing-masing beranggota dua orang. Berapakah banyaknya cara membentuk kelima kelompok ini? Misalkan bahwa \[f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\] dan bahwa $ f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5) $. Berapakah nilai $ a $? Berapakah hasil perkalian \[\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{4^2}\right) \dots \left(1-\frac{1}{2003^2}\right)\] Iwan selalu berbohong pada hari Senin, Selasa, Rabu dan berkata jujur pada hari-hari lainnya. Di lain pihak Budi selalu berbohong pada hari Kamis, Jumat, Sabtu dan berkata jujur pada hari-hari lainnya. Pada suatu hari terjadi percakapan berikut : Iwan : Kemarin saya berbohong Budi : Saya juga Pada hari apa percakapan tersebut terjadi? Segitiga $ ABC $ adalah segitiga samasisi dengan panjang sisi 1 satuan. Melalui $ B $ dibuat garis yang tegak lurus $ BC $. Garis tersebut berpotongan dengan perpanjangan garis $ AC $ di titik $ D $. Berapakah panjang $ BD $? Untuk setiap bilangan real $ \alpha $, kita definisikan $ \lfloor\alpha\rfloor $ sebagai bilangan bulat yang kurang dari atau sama dengan $ \alpha $. Sebagai contoh $ \lfloor4,9\rfloor=4 $ dan $ \lfloor7\rfloor=7 $. Jika $ x $ dan $ y $ bilangan real sehingga $ \lfloor\sqrt{x}\rfloor=9 $ dan $ \lfloor\sqrt{y}\rfloor=12 $, maka nilai terkecil yang mungkin dicapai oleh $ \lfloor y-x\rfloor $ adalah? Untuk menentukan wakilnya dalam cabang lari 110 $ m $ gawang putera, sebuah SMU mengadakan seleksi yang diikuti 5 orang siswa. Dalam seleksi tersebut diadakan tiga kali lomba yang pada setiap lomba, pelari tercepat diberi nilai 5, sedangkan peringkat di bawahnya berturut-turut mendapat nilai 3, 2, 1, 1. Tidak ada dua pelari yang menempati peringkat yang sama. Jika pemenang seleksi diberikan kepada yang nilai totalnya paling tinggi pada ketiga lomba, berapakah nilai terendah yang mungkin dicapai oleh pemenang seleksi ? Misalkan $ a,b,c,d,e,f,g,h, i $ menyatakan bilangan-bilangan bulat positif berbeda yang kurang dari atau sama dengan sembilan. Jika jumlah setiap tiga bilangan dalam setiap lingkaran bernilai sama, berapakah nilai $ a + d + g $? Tautan diskusi dapat dilihat di sini
  10. OSK SMA 2004

    Bagian Pertama Jika a dan b adalah bilangan real yang memenuhi $ a+b=3 $ dan $ a^2+ab=7 $, maka $ a $ adalah $ \dots $ a. $ \frac{3}{7} $ b. $ \frac{5}{7} $ c. $ \frac{3}{4} $ d. $ \frac{7}{5} $ e. $ \frac{7}{3} $ Bilangan 2004 memiliki faktor selain 1 dan 2004 sendiri sebanyak a. 3 b. 4 c. 6 d. 10 e. 12 Misalkan $ k $ bilangan bulat. Nilai $ 4^{k+1}\times 5^{k-1} $ sama dengan a. $ \frac{4}{5}\times20^k $ b. $ \frac{4}{5}\times20^{2k} $ c. $ 16\times20^{k-1} $ d. $ 20^{2k} $ e. $ 20^{k^2-1} $ Untuk $ a $ dan $ b $ bilangan bulat dengan $ a\neq 0 $, notasi $ a|b $ menyatakan “$ a $ membagi $ b $â€. Pernyataan berikut yang salah adalah a. Jika $ a|b $ dan $ a|c $, maka $ a|(bc) $ b. Jika $ a|c $ dan $ b|c $, maka $ (ab)|c $ c. Jika $ a|b $ dan $ a|c $, maka $ a|(b + c) $ d. Untuk setiap bilangan bulat $ a\neq0 $ berlaku $ a|0 $ e. Jika $ a|b $, maka $ a|(bc) $, untuk setiap bilangan bulat $ c $ Di suatu hotel, rata-rata 96% kamar terpakai sepanjang sebulan liburan kenaikan kelas dan rata-rata 72% kamar terpakai sepanjang sebelas bulan lainnya. Maka rata-rata pemakaian kamar sepanjang tahundi hotel tersebut adalah a. 70% b. 74% c. 75% d. 80% e. 84% Dalam ketidaksamaan berikut, besar sudut dinyatakan dalam radian. Ketidaksamaan yang benar adalah a. $ \sin 1<\sin 2 <\sin 3 $ b. $ \sin 3<\sin 2 <\sin 1 $ c. $ \sin 1<\sin 3 <\sin 2 $ d. $ \sin 2<\sin 1 <\sin 3 $ e. $ \sin 3<\sin 1 <\sin 2 $ Sebuah kotak berisi 6 bola merah dan 6 bola putih. Secara acak diambil dua bola sekaligus. Peluang untuk mendapatkan dua bola berwarna sama adalah a. $ \frac{5}{12} $ b. $ \frac{5}{11} $ c. $ \frac{1}{2} $ d. $ \frac{5}{9} $ e. $ \frac{5}{7} $ Segitiga dengan panjag sisi 6 dan 8 memiliki luas terbesar jika sisi ketiganya memiliki panjang a. 6 b. 8 c. 10 d. 12 e. 15 Pada sebuah segi6 beraturan, rasio panjang antara diagonal terpendek terhadap diagonal terpanjang adalah a. $1:3$ b. $1:2$ c. $1: \sqrt{3} $ d. $2:3$ e. $ \sqrt{3}:2 $ Nomor polisi mobil-mobil di suatu negara selalu terdiri dari 4 angka. Jika jumlah keempat angka pada setiap nomor juga harus genap, mobil yang bisa terdaftar di negara itu paling banyak ada a. 600 b. 1800 c. 2000 d. 4500 e. 5000 Bagian Kedua Jika $ \frac{x}{y}=\frac{2}{3} $ dan $ \frac{z}{y}=\frac{4}{5} $ maka $ \frac{x}{z}=\dots $ Jika 2004 dibagi ke dalam tiga bagian dengan perbandingan 2 : 3 : 5, maka bagian terkecil adalah $\dots$ Untuk dua bilangan bulat $ a $ dan $ b $, penulisan $ a\ast b $ menyatakan sisa tak negatif $ ab $ jika dibagi 5. Nilai $ (-3)\ast4=\dots $ Jika luas segitiga $ ABC $ sama dengan kelilingnya, maka jari-jari lingkaran dalam segitiga $ ABC $ adalah $\dots$ Agar bilangan $ 2^0+2^1+\dots+2^n $ sedekat mungkin kepada 2004, haruslah $ n=\dots $ Jika $ \log p +\log q =\log(p+q) $, maka $ p $ dinyatakan dalam $ q $ adalah $ p=\dots $ Luas sebuah segitiga siku-siku adalah 5. Panjang sisi miring segitiga ini adalah 5. Maka keliling segitiga tersebut adalah Jika $ x $ dan $ y $ dua bilangan asli dan $ x + y + xy= 34 $, maka nilai $ x + y =\dots $ Sepuluh tim mengikuti turnamen sepakbola. Setiap tim bertemu satu kali dengan setiap tim lainnya. Pemenang setiap pertandingan memperoleh nilai 3, sedangkan yang kalah memperoleh nilai 0. Untuk pertandingan yang berakhir seri, kedua tim memperoleh nilai masing-masing 1. Di akhir turnamen, jumlah nilai seluruh tim adalah 124. Banyaknya pertandingan yang berakhir seri adalah $\dots$ Delegasi Indonesia ke suatu pertemuan pemuda internasional terdiri dari 5 orang. Ada 7 orang pria dan 5orang wanita yang mencalonkan diri untuk menjadi anggota delegasi. Jika dipersyaratkan bahwa paling sedikit seorang anggota itu harus wanita, banyaknya cara memilih anggota delegasi adalah $\dots$ Tautan diskusi dapat dilihat di sini
  11. OSK SMA 2005

    Bagian Pertama Bilangan $ \displaystyle{\frac{1}{(1+\sqrt{2})(2+\sqrt{3})(1-\sqrt{2})(2-\sqrt{3})}} $ adalah bilangan [table] a. takrasional positif b. tak rasional negatif c. rasional tidak bulat d. bulat positif e. bulat negatif [/table] Pada gambar di bawah, $ a,b,c,d $ dan $ e $ berturut-turut menyatakan besar sudut pada titik-titik ujung bintang lima yang terletak pada suatu lingkaran. Jumlah $ a + b + c + d + e= $ [table] a. $ 135^\circ $ b. $ 180^\circ $ c. $ 270^\circ $ d. $ 360^\circ $ e. Tidak dapat ditentukan dengan pasti [/table] Semula harga semangkuk bakso danharga segelas jus masing-masing adalah Rp. 5000. Setelah kenaikan BBM, semangkuk bakso harganya naik 16% sedangkan harga segelas jus naik 4%. Kenaikan harga dari semangkuk bakso dan segelas jus adalah [table] a. 8% b. 10% c. 12% d. 15% e. 20% [/table] Jika $ a $ bilangan real yang memenuhi $ a^2< a $, maka [table] a. $ a $ negatif b. $ a<1 $ c. $ 1< a $ d. $ \frac{1}{2}< a < 2 $ e. Tidak ada $ a $ yang menenuhi [/table] Aries menggambar bagian dari parabola $ y=x^2-6x+7 $. Titik-titik parabola yang muncul dalam gambar memiliki absis mulai dari 0 sampai +4. Maka ordinat terkecil dan ordinat terbesar titik-titik pada parabola yang muncul dalam gambar berturut-turut adalah [table] a. -2 dan -1 b. -2 dan 7 c. -1 dan 7 d. 0 dan -1 e. 0 dan 7 [/table] Dua buah dadu dilemparkan bersamaan. Berapakah peluang jumlah angka yang muncul adalah 6 atau 8 ? [table] a. $ \frac{5}{36} $ b. $ \frac{7}{36} $ c. $ \frac{10}{36} $ d. $ \frac{14}{36} $ e. $ \frac{35}{36} $ [/table] Titik $ A(a, b) $ disebut titik \textit{letis} jika $ a $ dan $ b $ keduanya adalah bilangan bulat. Banyaknya titik letis pada lingkaran yang berpusat di $ O $ dan berjari-jari 5 adalah [table] a. 4 b. 6 c. 8 d. 12 e. Tidak dapat dipastikan [/table] Mana di antara 5 ekspresi berikut yang angka terakhirnya berturut-turut bukan 5, 6, 8, 9 atau 0? [table] [tr] a. $ 5^{5^{5^5}} $ b. $ 6^{6^{6^6}} $ c. $ 8^{8^{8^8}} $ d. $ 9^{9^{9^9}} $ e. $ 10^{10^{10^10}} $ [/table] Diberikan tiga bilangan positif $ x $, $ y $ dan $ z $ yang semuanya berbeda. Jika $ \frac{y}{x-z}=\frac{x+y}{z}=\frac{x}{y} $ maka nilai $ \frac{y}{x} $ sama dengan [table] a. $ \frac{1}{2} $ b. $ \frac{3}{5} $ c. 1 d. 2 e. $ \frac{10}{3} $ [/table] Jika diberikan persamaan $ (x^2-x-1)^{x+2} =1$, maka banyaknya bilangan bulat $ x $ yang merupakan solusi dari persamaan tersebut adalah [table] a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 [/table] Bagian Kedua Faktor prima terbesar dari 2005 adalah $\dots$ Tentukan semua solusi persamaan $ |x-1|+|x-4|=2 $. Misalkan $ a $ dan $ b $ adalah bilangan real tak nol yang memenuhi $ 9a^2−12ab+4b^2=0 $. Tentukan $ \frac{a}{b} $ Diberikan dua buah persegi, $ A $ dan $ B $, dimana luas $ A $ adalah separuh dari luas $ B $. Jika keliling $ B $ adalah $ 20 cm $, maka keliling $ A $,dalam centimeter, adalah $\dots$ Seorang siswa mempunyai dua celana berwarna biru dan abu-abu, tiga kemeja berwarna putih, merah muda dan kuning, serta dua pasang sepatu berwarna hitam dan coklat. Banyaknya cara siswa tersebut memakai pakaian dan sepatu adalah $\dots$ Tentukan smeua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ x^4+\frac{1}{x^4}\leq2 $ Tentukan semua bilangan tiga-angka sehingga nilai bilangan itu adalah 30 kali jumlah ketiga angka itu. Nilai $ \sin^8 75^\circ-\cos^8 75^\circ=\dots $ Diketahui bahwa segiempat ABCD memiliki pasangan sisi yang sejajar. Segiempat tersebut memiliki tepat satu sumbu simetri lipat jika ia berbentuk $\dots$ Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat positif $ (m, n) $ yang merupakan solusi dari persamaan $ \displaystyle{\frac{4}{m}+\frac{2}{n}=1} $ Tautan diskusi dapat dilihat di sini
  12. OSK SMA 2006

    Bagian Pertama Jumlah tiga bilangan prima pertama yang lebih dari 50 adalah [table] a. 169 b. 171 c. 173 d. 175 e. 177 [/table] Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah dan 10 bola putih. Jika diambil dua bola secara bersamaan, peluang memperoleh dua bola berwarna sama adalah [table] a. $ \frac{1}{2} $ b. $ \frac{1}{4} $ c. $ \frac{2}{21} $ d. $ \frac{10}{21} $ e. $ \frac{11}{21} $ [/table] Jika $ \displaystyle{X=\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}} $, maka $ X=\dots $ [table] a. $ \frac{2}{9} $ b. $ \frac{5}{12} $ c. $ \frac{4}{9} $ d. $ \frac{9}{4} $ e. $ \frac{12}{5} $ [/table] Pada segitiga $ ABC $, titik $ F $ membagi sisi $ AC $ dalam perbandingan 1 : 2. Misalkan $ G $ titik tengah $ BF $ dan $ E $ titik perpotongan antara sisi $ BC $ dengan $ AG $. Maka titik $ E $ membagi sisi $ BC $ dalam perbandingan [table] a. 1:4 b. 1:3 c. 2:5 d. 4:11 e. 3:8 [/table] Dalam suatu pertemuan terjadi 28 jabat tangan (salaman). Setiap dua orang saling berjabat tangan paling banyak sekali. Banyaknya orang yang hadir dalam pertemuan tersebut paling sedikit adalah [table] a. 28 b. 27 c. 14 d. 8 e. 7 [/table] Gaji David lebih banyak 20% daripada gaji Andika. Ketika Andika memperoleh kenaikan gaji,gajinya menjadi lebih banyak 20% daripada gaji David. Persentase kenaikan gaji Andika adalah [table] a. 0.44 b. 20 c. 44 d. 144 e. Tidak bisa dipastikan [/table] Misalkan $ T $ adalah himpunan semua titik pada bidang-xy yang memenuhi $ |x|+|y|\leq4 $. Luas daerah $ T $ adalah [table] a. 4 b. 8 c. 12 d. 16 e. 32 [/table] Definisikan $ a\ast b = a + b + 1 $ untuk semua bilangan bulat $ a, b $. Jika $ p $ memenuhi $ a\ast p = a $, untuk setiap bilangan bulat $ a $, maka $ p $ = [table] a. -1 b. 0 c. 1 d. 2 e. Tidak ada yang memenuhi [/table] Setiap dong adalah ding, dan beberapa dung juga dong. $ X $ : Terdapat dong yang juga ding sekaligus dung $ Y $ : Beberapa ding adalah dung $ Z $ : Terdapat dong yang bukan dung [table] a. Hanya $ X $ yang benar b. Hanya $ Y $ yang benar c. Hanya $ Z $ yang benar d. $ X $ dan $ Y $ keduanya benar e. $ X $, $ Y $ dan $ Z $ semuanya salah [/table] Banyaknya solusi pasangan bilangan bulat positif persamaan $ 3x + 5y = 501 $ adalah [table] a. 33 b. 34 c. 35 d. 36 e. 37 [/table] Bagian Kedua Diketahui $ a + (a + 1) + (a + 2) + \dots + 50 = 1139 $. Jika $ a $ bilangan positif, maka $ a = \dots $ Di antara lima orang gadis, Arinta, Elsi, Putri, Rita, dan Venny, dua orang memakai rok dan tiga orang memakai celana panjang. Arinta dan Putri mengenakan jenis pakaian yang sama. Jenis pakaian Putri dan Esi berbeda, demikian pula dengan Elsi dan Rita. Kedua gadis yang memakai rok adalah $\dots$ Barisan $ 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11,\dots $ terdiri dari semua bilangan asli yang bukan kuadrat atau pangkat tiga bilangan bulat. Suku ke-250 barisan adalah $\dots$ Jika $ f(xy) = f(x + y) $ dan $ f(7) = 7 $, maka $ f(49) = $ Pada sebuah barisan aritmatika, nilai suku ke-25 tiga kali nilai suku ke-5. Suku yang bernilai dua kali nilai suku pertama adalah suku ke $\dots$ Dimas membeli majalah setiap 5 hari sekali, sedangkan Andre membeli majalah setiap 8 hari sekali. Kemarin Dimas membeli majalah. Andre membeli majalah hari ini. Keduanya paling cepat akan membeli majalah pada hari yang sama $\dots$ hari lagi. Nanang mencari semua bilangan empat-angka yang selisihnya dengan jumlah keempat angkanya adalah 2007. Banyaknya bilangan yang ditemukan Nanang tidak akan lebih dari $\dots$ Parabola $ y=ax^2+bx+c $ memiliki puncak dengan koordinat $ (4, 2) $. Jika titik $ (2, 0) $ terletak pada parabola, maka $ abc = $ Sebuah garis $ l_1 $ mempunyai kemiringan −2 dan melalui titik $ (p, -3) $. Sebuah garis lainnya $ l_1 $, tegak lurus terhadap $ l_1 $ di titik $ (a, b) $ dan melalui titik $ (6, p) $. Bila dinyatakan dalam $ p $, maka $ a =\dots $ Pada segitiga $ ABC $ yang tumpul di $ C $, titik $ M $ adalah titik tengah $ AB $. Melalui $ C $ dibuat garis tegak lurus pada $ BC $ yang memotong $ AB $ di titik $ E $. Dari $ M $ tarik garis memotong $ BC $ tegak lurus di $ D $. Jika luas segitiga $ ABC $ adalah $ 54 $ satuan luas, maka luas segitiga $ BED $ adalah $\dots$ Tautan diskusi dapat dilihat di sini
  13. OSK SMA 2007

    Bagian Pertama Jika $ \lfloor x\rfloor $ menyatakan menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan bilangan real x, maka $ \lfloor \sqrt{3}-\sqrt{5}\rfloor^2=\dots $ [table] a. -1 b. 0 c. 1 d. 9 e. 81 [/table] Bilangan $ \sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2} $ merupakan bilangan [table] a. bulat negatif b. bulat positif c. pecahan d. irrasional positif e. irrasional negatif [/table] Banyaknya soal yang dikerjakan Amin hari ini bertambah tepat 40\% dibandingkan dengan yang dikerjakannya kemarin. Banyaknya soal yang dikerjakan Amin hari ini paling sedikit ada [table] a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. tidak bisa ditentukan [/table] Misalkan $ H $ adalah himpunan semua faktor positif dari 2007.Banyaknya himpunan bagian dari $ H $ yang tidak kosong adalah [table] a. 6 b. 31 c. 32 d. 63 e. 64 [/table] Misalkan $ N $ sebuah bilangan asli dua-angka dan $ M $ adalah bilangan asli yang diperoleh dengan mempertukarkan kedua angka $ N $. Bilangan prima yang selalu habis membagi $ N-M $ adalah [table] a. 2 b. 3 c. 7 d. 9 e. 11 [/table] Sebuah sampel diperoleh dari lima pengamatan. Jika rataan hitung(mean) sampel sama dengan 10 dan median sampel sama dengan 12, maka nilai terkecil jangkauan sampel sama dengan [table] a. 2 b. 3 c. 5 d. 7 e. 10 [/table] Peluang menemukan di antara tiga orang ada paling sedikit dua orang yang lahir dalam bulan yang sama adalah [table] a. $ \frac{17}{72} $ b. $ \frac{33}{72} $ c. $ \frac{39}{72} $ d. $ \frac{48}{72} $ e. $ \frac{55}{72} $ [/table] Keliling sebuah segitiga adalah 8. Jika panjang sisi-sisinya adalah bilangan bulat, maka luas segitiga tersebut sama dengan [table] a. $ 2\sqrt{2} $ b. $ \frac{16}{9}\sqrt{3} $ c. $ 2\sqrt{3} $ d. 4 e. $ 4\sqrt{2} $ [/table] Sepotong kawat dipotong menjadi 2 bagian, dengan perbandingan panjang 3:2. Masing-masing bagian kemudian dibentuk menjadi sebuah persegi. Perbandingan luas kedua persegi adalah [table] a. 4:3 b. 3:2 c. 5:3 d. 9:4 e. 5:2 [/table] Untuk setiap bilangan real $ x $ berlaku $ \displaystyle{\frac{\tan^2x+\cos^2x}{\sin x+\sec x}=} $ [table] a. $ \sec x +\sin x $ b. $ \sec x -\sin x $ c. $ \cos x +\csc x $ d. $ \cos x -\csc x $ e. $ \cos x +\sin x $ [/table] Bagian Kedua Misalkan $ f(x)= 2x-1 $, dan $ g(x) = \sqrt{x} $ . Jika $ f(g(x)) = 3 $, maka $ x =\dots $ Pengepakan buah "Drosophila" akan mengemas 44 apel ke dalam beberapa kotak. Ada dua jenis kotak yang tersedia, yaitu kotak untuk 10 apel dan kotak untuk 6 apel. Banyak kotak yang diperlukan adalah $\dots$ Semua pasangan bilangan bulat $ (x,y) $ yang memenuhi $ x+y = xy-1 $ dan $ x\leq y $,adalah $\dots$ Jika $ n $ adalah bilangan asli sehingga $ 3^n $ adalah faktor dari $ 33! $, maka nilai $ n $ terbesar yang mungkin adalah $\dots$ Sebuah ruas garis mulai dari titik $ (3,2\frac{1}{5}) $ dan berakhir di $ (99,68\frac{3}{5}) $ Banyaknya titik dengan koordinat bilangan bulat yang dilalui garis tersebut adalah $\dots$ Pada segitiga $ PQR $ samasisi diberikan titik-titik $ S $ dan $ T $ yang terletak berturut-turut pada sisi $ QR $ dan $ PR $ demikian rupa,sehingga $ \angle SPR=40^{\circ} $ dan $ \angle TQR=35^{\circ} $. Jika titik $ X $ adalah perpotongan garis-garis PS dan QT, maka $ \angle SXT= $ Pada segitiga $ ABC $ yang siku-siku di $ C $, $ AE $ dan $ BF $ adalah garis-garis berat (median). Maka $ \displaystyle{\frac{|AE|^2+|BF|^2}{|AB|^2}} =\dots$ Diketahui empat titik pada bidang dengan koordinat $ A(1,0), B(2008,2007), C(2007,2007), D(0,0) $. Luas jajaran genjang $ ABCD $ sama dengan $\dots$ Sebuah lingkaran berjari-jari 1. Luas maksimal segitiga samasisi yang dapat dimuat di dalam lingkaran adalah $\dots$ Sebuah daerah persegi dibagi menjadi 2007 daerah kecil dengan menarik garis-garis lurus yang menghubungkan dua sisi berbeda pada persegi. Banyak garis lurus yang harus ditarik paling sedikit ada $\dots$ Tautan diskusi dapat dilihat di sini
  14. OSK SMA 2008

    Bagian Pertama Jika $ a $ bilangan real, maka $ \sqrt{a^2}= $ [table] a. $ -|a| $ b. $ -a $ c. $ \pm a $ d. $ a $ e. $ |a| $ [/table] Banyaknya faktor positif dari $ 5! $ adalah [table] a. 4 b. 5 c. 16 d. 24 e. 120 [/table] Banyaknya susunan huruf B, I, O, L, A sehingga tidak ada dua huruf hidup (vowel) yang berturutan adalah [table] a. 8 b. 10 c. 12 d. 14 e. 16 [/table] Lingkaran $ T $ merupakan lingkaran luar bagi segitiga $ ABC $ dan lingkaran dalam bagi segitiga $ PQR $. Jika $ ABC $ dan $ PQR $ keduanya segitiga sama sisi, maka rasio keliling $ \triangle ABC $ terhadap keliling $ \triangle PQR $ adalah [table] a. $ \frac{1}{6} $ b. $ \frac{1}{4} $ c. $ \frac{1}{2} $ d. 2 e. 4 [/table] Jumlah empat bilangan asli berturutan senantiasa habis dibagi $ p $. Maka nilai $ p $ terbesar adalah [table] a. 1 b. 2 c. 4 d. 5 e. 7 [/table] Banyaknya himpunan $ X $ yang memenuhi $ \{1,2\}\subseteq X\subseteq \{1,2,3,4,5\} $ adalah [table] a. 3 b. 4 c. 8 d. 16 e. 32 [/table] Segitiga $ BC $ sama kaki, yaitu $ AB=AC $, dan memiliki keliling 32. Jika panjang garis tinggi dari $ A $ adalah 8, makapanjang $ AC $ adalah [table] a. $ 9\frac{1}{3} b. 10 c. $ 10\frac{2}{3} $ d. $ 11\frac{1}{3} $ e. 12 [/table] Jika $ f(x)=\frac{x+1}{x-1} $, maka untuk $ x^2\neq1 $, $ f(-x)= $ [table] a. $ \frac{1}{f(-x)} $ b. $ -f(-x) $ c. $ -f(x) $ d. $ f(x) $ e. $ \frac{1}{f(x)} $ [/table] Pada trapesium $ ABCD $, sisi $ AB $ sejajar sisi $ DC $ dan rasio luas segitiga $ ABC $ terhadap luas segitiga $ ACD $ adalah $ \frac{1}{3} $. Jika $ E $ dan $ F $ berturut-turut adalah titik tengah $ BC $ dan $ DA $, maka rasio luas $ ABEF $ terhadap luas $ EFDC $ adalah [table] a. $ \frac{1}{3} $ b. $ \frac{3}{5} $ c. 1 d. $ \frac{5}{3} $ e. 3 [/table] Diketahui bahwa $ a, b, c $ dan $ d $ adalah bilangan-bilangan asli yang memenuhi $ \frac{a}{b}<\frac{c}{d} $ dan $ c< a $. Jika $ b \neq1 $ dan $ c\neq d $, maka [table] a. $ \displaystyle{\frac{a}{c}<\frac{b-a}{d-c}} $ b. $ \displaystyle{\frac{b-a}{d-c}<\frac{a}{c}} $ c. $ \displaystyle{\frac{a}{c}<\frac{b(d-1)}{d(b-1)}} $ d. $ \displaystyle{ \frac{b(d-1)}{d(b-1)}<\frac{a}{c}} $ e. $ \displaystyle{\frac{a+b}{c+d}<\frac{a}{c}} $ [/table] Bagian Kedua Suatu pertujukan dihadiri oleh sejumlah penonton. Setiap penonton dewasa membayar tiket seharga 40 ribu rupiah, sedangkan setiap penonton anak-anak membayar tiket 15 ribu rupiah. Jika jumlah uang penjualan tiket adalah 5 juta rupiah, dan banyaknya penonton dewasa adalah 40\% dari seluruh penonton, maka banyaknya penonton anak-anak adalah $\dots$ Diketahui $ FPB (a, 2008) = 251 $. Jika $ a > 2008 $ maka nilai terkecil yang mungkin bagi $ a $ adalah $\dots$ Setiap dung adalah ding. Ada lima ding yang juga dong. Tidak ada dung yang dong. Jika banyaknya ding adalah 15, dan tiga di antaranya tidak dung dan tidak dong, maka banyaknya dung adalah $\dots$ Dua buah dadu identik (sama persis) dilemparkan bersamaan. Angka yang muncul adalah $ a $ dan $ b $. Peluang $ a $ dan $ b $ terletak pada sisi-sisi yang bertolak belakang (di dadu yang sama) adalah $\dots$ Bilangan 4-angka dibentuk dari 1, 4, 7 dan 8 dimana masing-masing angka digunakan tepat satu kali. Jika semua bilangan 4-angka yang diperoleh dengan cara ini dijumlahkan, maka jumlah ini mempunyai angka satuan $\dots$ Titik $ A $ dan $ B $ terletak pada parabola $ y=4+x-x^2 $. Jika titik asal $ O $ merupakan titik tengah ruas garis $ AB $, maka panjang $ AB $ adalah $\dots$ Jika $ a $ dan $ b $ adalah bilangan-bilangan bulat dan $ x^2-x-1 $ merupakan faktor dari $ ax^3+bx^2+1 $, maka $b = \dots$ Kubus $ ABCDEFGH $ dipotong oleh bidang yang melalui diagonal $ HF $, membentuk sudut $ 30^{\circ} $ terhadap diagonal $ EG $ dan memotong rusuk $ AE $ di P. Jika panjang rusuk kubus adalah 1 satuan, maka panjang ruas $ AP $ adalah $\dots$ Himpunan semua bilangan asli yang sama dengan enam kali jumlah angka-angkanya adalah $\dots$ Diketahui bahwa $ a $ dan $ b $ adalah besar dua sudut pada sebuah segitiga. Jika $ \sin a + \sin b = \frac{1}{2}\sqrt{2}$ dan $ \cos a+\cos b=\frac{1}{2}\sqrt{6} $, maka $ \sin(a+b)=\dots $ Tautan diskusi dapat dilihat di sini
  15. OSN SMA 2002

    1. Buktikan bahwa $ n^4-n^2 $ habis dibagi oleh 12 untuk sebarang bilangan bulat $ n>1 $. 2. Lima buah dadu (enam-muka) akan dilempar satu demi satu, lalu hasil kelima angka yang muncul akan dihitung. Manakah yang lebih besar peluang terjadinya hasil kali 180 atau hasil kali 144? 3. Tentukan semua solusi dari sistem persamaan \begin{align*} x+y+z&=6\\ x^2+y^2+z^2&=12\\ x^3+y^3+z^3&=24\\ \end{align*} 4. Diberikan segitiga $ ABC $ dengan $ AC>BC $. Pada lingkaran luar segitiga $ ABC $ terletak titik $ D $ yang merupakan titik tengah busur $ AB $ yang memuat titik $ C $. Misalkan $ E $ adalah titik pada $ AC $ sehingga $ DE $ tegak lurus pada $ AC $. Buktikan bahwa $ AE= EC+ CB $. 5. Sembilan dari sepuluh bilangan berikut : 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 16, 18, 19 akan diisikan ke dalam petak kosong pada tabel 3$ \times $5 di bawah ini. Sesudah semua petak terisi, jumlah bilangan pada setiap baris akan sama. Demikian pula halnya jumlah bilangan pada setiap kolom akan sama. Tentukan semua pengisian petak yang mungkin. 6. Tentukan semua bilangan prima p yang membuat $ 4p^2+1 $ dan $ 6p^2+1 $ keduanya bilangan prima. 7. Misalkan $ ABCD $ sebuah belah ketupat dengan $ \angle A=60^{\circ} $ dan $ P $ adalah titik potong kedua diagonal $ AC $ dan $ BD $. Misalkan $ Q $, $ R $ dan $ S $ tiga titik pada (keliling) belah ketupat. Jika $ PQRS $ juga membentuk belah ketupat, tunjukkan bahwa tepat satu di antara $ Q, R, S $ berimpit dengan titik sudut belah ketupat $ ABCD $.